- •Введение
- •§1. Понятие вектора и основные определения
- •§2. Базис и координаты
- •§3. Орт и направляющие косинусы
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Тестовые задания
- •Экспресс-опрос
- •Контрольная работа №4 для обучающихся по заочной форме
- •Требования к экзамену по разделу «Векторная алгебра»
- •Библиографический список
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
A1(1,3, 0); A2 (4, −1, 2); |
A3 |
(3, 0,1); |
A4 (− 4,3,5). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
x = {−13, 2,18}; |
|
p = {1,1, 4}; |
|
|
q = {− 3,0,2}; |
|
r |
|
= {1,2,−1}. |
||||||||||||||||||||||
|
3. |
a = {6,3, 4}; |
|
|
|
= {−1, − 2, −1}; c = {2,1, 2}. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
A1(− 2, −1, −1); |
|
A2 (0,3, 2); |
|
|
A3 (3,1, − 4); |
A4 (− 4, 7,3). |
|||||||||||||||||||||||||
|
2. |
x = {0, − 8,9}; p = |
{0, − 2,1}; |
|
|
q = {3,1, −1}; |
|
r |
= {4, 0,1}. |
||||||||||||||||||||||||
|
3. |
a = {4,1,1}; |
|
= {− 9, − 4, − 9}; c = {6, 2, 6}. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
A1(− 3, − 5, 6); A2 (2,1, − 4); |
|
|
A3 (0, − 3, −1); |
A4 (− 5, 2, − 8). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
x = {8,− 7,−13}; |
|
|
p = {0,1,5}; |
q = {3,−1,2}; |
|
r |
= {−1,0,1}. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3. |
a = {− 3,3,3}; |
b |
= {− 4, 7, 6}; c |
= {3, 0, −И1}. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВариантД30 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
A3 (−1,3, − 3); |
|
A4 (−10, − 8, 7). |
||||||||||||||||||||||
|
1. |
A1(2, − 4, − 3); A2 (5, − 6, 0); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
x = {2,7,5}; p = |
{1,0,1}; |
q = {1, − 2, 0}; |
r |
= {0,3,1}. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
С |
|
|
= {0, − 2, −1}; c = {− 2, 4, −1}. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
a = {− 7,10, − 5}; |
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа № 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
Даны векторы |
|
|
=(2,2,3); |
|
|
|
=(1,2,3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
a |
|
|
a =(1,1,1). Образуют ли |
|||||||||||||||||||||||||||
базис |
в пространстве |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
? |
|
3 |
|
|
|
|
|
модуль вектора |
|||||||||
|
векторы a |
|
|
, |
|
a |
|
a |
|
|
Найти |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 a1 − 3a2 +a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
, построенные по векторам |
|||||||||||||||||||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы |
|
|
c1 |
|
c2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a =(1,− |
2,5) и b =(3,0,− |
1), если c1=4 a |
− 2b ; |
c2 |
=− 2a +b ? |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Даны вершины тетраэдра А(1,− 2,3), |
В(2,− 3,2), С( −1,4,2), |
D( − 3, 2,1). Найти угол между векторами AD и AC и площадь грани
АВС.
34
4. Найти работу силы F =( −1,3,4), приложенной к точке А при перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп-
ределить момент силы F относительно точки В.
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Даны |
векторы a1=(2,1,−1); a2 =(2,− 3,1); a3 =( −1, − 2,− 4). |
||||||||||
Образуют ли |
базис в пространстве векторы |
a1, a2 , a3 ? |
Найти мо- |
|||||||||
дуль вектора a1 − 2 a2 + a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
||||||||||
a =(3,4, −1) и b =(2,−1,1), если c1=6 a − 3 b ; c2 =− 2 a +b ? |
С(− 5 ,1,1), |
|||||||||||
3. |
Даны вершины тетраэдра А(1,2,− 3), В( − 2,3,4), |
|||||||||||
D(1,3, − 4). Найти угол между векторами |
И |
|
||||||||||
A |
|
D |
и |
A |
|
C |
и площадь грани |
|||||
АВС. |
|
|
,3), приложенной к точке А при |
|||||||||
4. |
Найти работу силы F =(1,− 2 |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
|
|
|
б |
|
Д3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
|
Даны векторы |
|
|
=(1,2,0); |
|
|
=(0,− 3,0); |
|
|
||||||||||
|
|
a |
|
|
a |
a =(2,1,1). Образуют |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
А2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
ли базис в пространстве векторы a1 |
, a2 |
a3 ? Найти модуль вектора |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a1 |
− a2 |
+a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
, построенные по векторам |
|||||||||
|
2. |
|
Коллинеарны ли векторы |
|
c |
c |
|
||||||||||||||
|
|
, |
− 3, |
и |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
a =( − 2 |
− 2) и b =(1,0,5), если c1=3 a |
+9b |
; c2 |
= − a |
− 3 b ? |
||||||||||||||||
|
3. |
|
Даны вершины |
|
тетраэдра |
А(1,2,− 3), В( − 3,2,1), С(4,5,6), |
|||||||||||||||
D(6,5,4). Найти угол между векторами |
A |
|
и |
|
|
|
и площадь грани |
||||||||||||||
D |
A |
C |
|||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
Найти работу силы F =(1,− 3,4), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
