1856
.pdf31
где kрег ,kоб − коэффициенты усиления регулятора и объекта; Tоб1,Tоб2 ,Tоб3 − постоянные времени объекта;
tи − время изодрома;
tпр − время предварения;
P − параметр Лапласа, который при нулевых начальных условиях отождеств-
ляется с оператором дифференцирования |
|
d |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||
Передаточная |
функция |
|
|
системы |
|
|
|
в |
разомкнутом |
состоянии |
|
Wраз (P) = Wрег (P) Wоб (P) , в замкнутом состоянии с отрицательной обрат- |
|||||||||||
ной связью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (P) = |
|
|
Wраз (P) |
= |
Y(P) |
, |
(6.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
зам |
1 |
+Wраз (P) |
|
|
G(P) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
где Y(P) − изображение по Лапласу регулируемого параметра;
G(P) − изображение по Лапласу управляющего (задающего) воздействия
системы регулирования. |
|
Следовательно, дифференциальное уравнение АСР в операторной |
форме |
имеет вид |
|
Y(P) (1+Wрег (P) Wоб (P)) = G(P) Wрег (P) Wоб (P). |
(6.4) |
Подставив в уравнение (6.4) передаточные функции объекта (6.2) и регулятора (6.1) и проведя необходимые преобразования с переходом к оригиналам функций y(t),g(t) , получим дифференциальное уравнение линейной системы автоматического регулирования.
Найдём общее и частное решение полученного дифференциального уравнения для скачкообразного управляющего воздействия g(t) =g01(t), (g0 = const) .
Характеристическое уравнение имеет вид
1+W |
рег |
(P) W |
|
(P) = A P4 |
+ A P3 |
+ A P2 + A P + A , |
|
(6.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
об |
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
T |
T |
T |
|
t |
|
; A1 = |
(Tоб1 Tоб2 |
+Tоб1 Tоб3 +Tоб2 |
Tоб3 ) tи |
; |
(6.6) |
||||||
A0 |
|
|
об1 |
об2 |
|
об3 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
kоб kрег |
|
|
|||||||||||
|
|
|
kоб kрег |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 |
= |
(Tоб1 +Tоб2 |
+Tоб3 + kоб k рег tпр ) tи |
; A3 = tи + |
tи |
|
; A =1. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kоб |
k рег |
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kоб kрег |
|
|
|||||
Построим кривую переходного процесса, используя классический метод решения дифференциального уравнения для скачкообразного управляющего воздействия g(t) =g01(t), (g0 = const) . Процесс регулирования определяется в
виде
y(t) = yуст (t) + yпер (t), |
(6.7) |
|
|
32 |
где |
yуст (t) − установившаяся составляющая; yпер (t) − переходная составляю- |
|
|
n |
|
щая; |
yпер (t) = ∑ Ck l Pk t , где Pk |
−корни характеристического уравнения (6.5); |
k =1
Ck − постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. Численные значения постоянных C1,C2 ,...,Cn находятся из реализации теоремы
о начальном значении оригинала функции и её производных и решения системы n − линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
n |
|
y(i) (t) = y(устi) (t) + ∑(Pk )i Ck lPk t ; i = 0,1,2,..., n −1. |
(6.8) |
k=1
Установившаяся составляющая
y (t)=t t |
|
d2g |
|
+t |
dg |
+g=1. |
(6.9) |
|
dt2 |
|
|||||||
уст |
и пр |
|
и dt |
|
||||
Так как характеристическое уравнение (6.5) имеет два корня, переходная составляющая имеет два члена
y |
пер |
(t) = C lP1 t +C |
2 |
lP2 t + C lP t3 |
+C |
4 |
lP4 t . |
(6.10) |
|
1 |
3 |
|
|
|
