2655

Министерство образования Российской Федерации

Воронежская государственная лесотехническая академия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ

Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу "Регрессионный анализ"

для студентов специальностей 260400 - Лесное хозяйство и 260500 - Лесопарковое и ландшафтное строительство

Воронеж 2002

УДК 630*5

Смольянов А.Н. Моделирование экосистем: Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу «Регрессионный анализ» для студентов специальностей 260400 - Лесное хозяйство и 260500 - Лесопарковое и ландшафтное строительство/ А.Н. Смольянов, А.В. Мироненко – Воронеж: ВГЛТА, 2002 - 28 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГЛТА Научный редактор д-р с.-х. наук, проф. В.А. Бугаев Рецензент главный инженер «Воронежлеспроект» А.П. Кабанцов

3

Введение

Исследование различных лесохозяйственных взаимосвязанных признаков и процессов может быть выполнено путем моделирования.

По своей форме различают три типа моделей: графические, табличные и аналитические (математические).

Внастоящих методических указаниях рассматривается получение одномерных эмпирических моделей (с двумя переменными величинами – Х, Y). В конечном итоге полученная модель должна отражать значения зависимого, обычно известного, признака. В указанном смысле процесс моделирования можно именовать выравниванием наблюдений. Основное внимание в настоящих методических указаниях уделяется аналитическому выравниванию.

Впервой части методических указаний описано получение регрессионных уравнений с использованием ручного счета на простейшей вычислительной технике (микрокалькуляторы, логарифмическая линейка). На конкретном примере показано получение четырех регрессионных уравнений линейного (прямая) и нелинейного (парабола 2-го порядка) типа с использованием методов координат избранных точек и наименьших квадратов. Указываются различные критерии оценки адекватности уравнений.

Во второй части методических указаний рассматривается вопрос получения регрессионных уравнений на ЭВМ согласно программе STADIA. На том же примере, что и в первой части методических указаний, вычисляются 23 вида различных уравнений. Объясняется техника выбора оптимального уравнения (модели).

1 Общие положения

1.1 Выбор вида моделирования. Основы графического выравнивания

Перед началом моделирования и выбором вида модели (графический, табличный, аналитический) прежде всего необходимо установить наличие корреляционной взаимосвязи между сравниваемыми признаками. С этой целью исходные данные отображаются на графике, по которому в результате визуального осмотра делают заключение о наличии или отсутствии корреляции [1].

4

Рассмотрим особенности графического выравнивания зависимости между двумя сопряженными признаками при малой и большой выборке.

При малой выборке (N < 25…30) на графике откладываются конкретные значения отдельных наблюдений (не объединенных в классы), то есть строится так называемый точечный график. Результирующая линия проводится между точками с таким расчетом, чтобы разделить их общее количество на две приблизительно равные части. При этом необходимо стремиться к такому положению, чтобы расстояние между линией и исходными точками было кратчайшим. Для облегчения техники выравнивания и увеличения его точности можно рекомендовать следующий прием. Соединить все выравниваемые точки и постараться провести плановую выравнивающую линию по возможности ближе к этим серединам.

В результате выравнивания в нашем примере (рис.1.1), где N=16, над выравнивающей прямой расположено шесть точек, под ней семь точек и три находятся непосредственно на выравнивающей линии.

На рис.1.2 показан пример выравнивания при большой выборке, когда результаты наблюдений группируются в классы. В этом случае выравниваемые значения Y по классам Х представляют собой средние значения, полученные как среднеарифметическое из нескольких наблюдений в классе, а именно:

N

H = ∑Yi / N

i=1

где Yi – данные относительных наблюдений; H – среднеарифмитическое значение из всех наблюдений; N – число наблюдений.

Рассмотрим два способа выравнивания: без учета веса наблюдений и при учете их веса.

В случае выравнивания без учета веса наблюдений необходимо руководствоваться принципом выравнивания при малой выборке. При этом условно допускается, что все выравниваемые значения Y по классам Х имеют одинаковый “вес”, приравненный к единице.

