БАКАЛАВРЕАТ-1+лох
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-1
1 , 2011 .
1. . N, Z, Q (m / n -
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R. . : |a±b|≤|a|+|b|, |ab|=|a||b|, |a/b|=|a|/|b|. |x1 – x2|. [a,b], (a,b], (–∞, b], (a,+∞) . . , ! , Oδ ( x0 ) . -
. – ∞, +∞, ∞.
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% {x D, y = f(x)}. - $- :
y = kx + b, y = ax 2 |
+ bx + c, y = x n , y = a x , y = log n | x |, y = Sinx, y = Cosx |
|
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y = tgx, y = ctgx, |
y = arcsin x, y = arctgx, y =| x |, y = Sgnx, y = [x] |
3. - $ : |
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f(x) = y # x = g(y) % y E . ) / -
$ $ y = f(x), x D, y E.
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4. $ .
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1 Y: y=f(x)→ b , –∞ , +∞ .
( ), 1 -2- – 2011
|
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lim f ( x ) = +∞ . |
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x→a−0 |
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y |
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+∞ –∞ .
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4e x + 5 |
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3 |
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2e x |
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2e x + 1 |
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|
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f ( x) = o( g ( x)), |
|
f (x) |
|
g ( x), |
x → x0 . ( : f(x) – 1718 |
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% g(x) ) |
|
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|
x 2 , x 5 , x ,3 x x → 0; x → ∞ |
|
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|
||||||||||||||||||||
2 : |
o( f ( x )) = f ( x )α( x ) . |
|
|
||||||||||||||||||||||
" : |
|
o( 1 ) = α( x ), |
o( A B ) = A o( B ) !!! |
y=x |
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2 |
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= ( )( . .) ln x = o(xn ); |
|
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xn |
|
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nxn / 2 |
|
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|
|
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|
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xn / 2 |
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xn |
|
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= ( . .) xn = o(eax ) |
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t |
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f(x)g(x) Ag(x) → 0 . '- . |
|
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( ), 1 -3- – 2011
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% $ f(x) ( ! ) → 0 ( ! 0).
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2 x + 7 |
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y = |
, y = x 2 + |
, y = x 2 + 1 . y x = 1000 ? |
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( x + 1 )( x − 2 ) |
x |
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lim |
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sin x |
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1 − cos x |
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x→0 |
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x |
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x→0 |
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x 2 |
|
|
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x→0 x |
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1 |
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lim(1 + α ) α = e . ( ). |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
α →0 |
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nx |
− 1 |
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nx |
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lim |
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|
|
|
|
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ln( 1 + t ) |
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x→0 |
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
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t → 0 |
|
|
t →0 |
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n |
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t |
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|
nt |
|
|
|
|
|
|
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|
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1 + x = e |
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e |
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− 1 |
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t |
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|
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|
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x→0 |
x |
|
|
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t → 0 |
|
|
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t →0 |
|
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t |
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
1) lim f ( x ) = b f ( x ) = b + α( x ) , x → x0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)f(x) α(x)=o(f(x)) , x → x0 .
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Sinx = x+ o(x), Cosx = 1+ x2/2 + o(x2 ), |
tgx = x + o(x), |
ln(1+x) = x + o(x), ex = 1 + x + o(x), |
(1 + x)n = 1+nx+o(x) . |
9. $ .
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) / ,
) lim f ( x ) = f ( x0 ).
x→ x0
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-4- |
– 2011 |
2. ' $ :
lim( x 2 + ln x ) = 4 + ln 2, |
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sin x |
= |
sin 0 |
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|
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x→2 |
x→0 x |
0 |
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f(z) %+ z0 = g(x0). ) $ -
0 .
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( g(x)) + z. 1 $ y=f(z) (
f(z)) + . *, + % -
+ $ y=f(g(x)) , / ,
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$ # y = f(x) .
, $ .
$ , $ – / .
)& 0& 1 $ . y = f(x) -
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-5- |
– 2011 |
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x→a−0 |
x→a+0 |
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x x − 1
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. y=sgn(x) , y = |
x 2 |
− 1 |
|
|
|
|
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, +.
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π |
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|
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1 |
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|
, y |
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|
, y = ln | x | , y = |
|
|
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|
|
x 2 |
|
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|
x |
x |
|
− 1 |
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|
|
|
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x→a+0
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|
|
|
|
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exp( 1 / x ), x ≠ 0 |
||
|
|
|
1 − x 2 , |
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y = |
, y = |
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y = |
, |
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|
|
|
|
|
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0 , |
x = 0 |
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( ), 1 -6- – 2011
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. ) , )
2- 2&=&09)01**1. & $ y=f(x) [a,b], -
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. y=Sgn(x)–x , [–1; +1].