Подставив (6.9) и (6.10) в (6.7) получим кривую переходного процесса системы
y(t) =1+ C lP t1 |
+ C |
2 |
lP2 t + C |
3 |
lP3 t + C |
4 |
lP t4 . |
(6.11) |
1 |
|
|
|
|
|
Постоянные интегрирования C1 ,C2 ,C3 ,C4 из уравнения (6.11) находятся из системы, состоящей из двух уравнений и имеющей два неизвестных
|
+ C1 |
lP1 t |
+ C2 |
lP2 t |
+ C3 |
lP3 |
t |
+ C4 |
|
lP t4 |
= 0; |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
+ C |
|
P lP2 t + C |
|
P lP3 t + C |
|
P lP t4 = 0; |
||||||||||||||
C P lP1 t |
2 |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
(6.12) |
||||
|
|
|
|
t + C |
|
|
2 |
lP2 t |
|
|
|
|
P 2 |
lP3 t + C |
|
P 2 |
lP t4 |
|||||||
C P21 lP1 |
2 |
P |
+ C |
3 |
4 |
= 0; |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
C P31 lP1 t +C |
2 |
P |
3 |
lP2 t |
+ C |
3 |
P3 |
lP3 t + C |
4 |
P 3 |
lP t4 |
= 0. |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
Таблица 6.1
Варианты исходных данных
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
kоб |
2,0 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
2,8 |
3,0 |
3,2 |
3,4 |
3,6 |
3,8 |
4,0 |
4,2 |
4,4 |
4,6 |
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tоб1 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
Tоб2 |
75 |
70 |
65 |
60 |
55 |
50 |
45 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
15 |
10 |
5 |
Tоб3 |
15 |
20 |
25 |
30 |
15 |
20 |
25 |
30 |
15 |
20 |
25 |
30 |
15 |
20 |
25 |
Порядок выполнения работы
1 Задать |
исходные |
данные, |
присвоив |
переменным |
kрег ,tи ,tпр ,kоб ,Tоб1 ,Tоб2 ,Tоб3 значения. |
kоб ,Tоб1,Tоб2 ,Tоб3 |
определяют- |
||
ся в соответствии с вариантом, предложенным преподавателем
33
табл.6.1. kрег ,tи ,tпр задаётся из диапазона 0,1...60. Входная величина
g= 1. Для этого необходимо:
•ввести в желаемом месте документа имя переменной;
•ввести оператор присваивания с помощью клавиши <:> или нажатием соответствующей кнопки Definition (Присваивание) на панели инструментов Calculator (Калькулятор) или Evaluation (Выражение);
•ввести в появившейся местозаполнитель значение переменной.
2Далее следует найти корни характеристического уравнения (6.5). Для этого необходимо вычислить коэффициенты A0 , A1 , A2 , A3 , A4 по формулам (6.6). Корни уравнения (6.5) определяются, используя встроенную функцию polyroots(v) , где v − вектор, составленный из коэффициентов характеристического уравнения. Возвращающим значением данной функции будет вектор, составленный из корней рассматриваемого уравнения рис.6.2.
Для построения вектора нужно, поставив курсор в местозаполнитель, с помощью клавиши <Ctrl>+<C> или нажатием соответствующей кнопки Matrix or Vector (Создание матрицы или вектора) на панели инструментов Matrix (Матрица) вызвать окно Insert Matrix (Вставить матрицу), где задать число столбцов (для вектора равно 1) и строк.
A4
|
A3 |
|
|
|
−0.189 |
− 0.124i |
||
|
|
|
|
|
||||
v := |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0.189 |
+ 0.124i |
|||||
|
|
|
|
p := polyroots (v) p = |
||||
A |
1 |
|
0.081 |
− 0.14i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
0.081+ 0.14i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6.2 Нахождение корней характеристического уравнения
3Проанализировав полученные данные, составить уравнение описывающее переходной процесс системы. Для этого следует воспользоваться теоретической частью данной работы.