Показанная на рисунке выравнивающая кривая (сплошная линия) разделяет исходные точки на две приблизительно равные части: четыре точки над кривой и три точки под ней. Этот способ выравнивания следует применять

6

Рассмотрим пример, когда в отдельных классах имеется явно различное число наблюдений, а именно:

Учитывая вес наблюдений, необходимо проводить выравнивающую кривую, принимая во внимание главным образом те точки, которые представлены сравнительно большим числом наблюдений. В нашем примере – классы 2, 3, 4, 6. В отличие от кривой, проведенной без учета веса наблюдений, в данном случае в начальных классах получилась более круто восходящая линия, что вызвано большим весом частот в классе 2, где n=15, и в классе 3, где n=17. Более высокое положение выравнивающей кривой в последующих классах 4 (n=21) и 6 (n=9) в сравнении с малым весом классов 5 (n=2) и 7 (n=1).

Таким образом, в результате применения любого из методов получается выравнивающая линия, которая и является графической моделью корреляционной зависимости.

Если же с полученной кривой снять значения Y по классам Х, можно получить выравненные числовые значения зависимого признака, то есть табличную модель.

Следовательно, полученные описанными способами результаты графического выравнивания могут быть использованы в двух направлениях:

1)для решения вопроса о наличии корреляционной связи, а следовательно, выяснения возможности дальнейшего аналитического (математического) моделирования;

2)как готовая графическая или табличная модель.

При выборе одного из указанных направлений необходимо учитывать, что путь графического выравнивания позволяет получить результаты сравнительно быстро, но с невысокой точностью, что объясняется невозможностью устранить субъективизм исследователя при проведении выравнивающих линий.

Аналитическое выравнивание гораздо более трудоемко, но исключает субъективность в оценках, обеспечивая получение более точных данных в виде конкретных уравнений связи двух признаков.

7

1.2 Общий подход к аналитическому выравниванию

Целью аналитического выравнивания является получение конкретного уравнения связи между двумя признаками: Х, Y. Наиболее трудным и важным вопросом в этом случае является выбор вида уравнения, намечаемого для выравнивания. С этой целью прежде всего с помощью графика решается вопрос о характере связи Х/Y: линейная или нелинейная. В случае установления линейной связи выбор модели однозначен – принимается уравнение прямой линии. Заметим, что для уверенной констатации линейной необходимо использовать данные (в случае их наличия) полного корреляционного анализа [1], [2] с получением меры линейности (Z) и ее ошибки (mz). Напомним, что имеющиеся в этом случае данные позволяют получить сразу (минуя выравнивание) конкретные уравнения корреляционной связи.

Если связь нелинейная, выбор уравнения представляет определенные трудности. В качестве модели могут быть выбраны самые различные уравнения: парабола различных порядков, гипербола, логарифмическая как показательная функция и др. При выборе необходимо значение особенностей моделируемой зависимости и математических свойств уравнений [3], [4], [5].

Допустим, что точечный график, построенный по значениям Х/Y, не позволяет сделать определенного заключения о характере связи (линейная или нелинейная). Это обуславливает необходимость производства моделирования путем вычисления регрессионных уравнений как линейной, так и нелинейной связи с последующим выбором оптимального.

В настоящих методических указаниях моделирование связи Х/Y производится с помощью уравнений различных видов. При описании техники выравнивания, выполняемого с помощью ручного счета (раздел 2), используются только два вида уравнений: прямая и парабола 2-го порядка. Получение конкретных уравнений описывается двумя способами – координат избранных точек и наименьших квадратов. При моделировании с помощью ЭВМ (раздел 3) выравнивание опытных данных производится с помощью 23 функций, полученных с использованием метода наименьших квадратов.

2Техника и способы регрессионного анализа

Вкачестве примера для аналитического выравнивания используются данные взаимосвязи двух сопряженных признаков: диаметров (Д),

8

принимаемых за Х, и высот деревьев (Н), принимаемых за Y.

