11

Множество D является множеством допустимых значений переменных x1; x2 ,

p1x1 + p2 x2 ≤ J

удовлетворяющих системе x1 ≥ 0 .

x2 ≥ 0

Предполагается, что потребитель всегда стремится увеличивать потребление, но его ограничивает величина дохода J . Задача потребительского выбора формулируется следующим образом: найти такой потребительский набор x* = (x1*; x2* ) , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Таким образом, задача потребительского выбора сводится к задаче нелинейного программирования и для случая двух переменных

В данном случае задача может быть решена графически (см. рис. 3).

Рис. 3

При увеличении уровня потребления осуществляется переход на кривые безразличия вправо и вверх до тех пор, пока эти линии имеют общие точки с

называется точкой локального рыночного равновесия.

12

Задачу (1) решаем методом Лагранжа. Находим x * - точку максимума функции Лагранжа, для чего все частные производные этой функции приравниваем нулю, получаем систему трех уравнений

экономический смысл: если цены и доход меняются в одно и тоже число раз λ , то функция полезности и искомое решение задачи потребительского выбора не меняются.

Из первого уравненения системы (3) видно, что предельная норма замены 1- го продукта 2-м в точке локального рыночного равновесия равна отношению рыночных цен на эти продукты.

потребления. Для обеспечения потребителя минимальным количеством товаров необходимо, чтобы доход превышал стоимость этих товаров, то есть должно выполняться бюджетное ограничение p1a1 + p2 a2 < J .

Рассмотрим функцию полезности мультипликативного вида

2

u(x) = ∏(xi −ai )αi , xi > ai , ai > 0 , i =1, 2 .

i=1

13

Показатели степеней αi характеризуют «ценность» соответствующих товаров

p1 x1 + p2 x2 < J

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

xi > ai , ai > 0 , i =1, 2 ,

называется моделью Стоуна.

Эта задача решается методом Лагранжа. Система (2) для данной модели принимает вид

Домножив каждое из уравнений последней системы на λpi и просуммировав

После подстановки последнего выражения в систему (4), находим функции

x* = a + J

спроса 1 1 np1

x2* = a2 + npJ2

14

Уравнение Слуцкого

В теории потребительского выбора важную роль играет уравнение, характеризующее зависимость между доходом потребителя и изменением цен на какие-либо товары, с одной стороны и изменением покупательского спроса – с другой. Таким уравнением является уравнение Слуцкого, которое будет приведено далее для набора из двух товаров.

Найдем изменение или «отклик» точек спроса на изменение цены одного из

В точке локального рыночного равновесия, при постоянной величине функции полезности имеем выражение u(x1* ; x2* ) = const .

то есть изменение спроса на товар при изменении его цены складывается из двух составляющих: изменение реальной возможности приобретать данный товар в результате изменения его цены и переключения внимания на другие товары.

Несколько соотношений, полученных в процессе вывода уравнения Слуцкого, имеют важный экономический смысл.

1.Уравнение (8) устанавливает связь между прежними ценами и приращениями товаров, то есть спрос на одни товары растет, а на другие падает.

2.При увеличении цен компенсация дохода должна быть положительной, а

при их уменьшении – отрицательной, в силу выражения dJ = x1* dp1 + x2* dp2 , полученного из (6) и (8).

другое отрицательно. Если при повышении дохода спрос на товар увеличивается, то товар называется «ценным», в противном случае – «малоценным».

5. При повышении цены на i −й товар потребление j −го товара растет при компенсационном изменении дохода ( j −й товар называется заменяющим i −й товар). Это следует из того, что при pi > 0 , с учетом (9), найдется

17

Кривые «доход – потребление», «цена - потребление»

Для случая двух переменных изменение спроса при изменении дохода и цен можно проиллюстрировать геометрически.

1.Пусть цены на товары остаются постоянными и среди товаров нет малоценных.

При увеличении дохода бюджетная линия перемещается вправо и вверх параллельно сама себе, а точками оптимума (спроса потребителей) являются точки А, В, С. Прямая, соединяющая эти точки является вектором покупательского спроса в зависимости от дохода при постоянных ценах и называется кривой Энгеля, или линией «доход – потребление» (рис. 4).

Рис. 4

2. Пусть цены на товары остаются постоянными, но второй товар является малоценным по сравнению с первым. Тогда на участке CD спрос на 2-й малоценный товар начинает падать (рис. 5).

Рис.5

3. Пусть цена 2-го товара меняется. Уравнение связи : p1x1 + p2 x2 = J . При

18

при этом точка А переходит в точку В, которая является новой точкой

точку С и т.д. (см. рис. 6).

Рис. 6

Кривая АВС - кривая «цена потребление» и она проходит через точку J .

p1

Варианты заданий для самостоятельного решения

Найти средние и предельные производительности, эластичности и предельные нормы замены для производственной функции Кобба-Дугласа, при заданных значениях коэффициентов

19

Вариант*. Производственная функция Кобба-Дугласа, при заданных значениях

1 3

коэффициентов имеет вид y = 2x14 x24 .

Найдем среднюю производительность труда

Предельная производительность труда M1 =α0α1x1α1−1x2α2 будет иметь вид

1 −3 3 M1 = 2 x1 4 x24 .

Предельная фондоотдача вычисляется по формуле M 2 = a0α2 x1α1 x2α2 −1 и имеет

3 1 −1 вид M1 = 2 x14 x2 4 .

Функции спроса и предложения

Спрос — одна из сторон рыночного ценообразования; отражает желание приобрести определённый объём товаров по данной цене.

Закон спроса отражает обратную зависимость между ценой и количеством товара. При прочих равных условиях, повышение цены вызывает понижение величины спроса; понижение цены — повышение величины спроса.

20

Функция спроса (demand function - англ.) - функция, определяющая спрос в зависимости от влияющих на него различных факторов. Важнейшим из них является цена на единицу блага в данный момент. Но существуют и так называемые неценовые факторы, из-за влияния которых меняется вид кривой спроса.

Функция спроса в рыночном механизме является определяющей, ибо именно она заставляет производство выпускать необходимые населению товары, улучшать их качество и ассортимент. Спрос в свою очередь зависит от потребностей людей: с изменением потребностей меняется и спрос, который, по сути дела, представляет собой денежное выражение потребностей.

В общем виде функция спроса имеет вид QD = f (P) ,

где QD - величина спроса (quantity of demand) или величины приобретаемого товара;

P - цена (price).

f - показатель функциональной зависимости величины спроса от цены

(function)

Величина спроса (или объем приобретаемого потребителями блага) зависит от размера цены на это благо.

Кривая спроса - отражает обратно пропорциональную зависимость между ценой и количеством блага, которое покупатели хотят и могут приобрести в единицу времени (рис. 7).

Рис. 7