Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4078

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

777.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

		1			1				1		1			1			1			5
															1							.
	6 7		3 2 2		6 7 3 1 2				6	6 42					1					32		.
	6 7		3 2 2		6 7 3 1 2				6	6 42				6			16			32
Пример 2. Воспользуемся методом интегрирования по частям для
вычисления определѐнного интеграла:
				b			b
				b			b
				udv uv		ba vdu


				a			a
				a			a
4 x cos 2x dx =				u x	dv cos 2xdx					=		x	sin 2x				4		1		4 sin 2xdx
4 x cos 2x dx =				u x	dv cos 2xdx					=	2		sin 2x			0	4	2			4 sin 2xdx
0							1				2							2		0
0				du dx	v			sin 2x												0

							2
							2


	4									1
=	4	sin		2				0				cos 2x
=		sin		2				0				cos 2x
	2				4					4
			1	0		1	1 2 .
				0			1 2 .
	8	4			4					8
								e		3 x dx
		Пример 3.							ln	3 x dx			=
		Пример 3.									x		=
								1			x
								1


4		sin		1	cos		1	cos 0
	8		2	4		2	4
0

	Замена переменной :
			dx		1	t4	1
							1

=	ln x t,			dt	= t3dt
=	ln x t,			dt	= t3dt	4
			x		0		0
	t(1) 0,	t(e) 1			0		0
	t(1) 0,	t(e) 1

14 40 14 .

Пример 4. Воспользуемся правилом интегрирования ( ) и табличным интегралом 4):

12	x			x	12

e4		dx = 3 e4			3 e44 e43 3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 .
	3			3
9					9

	Пример 5.		Построить фигуру, ограниченную заданными линиями
					y x2 3x 5 и	y x 2 ,

и вычислить еѐ площадь.

Решение. Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему

y x2 3x 5,y x 2.

Решим полученную систему уравнений, приравняв их правые части x2 3x 5 x 2

x2 2x 3 0

x1 3;

x2 1.

Для построения графиков заданных функций в системе координат xOy уточним ординаты точек их пересечения:

y1 3 2 5,

A 3; 5 ;

y2 1 2 1,

B 1; 1 .

Площадь,					ограниченная			графиками функций			y f (x)					и y g(x) ,
удовлетворяющих условию f (x) g(x) , вычисляется по формуле
									b
							S g(x) f (x) dx .
									a
В нашем случае						g(x) x 2,				f (x) x2 3x 5, следовательно,
	1							1							3				1
																			1

S			x 2 x2 3x 5 dx							x2 2x 3 dx				x		x2	3x
S			x 2 x2 3x 5 dx							x2 2x 3 dx						x2	3x
	3								3				3						3
	3						( 3)3		3										3
		1					( 3)3				1							2
				1	3				( 3)2 3 ( 3)			2	9 9				9 10			.
				1	3				( 3)2 3 ( 3)			2	9 9				9 10			.
		3					3				3							3

Пример 6. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.


						2		2
						x			y		1,	x 4.
						2			2
						2		3
			Решение. Каноническим				уравнением					гиперболы является уравнение
2		2				2		2
	x		y	1, следовательно,			x			y	1	есть уравнение	гиперболы с
	2		2				2			2
	a		b			2		3
полуосями a 2 и					b 3. Изобразим на							чертеже фигуру,	ограниченную
заданными линиями,					учитывая,		что x 4 – это уравнение вертикальной

прямой.

Объѐм тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,

ограниченной	линиями								y f (x),					y 0,		x a,				x b		(a b) ,
вычисляется по формуле
											b
								VOx f 2 (x) dx .
											a
В нашем	случае						y2		x2	1,		,		y2		9	x2 9,				a 2,		b 4,
В нашем	случае									1,		,		y2			x2 9,				a 2,		b 4,
						9		4								4
поэтому
		4	9		2						9		x3		4			3		3
		4	9		2						9		x3		4			3		3
VOx		2		x		9		dx						9x					4		9 4
VOx				x		9		dx						9x					4		9 4
			4								4 3				2			4
															2

	3
		23 9 2	12 12 24 .

4

2.5.Индивидуальные задания

Задача № 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.

Вариант 1.


	3					dx										2													2											15					dx
1.						dx					;	2.					sin3 x cos x dx ;									3.			x ln x dx ;							4.									dx				.
																																											5 x					2
																																																2
	1			7 2x																									1
				7 2x																																					5
																																									5
																6
			Вариант 2.

	4															3								e												1
	4																	x dx						e			ln x									1				dx
																							3.
1.					3x 7 dx ;											2.					;									dx ;					4.											.