Таблица 2.1 Взаимосвязь диаметров и высот (невыравненные данные)

2.1 Выравнивание по уравнению прямой линии Аналитическое выравнивание имеет своей конечной цепью получение

конкретного уравнения связи между двумя сопряженными признаками.

Как известно, уравнение линейной зависимости общего вида будет иметь вид Y=а+b.X.

Вычисление конкретного уравнения сводится к определению числовых значений коэффициентов а, b, для получения которых существует несколько способов. Рассмотрим два, наиболее широко применяемых способа, характеризующихся различной точностью и трудоемкостью:

а) способ наименьших квадратов, позволяющий получить достаточно точные результаты путем использования координат всех выравниваемых точек (наблюдений);

б) способ координат двух избранных точек, обеспечивающий получение менее точных результатов, но гораздо более простым путем.

Остановимся на технике работ при вычислении конкретного уравнения методом координат избранных точек. В этом случае исходные данные изображаются на графике и производится предварительное выравнивание. С полученной прямой линии снимаем координаты двух любых точек исходных данных, выбирая их из числа наиболее близко расположенных по отношению к предварительно проведенной прямой. Если число наблюдений в классах известно, то следует отдать предпочтение точкам, обеспеченным наибольшим числом наблюдений. В нашем примере в качестве избранных использованы координаты точек классов № 2 и № 6.

X2=16; Y2=18,00; X6=32; Y6=23,65.

Система двух конкретных уравнений приобретет вид

Y2 =a+b.Х2

Y6 =a+b.Х6 .

После подстановки координат избранных точек

9

18,00=a+b.1623,65=a+b.32 .

После решения системы относительно a и b, получим: a=12,4; b=0,35

Следовательно, полученное конкретное уравнение связи Х/Y (Д/Н) будет иметь вид

Для краткости изложения в последующем тексте полученным уравнениям присвоены определенные номера: уравнение, вычисленное методом координат точек, получает номер I, а уравнение, полученное методом наименьших квадратов – номер II.

Пределы «работы» полученного уравнения по диаметру от 10 см до 46

см.

Рассмотрим технику вычислений при использовании способа наименьших квадратов. Для получения конкретного уравнения в этом случае используются координаты всех точек, которые подставляются в следующую систему уравнений

∑Y=an+b∑X ∑XY=a∑X+b∑X .

Для удобства вычислений числовых значений указанной системы составляется вспомогательная таблица.

Таблица 2.2 Вспомогательные расчеты для вычисления конкретного уравнения

прямой линии

10

Подставим итоговые данные в систему уравнений и вычислим коэффициенты a, b, имея в виду, что значение «n» соответствует числу классов по Х:

2.2 Выравнивание по уравнению параболы Используя прежний исходный материал (табл. 2.1), проделаем

выравнивание опытных данных по уравнению параболы второго порядка: Y=a+b.Х+c.Х2.

Получение конкретного уравнения указанного вида сводится, как известно, к определению числовых значений трех коэффициентов (a, b, c).

Вслучае применения способа координат избранных точек, это может быть достигнуто путем использования координат трех точек, подставленных в систему из трех уравнений. Выбор точек и составление системы уравнений выполняется аналогично вышеописываемому выравниванию по уравнению прямой линии (раздел 2.1).

Внастоящем примере воспользуемся данными (из табл. 2.1) точек № 1, 3, 8, а именно:

Х1 =12, У1 =16,0; Х 3=20, У3=20,15; Х8 =40, У8 =26,0. Составим систему из трех уравнений сначала в общем виде:

Y1 = a + b.X1 +c.X12Y3 = a + b.X3 +c.X32

Y8 = a + b.X8 +c.X82 .

азатем введем конкретное значение Х,Y:

26,00 = a + 40.b +1600.c .

Врезультате решения системы получим следующее конкретное уравнение:

Y=7,8+0,77.Х - 0,008.Х2 . (II) Рассмотрим из уравнений общего вида получение конкретного

уравнения способом наименьших квадратов.