4Задать временной интервал t , на котором будет производиться исследование. Рекомендуется использовать не менее 10 шагов в интервале. Для этого необходимо:
•ввести в желаемом месте документа имя переменной t ;
•ввести оператор присваивания с помощью клавиши <:> или нажатием соответствующей кнопки Definition (Присваивание) на панели инструментов Calculator (Калькулятор) или Evaluation (Выражение);
•нажать кнопку Range Variable (Ранжированная переменная) на панели Matrix (Матрица), либо ввести символ <;> с клавиатуры;
•в появившихся местозаполнителях ввести нижний и верхний пределы изменения времени t .
34
Чтобы задать шаг изменения переменной:
•поместить линию ввода на значение начала диапазона;
•ввести запятую <,>;
•в появившийся местозаполнитель ввести значение шага измене-
ния переменной.
Пример задания временного интервала показан на рис.6.3
t := 0,30.. 300
Рис.6.3 Интервал изменения времени
5Найти постоянные интегрирования C1 ,C2 ,C3 ,C4 . Они находятся из решения системы уравнений (6.12). Для решения системы уравнений (6.12) в среде MathCAD необходимо:
•в свободном месте документа написать ключевое слово “Given ”;
•ниже записывается система с использованием логических опера-
торов равенства.
Логический оператор равенства следует вставлять пользуясь панелью инструментов Boolean (Булевы операторы), либо сочетанием клавиш <Ctrl>+<=>.
• для решения системы относительно переменных C1 ,C2 ,C3 ,C4
используется встроенная функция Find , аргументами которой являются искомые переменные.
Для нахождения решения системы в общем виде необходимо выделить курсором функцию Find и вставить оператор символьного вывода нажатием соответствующей кнопки на панели Symbolic (Символика) или Evaluation (Выражения), либо сочетанием клавиш <Ctrl>+<.>.
Необходимо присвоить постоянным интегрирования C1 ,C2 их значения в общем виде, из полученного выше вектора столбца. Причём переменная t в этих выражениях равняется 0 .
Необходимо присвоить постоянным интегрирования C1 ,C2 ,C3 ,C4 их значения в общем виде, из полученного выше вектора столбца. Причём переменная t в этих выражениях равняется 0 .
6На данном шаге необходимо задать ранее составленное уравнение переходного процесса системы. Оно представляет собой функцию y(t) . Для этого нужно:
•ввести в желаемом месте документа имя функции y(t) ;
•ввести оператор присваивания с помощью клавиши <:> или нажатием соответствующей кнопки Definition (Присваивание) на панели инструментов Calculator (Калькулятор) или Evaluation (Выражение);
•в появившемся местозаполнителе ввести полученное ранее выражение, описывающее переходной процесс.
35
7Построить график, отложив по вертикальной оси выходную величину y(t) , а по горизонтальной время t . Для построения графика нужно с
помощью клавиши <Shift>+<2> или нажатием соответствующей кнопки XY Plot (XY (декартовый) график) на панели инструментов Graph (График) вывести шаблон графика, где по оси абсцисс задать время t , а по ординат−выходную величину y(t) .
8Изменив значения kрег ,tи ,tпр , повторить расчёт. Количество расчётов задаётся преподавателем.
Содержание отчёта
•Название и цель лабораторной работы.
•Графики динамических характеристик.
•Выводы по каждому из графиков о качестве и устойчивости системы.
•Вывод о влиянии параметров регулятора на качество и устойчивость системы.
Список основной литературы:
Петровский В.С. Теория управления: Учеб. пособие. /В.С.Петровский.−Воронеж: ВГЛТА, 1998. – 166 с.
Список дополнительной литературы:
Петровский В.С. Моделирование систем управления: Учеб. пособие. /В.С.Петровский.−Воронеж: ВГЛТА, 1998. –292 с.
Петровский Владислав Сергеевич Глухов Дмитрий Александрович
Теория автоматического управления Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов
специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств в лесном комплексе.
Редактор А.В. Гладких
Подписано в печать 12.03.04. Формат 60x84 1/16. Объём 2,25 п.л. Усл. п.л.2,1. Тираж 60. Заказ № Воронежская государственная лесотехническая академия.
РИО ВГЛТА. УОП ВГЛТА 394613 г.Воронеж, ул.Тимирязева, 8