1. |
|
|
=(2,− 2 |
,1); |
|
=(2,1,1). Образуют |
Даны векторы a1 |
=(3,3,1); a2 |
a3 |
35
ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль вектора
2 a1 −3a2 + a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
||||||||
a =( −1,4,2) и b =(3,− 2,6), если c1=2 a − b ; c2 =− 6a +3b ? |
||||||||||
3. Даны вершины тетраэдра |
А(2,− 3,1), В(3,2,1), С(1,2,3), |
|||||||||
D( −1,2,4). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
и площадь грани |
||
A |
|
D |
A |
C |
||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти работу силы F =(2,− 3,4) приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=( − 2,3,1). Образуют |
||||||||||||
|
1. Даны векторы a1 |
=(2,1,1); a2 =(0,2,2); |
a3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ли базис в пространстве векторы |
a |
|
, a |
|
|
, |
|
a |
? Найти модуль вектора |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 a1 − |
4a2 |
+a3 . |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. Коллинеарны ли векторы |
|
|
|
|
|
|
, |
построенные по векторам |
||||||||||||||||||
|
c |
|
|
и c |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a =(5,0,−1) и b =(7,2,3), если c1 |
=2 a |
− b ; |
|
c2 = − 6a |
+3b ? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3. Даны |
вершины |
б |
|
|
|
( − 2,3,1), |
|
|
В(1,3,−1), С(2,3,4), |
|||||||||||||||||
|
тетраэдра |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
D( − 4,3,2). Найти угол между векторами CB и |
BD и площадь грани |
||||||||||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти работу с лы F =( − 2,3,4), приложенной к точке А при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
В. Координаты точек взять из задания 3. Оп- |
|||||||||||||||||||||||
перемещении ее в точку |
|||||||||||||||||||||||||||
ределить момент силыиF относительно точки В. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1. Даны векторы |
|
|
|
|
=(1,1, |
− 2); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a =(2,0,1); |
a |
|
|
|
a =( −1,5,2). Образу- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
ют ли базис в пространстве векторы |
a |
, a |
|
a |
? Найти модуль векто- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра a1 − 3a2 +2 a3 . |
|
|
|
|
|
и |
|
|
, |
построенные по векторам |
|||||||||||||||||
|
2. Коллинеарны ли векторы |
c |
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a =(0,3, |
− 2) и b =(1,− 2,1), если c1=5 a − 2 b ; |
c2 =3 a +5b ? |
|||||||||||||||||||||||||
|
3. Даны вершины |
тетраэдра |
|
|
А(1,2,3), |
В(3,2,1), С( − 2,3,− 3), |
|||||||||||||||||||||
D( − 3,1, |
− 3). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
и площадь |
||||||||||||||||||
A |
|
D |
A |
C |
|||||||||||||||||||||||
грани АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
4. Найти работу силы F =( − 3,4,5), приложенной к точке А при перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп-
ределить момент силы F относительно точки В.
|
Вариант 7 |
|||
1. |
Даны векторы a1=(2,1,−1); a2 =(5,−1,2); a3 =(1,2,1). Образуют |
|||
ли базис в пространстве векторы a1, |
a2 , a3 ? Н айти модуль вектора |
|||
a1 − 4a2 +2 a3 . |
|
|
|
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
||
a =( − 2,7,−1) и b =( − 3,5,2), если c1=2 a +3b ; c2 =3 a +2b ? |
||||
3. |
Даны вершины тетраэдра |
А(2,3,5), В(− 2,3,4), С( − 3,4,5), |
||
|
|
И |
||
D(1,1,1). Найти угол между векторами CB и |
BD и площадь грани |
|||
АВС. |
|
|
|
|
4. |
Найти работу силы F =(2,5,4), приложенной к точке А при пе- |
ремещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВариантД8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1. |
|
|
=(3,2,1); |
|
|
=(2,5,3); |
|
=(3,4,2). Образуют ли |
||||||||||||
|
Даны векторы a |
a |
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
А2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
базис |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
? |
Найти модуль вектора |
||||||||
в пространстве векторы a1 |
a2 |
|
a3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a1 − a2 |
+3 a3 . |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
, |
|
построенные по векторам |
||||||||
|
2. Коллинеарны ли векторы c |
|
|
c |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
и |
|
1 |
|
|
|
2 |
= − |
|
|
|
|
|||||||
a =(3,7,0) и b |
=(1,− 3,4), если c1=4 a |
− 2b ; |
|
c2 |
2a |
+b ? |
|||||||||||||||
|
3. Даны |
вершины |
тетраэдра |
А(2,1,3), |
В( − 3,2,1), С(2,5,6), |
||||||||||||||||
D( − 6,4,5). Найти угол между векторами A |
|
и |
|
|
|
и площадь грани |
|||||||||||||||
D |
A |
C |
|||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти работу силы F =(1,2,3), приложенной к точке А при пе- |
||||||||||||||||||||
ремещении ее в точку В. |
Координаты точек взять из задания 3. Опре- |
делить момент силы F относительно точки В.