																			2
																			2
	3																	sin		x				1				x								0			4 x2
																4
			Вариант 3.
	4					dx										1										3										3				dx
1.						dx				;		2.					ex sin(ex ) dx ;							3.				ln x dx ;							4.					dx					.
1.										;		2.					ex sin(ex ) dx ;							3.				ln x dx ;							4.					x				2	.
	0					2x 1										0										1										0	9			x
	0															0										1										0
			Вариант 4.

	3											3																	0
	3											2								dx									0		x									4 sin 4x dx .
																																	e3x2 2 dx ;
1.			4x 3 dx ; 2.																						;	3.											4.

																	(arcsin x)3					1 x2									2
	1											1		2			(arcsin x)3					1 x2							1		2									0
														2
			Вариант 5.
	2			dx								e										3														8				dx
1.				dx				; 2.				x3 ln x dx ;										3. x2					x3 3 dx ;								4.					dx							.

		3x 2																																				cos			2
	1	3x 2										1										1														0		cos				2x
	1											1										1														0
			Вариант 6.
	1														2														5			x5								3	2
	1						x								2														5																	dx
				3			x									(5x 5)sin 3x dx ;																														dx
1.								dx ; 2.																3.											dx ;	4.														.
																															2x			6
																																		6
	3						3																						2 7																9 x2
																																								2
			Вариант 7.
	2					dx			2 ;				2. (x 5) ln 5x dx ;													3. x2					e1 x3 dx ;									1				dx 2 .
1.						dx			2 ;				2. (x 5) ln 5x dx ;													3. x2					e1 x3 dx ;					4. 3								dx 2 .
																2													1
	0	1 2x														0													0											0 1 9x

Вариант 8.

	0			dx					0
1.				dx				; 2.	( x 2) e3x dx ;

						5	3
	1 6x					5			2
			Вариант 9.
	1	1			x				2
		1			x					x4 e4 5 x		5
		3			2							5
1.	1					dx ; 2.			1				dx ; 3.
	1								1
			Вариант 10.

	1									3	cos x
				4 5x dx ;					2.		cos x
1.														dx ;
1.											sin3		x	dx ;
	12
										6

2			3			x
3. sin2 x cos x dx ;				e			1 dx .
		4.				3
0			0
2			2				dx
(9x 5) cos 2x dx ;		4.
									.
					cos2 3x
0			0
1		1		dx
3. x e x dx ;	4.							.


0		0		x2 1

Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Сделать чертеж.

Вариант 1.	y x2	x 1;	y x 2.
Вариант 2.	y x2 6x 4;			y 2x 1.
Вариант 3.	y x2 3x 1;			y 2x 3.
Вариант 4.	y x2 4x 9;			y x 3.
Вариант 5.	y x2 4x 5;			y 3x 1.
Вариант 6.	y x2 2x 9;			y 4x 1.
Вариант 7.	y x2	7x 3;		y x 5.
Вариант 8.	y x2	5x 17;		y 2x 5.
Вариант 9.	y x2	11x 9;		y 4x 3.
Вариант 10.	y x2 2x 3;			y x 1.

Задача № 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 1. y sin x,

y 0,

x 0,

x .

Вариант 2. xy 4,

y 0,

x 1,

x 4.

Вариант 3.

Вариант 4.

y 2

x2 ,

y 0.

Вариант 5.

y tgx,

y 0,

Вариант 6.

y 0,

x 2,

x 8.

Вариант 7.

y cos x,

y 0,

x .

Вариант 8.

x2 1,

y 0,

x 0,

x 3.

Вариант 9.

y ctgx,

y 0,

x .

Вариант 10.

y 4x x2 ,

y 0,

x 0,

x 3.

2.4. Вопросы для самоконтроля и проверки

1.Что такое интегральная сумма и в чем заключается ее геометрический

смысл?

2.Сформулируйте определение определенного интеграла.

3.Какие функции являются интегрируемыми?

4.Чему равен определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования?

5.Как изменится значение определенного интеграла, если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования?

6.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

8.Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?

9.Как найти объем тела вращения?

Библиографический список

Основная литература

1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»

Дополнительная литература

1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021775.47 Кб04073.pdf
#
08.01.2021775.48 Кб54074.pdf
#
08.01.2021776.4 Кб14075.pdf
#
08.01.2021776.87 Кб14076.pdf
#
08.01.2021776.87 Кб24077.pdf
#
08.01.2021777.24 Кб34078.pdf
#
08.01.2021777.84 Кб44079.pdf
#
08.01.2021195.12 Кб3408.pdf
#
08.01.2021778.24 Кб24080.pdf
#
08.01.2021779.04 Кб84081.pdf
#
08.01.2021779.4 Кб44082.pdf