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0.
) * + $ / y=f(x0+ x)–f(x0).
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) # |
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f’(x0). ", %
|
) = lim |
f ( x0 + x ) − f ( x0 ) |
= lim |
y |
= lim |
f ( x ) − f ( x0 |
) |
||
f ' ( x0 |
|
|
|
|
|
. |
|||
x |
x |
x − x0 |
|
||||||
|
x→0 |
x→0 |
x→ x0 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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$ / . *, : S(t)– +, V(t)=S’(t)– .
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2) * $ =
y = ( x + |
x ) |
n |
− x |
n |
= x |
n |
( 1 + |
x |
) |
n |
− x |
n |
= x |
n |
( 1 |
+ n |
x |
+ o( x )) − x |
n |
… |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*) : y = ln x, y = e x , |
y = Sinx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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y |
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|
x |
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|
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y = 3 x 2 . |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
+ ( .) |
|
||||
|
|
|
2: ycek = y0 + |
y |
) → ykac |
= f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 |
) . |
|
|
|
|
( x − x0 |
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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•, %+ 0 %, " / .
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( ). |
– |
|
+ |
|
|||
" ": /$$ , . . f’(x0) - / - |
|
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– |
|
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|
|
|
|
|
|
( ), 1 |
-7- |
– 2011 |
$ . |
|
|
, , . |
|
|
: ' % $ |
|
|
u(x+ x) – u(x) = |
u u(x+ x) = u(x) + |
u. |
)& 0& 1. $ u(x), v(x) $$ . ) , , -
$$ ,,
(u+v)’=u’+v’, |
(uv)’=u’v+v’u, (u/v)’=(u’v–v’u)/v2 . |
2 , v(x)≠0 . |
|
'- . |
|
: (tgx)’ , |
(ctgx)’ . |
$ y=f(z), z=g(x).
). $ z=g(x) $$ 0 , #
$ y=f(z) $$ %+ z0=g(x0). )
$ y=f(g(x)) $$ 0 / /
y’=f’(z0) g’(x0) .
'- : ' 0 + . ) $ +
z=g(x0+ |
x)–g(x0), # $ + |
y=f(x0+ z)–f(z0). ). . g(x) |
||||||||||
$$ , , / z→0 |
x→0. ' - |
|||||||||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' = lim |
|
y |
= lim |
y |
|
z |
= lim |
y |
lim |
z |
= y' z' = f’(z0) g’(x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
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x→0 |
x x→0 |
z |
x z→0 |
z x→0 |
x |
|
- , $ -
0 x % + z → 0 , + !
.
y = Cosx = Sin( π / 2 + x ) y' = Cos( π / 2 + x ) 1 = −Sinx.
y = arctgx tgy = x; − |
π |
≤ y ≤ |
π |
|
y' |
|
= 1 y' ( 1 + tg 2 y ) y' = |
1 |
. |
|
|
cos 2 |
|
|
|||||
2 |
2 |
|
y |
x 2 + 1 |
$ . ). & $ = ( ) $$
0, $ = ( ) $$ - %+ 0 / y’(x0) x’(y0)=1.
'- : & $ , $ , . . / ( . .). *
|
y’(x0)=tgα , |
x’(y0)=tgβ=tg(π/2−α)=ctgα. . |
|
|
|
|||
% y’(x0) x’(y0)= tgα ctgα=1. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
7 $ . |
|
|
|
|
|
) . & $ y=f(x) $$ - |
|
|
||||||
0 , |
|
|
||||||
$ (1:7) |
|
|
|
α |
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f ( x ) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 ), x → x0 . |
|
|
β |
|||||
'- : % + , . . |
|
|
|
|||||
lim |
f ( x) − f ( x0 ) |
|
= f ' ( x0 ) |
f ( x) − f ( x0 ) |
= f ' ( x0 ) |
+ α ( x), |
|
|
x − x0 |
x − x0 |
|
|
|||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x → x0 , . .
…
( ), 1 -8- – 2011
|
|
1:7. $ |
|
|
“Y” = %, “Y” = %#, # = ( – 0), |
|
→ 0. |
|
|
|
|
|
|
& – / % |
|
|
$ f(x) % $% f(x0)+f’(x0)(x–x0) |
|
( (x–x0) ). |
|
0 |
|
: $
x ≈ 3 + 1 ( x − 9 ) , ≈ 9, , = 10.
6
# f(x) = 0. , ( %).
0 – # . / %
f(x) = 0 # f(x0)+f’(x0))x–x0)=0. |
|
|
||||
2 $ % |
xn+1 |
= xn |
− |
f ( xn |
) |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
f ' ( xn ) |
%.
. f(x) = x2 – 2 .
'$$ $ .
