3271

21

Лабораторная работа № 5 Расчёт надёжности сложных систем без учёта восстановления

Цель работы: Научиться производить расчёт вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказа Q(t) невосстанавливаемых сложных систем.

Теоретические сведения

Метод перебора состояний. Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух множеств состояний элементов, которые соответствуют работоспособному и неработоспособному состояниям системы. При числе состояний, равном m , вероятность работоспособности системы определяется произведением вероятностей каждого из состояний

где m – общее число работоспособных состояний, в каждом j -м из которых число исправных элементов равно lj , а вышедших из строя – kj .

Пример 5.1. Рассчитать вероятности безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 5.1, методом перебора состояний при вероятностях безотказной работы элементов 0,9.

1 3

5

2 4

Рис. 5.1 Мостиковая схема соединения элементов

Решение. Расчет с использованием метода перебора состояний представим в виде табл. 5.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус – неработоспособные.

Согласно формуле (5.1) вероятность безотказной работы системы

23

Решение. Выделим на схеме элемент 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 – наличие и 2 – отсутствие цепи) P{H1} = p5 ; P{H2} = q5 . Это позволяет от структурной схемы, представленной на рис.5.1, перейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 5.2, а. При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 5.2, 6.

P1{A} = p5 (1− q1q2 )(1− q3q4 ) = 0,882;

P2 {A} = q5 [1− (1− p1 p2 )(1− p3 p4 )]= 0,0964;

P{A} = P1{A}+ P2{A} = p5 (1− q1q2 )(1− q3q4 ) + q5[1− (1− p1 p2 )(1− p3 p4 )]= 0,978.

Рис. 5.2 Структурные схемы мостикового соединения элементов,

В соответствии с (4.1) и (4.2) имеем соответствующих наличию (а) цепи в элементе 5 и ее отсутствию (б)

Метод минимальных путей и сечений. В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, которые обеспечивают наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в последовательном соединении, а сами пути включаются параллельно.

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из эле-

24

ментов сечения.

Пример 5.3. Рассчитать вероятности безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 5.1, методом минимальных путей и сечений при вероятностях безотказной работы элементов 0,9.

Решение. Для схемы (рис. 5.1) набор минимальных путей представлен на рис. 5.3.

1 3

Рис. 5.3 Набор минимальных путей

Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху

PВ = 1− Q13Q24Q154Q253 = 1− (1− p2 p3)(1− p2 p4 )(1− p1 p5 p4 )(1− p2 p5 p3) = 0,997.

Схема минимальных сечений для схемы представленной на рис. 5.1 приведена на рис. 5.4.

1 2 1 3

5 5

2 4

4 3

Рис. 5.4 Набор минимальных сечений

Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу

PН = 1− p12 p34 p154 p253 = 1− (1− q1q2 )(1− q3 q4 )(1− q1q5 q4 )(1− q2 q5 q3 ) = 0.978.

Задание

Рассчитать вероятности безотказной работы системы методом перебора состояний, методом особого элемента и методом минимальных путей и сечений, при заданных вероятностях безотказной работы элементов.

25

Таблица 5.2 Варианты исходных данных для лабораторной работы № 5