. $ y=f(x) $$ . ) $$
$ y=f(x) [x, x+ x] dy=f’(x) |
x. |
|
||||
. '$$ , – |
|
|
||||
|
. |
|
|
o( x) |
||
( |
d(…)=(…)’ x. 2 2 , . " |
|
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|
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dy |
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( 1:7 $$ . # $ .
$ y=f(x) $$ 0. ) 1:7 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x–x0)+o(x–x0), x–x0 →0.
( % , ,0+ |
,. |
= dy + o( |
x), x→ 0 ( . .) |
, x y ≈ dy.
- # $ .
y = x 2 + x 3 , x = 2 ± h;
.
y = 10 x , x = 4 ± 0,01
# , .
. $ =f(x) $$ (a,b). ) /
$ y=f’(x). / $ ( +-) , $ f’’(x).
" $ .
1./ ( ).
2.) :. 0 – / $ y=f(x) f(x) $$ -
/ . ) f’(x0)=0.
': / .
. = 4 3 – 3 4.
. 7 f’(x0)=0 0
( ), 1 |
-9- |
– 2011 |
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[a, b] $ y = f(x). ) 1- 2- # / ! # ! # ,. . + % x1, x2 [a, b] , f(x1)=m, f(x2)=M /
m ≤ f(x) ≤ M % , [a, b]. - -
) = >& = $ .
0 # . $ y = f(x) [a, b]$$ , , , . # $
, :
/ . 1, # -
.
012"7 . 1, 2, 3 $ , + [a, b]
f(a), f(x1), f(x2), f(x3), f(b) # m # M. (-
% .
. = 3x4+4x3–12x2, x [–1, 1] . : –2 , 0 , 1
( f(–1)=–13; f(0)=0; f(1)=–5. m=–13, M=0. *, [–1, 1]
$ : –13 ≤ f(x) ≤ 0.
f(b)
f(a)
a |
c |
b |
)& 0& 1 71 01 61 ( +). & f(x) [a,b] $$ (a,b), + (a,b) , + $
f(b)–f(a)=f’(c)(b–a).
'- : : % % %, - %+ % A(a,f(a)) B(b,f(b)).
= , , 12. <
, , /
tgα = f ' ( c ) = f ( b ) − f ( a ) . b − a
f(b)–f(a)=f’(c)(b–a). * $ : «' "
" " ».
' .
)& 0& 1. f(x) $$ ( , , ) (a,b)
! / ( ). ) f(x)
( ) / .
'- : % [x1,x2] (a,b) % 7 , / f(x2)–f(x1)=f’(c)(x2–x1). % , -
.
' / .
)& 0& 1. f(x) $$ ,0
/ , ,0 %
( %). ) ,0
f ‘>0 |
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1 .
. y= 6ln|x|+x2 –8x.
( ), 1 |
-10- |
– 2011 |
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3." % 1 % . -
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0
: 0/5 6/0 – % !!!!
012"7 7 ")178
f(x), g(x) $$ 0 + % / , -
g ‘( 0 ) ≠ 0. )
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0 |
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x→ x |
0 |
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f (x0 ) + f ' ( x0 )(x − x0 ) |
= |
|
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f ' ( x0 ) |
|
= lim |
f ' ( x) |
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|
g( x) |
g (x0 ) + g ' ( x0 )(x − x0 ) |
|
|
g ' ( x0 ) |
g' ( x) |
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x→ x0 |
|
x |
→ x0 |
|
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|
x→x0 |
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− 2 |
|
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|
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e x − 1 |
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0 |
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lim |
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x |
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lim |
= lim |
= |
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|
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|
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|
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|
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x→0 |
Sinx |
0 |
|
|
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")178 |
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lim |
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= ... = − |
1 |
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|
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lim |
x − Sinx |
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|
|
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x→0 |
x 2 |
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|
|
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|
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2 |
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|
|
|
|
|
x→0 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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2arctgx − π |
= |
0 |
= ... |
|
|
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x→+∞ |
x→+∞ ( 1 / x ) |
0 |
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! 2. 7 ! 0 ,
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|
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0 |
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! |
∞ |
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ln |
x |
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x→+∞ x 2 |
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x→+∞ x |
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: 0 <71 )&=7 01.
. $ f(x) n $$ 0. )
) n- $ f(x) 0
T ( x ) = f ( x |
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) + |
f ' ( x0 ) |
( x − x |
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) + |
f ' ' ( x0 ) |
( x − x |
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)2 + ... + |
f ( n ) ( x0 ) |
( x − x |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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|
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|
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|
|
|
|
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. f(x)=2x2+3x+4, 0=1, (2( ). 2: ' ' ( )=( ( ). '
, $ / .
. Sinx ≠ x – x3/6.