37
Вариант 9
1. Даны векторы a1=(1,− 2,3); a2 =(2,1,4); a3 =(3,1,−1). Образуют ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль вектора
2 a1 − 3a2 +4 a3 .
2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a =( −1,2,−1) и b =(2,− 7,1), если c1=6 a − 2b ; c2 = − 3a +b ?
3. Даны вершины |
тетраэдра А(2,− 2,3), В(1,2,3), С( − 3,2,1), |
||
D(3,2,− 4). Найти угол между векторами |
CB |
и BD и площадь грани |
|
АВС. |
|
4. Найти работу силы F =(3,− 4,6), приложенной к точке А при
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 10
|
1. |
|
|
=(0,2,− 3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Даны векторы a |
a |
2 |
=(5,−1И,4); a =(2,1,−1). Образу- |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ют ли базис в пространстве векторы aД, a , a ? Найти модуль вектора |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
2 a1 − |
3a2 +2 a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
, построенные по векторам |
||||||||||
|
Коллинеарны ли векторыАc и c |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
a =(7,9, |
− 2) и b |
=(5,4,3), если c1 |
=4 a |
− b |
; c2 = − a +4b ? |
|||||||||||||
|
3. |
С |
|
|
|
|
|
|
А(3,1,− 3), |
В(2,3,4), С(4,3,2), |
||||||||
|
Даны |
верш ны тетраэдра |
|
|||||||||||||||
D( −1,0,3). Найти уголимежду векторами A |
D |
и |
A |
|
C |
и площадь грани |
||||||||||||
АВС. |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
,3), приложенной к точке А при |
|||||||||
|
Найти работу силы F =(1,− 7 |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
=( − |
3 |
,− 5 |
, − 6); |
|
||||
Даны векторы a |
=(3,4,5); a |
|
a =(2,2,4). Обра- |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
, |
|
, |
|
3 |
|
зуют ли базис в пространстве векторы a |
|
a |
|
a ? Найти модуль век- |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
тора 2a1 |
− a2 |
− 5 a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
||||
a =(5,0,− 2) и b =(6,4,3), если c1=5 a − 3b ; c2 = −10a +6b ? |
||||||
|
|
|
||||
3. |
Даны вершины тетраэдра |
А(3,4,1), В(2,− 3,4), С(1,2,2), |
||||
D( − 2,3,4). Найти, угол между векторами A |
|
и |
|
C и площадь грани |
||
D |
A |
|||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти работу силы F =(2,− 3,4), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 12
|
1. |
|
|
|
|
=(1,2,3); |
|
=(2, |
−1,1); |
|
=( |
− 3,4,−1). Образу- |
||||||||||||||||||
|
Даны векторы a |
a |
|
a |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
ют ли базис в пространстве векторы a |
, |
a |
|
И |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
, |
a |
? Найти модуль вектора |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 a1 |
− 2a2 |
− a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
, |
построенные по векторам |
||||||||||||||||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a =(8,3, |
−1) и b |
=(4,1,3), если c1=2 a − b ; |
c2 = − 4a +2b ? |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Даны вершины тетраэдра |
|
А(1,2,3), |
|
В(3,2,1), |
С( − 2,3,− 4), |
|||||||||||||||||||||||
D( − 4,2,− 3). Найти угол между векторами |
|
|
|
|
|
и |
|
C и площадь гра- |
||||||||||||||||||||||
A |
|
D |
A |
|||||||||||||||||||||||||||
ни АВС. |
|
|
|
|
б |
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4. |
Найти работу силы |
F =( − 3,4, |
− 5 ), приложенной к точке А |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
В.АКоординаты точек взять из задания 3. |
||||||||||||||||||||||||
при перемещении ее в точку |
||||||||||||||||||||||||||||||
Определить момент с лы F относительно точки В. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(1,1,1); |
|
|
|
=(1,3,2). Образуют ли |
|||||||||||||||
|
Даны векторы a1=(2,5,2); |
a2 |
|
|
a3 |
|||||||||||||||||||||||||
базис в |
пространстве |
|
векторы |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
a |
|
|
a ? Найти модуль вектора |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 a1 |
−3a2 |
+ a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
, построенные по векторам |
|||||||||||||||||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a =(3,− |
1,6) и b |
=(5,7,10), если c1=4 a −2b ; c2 = − 2a |
+b |
? |
||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Даны вершины тетраэдра А(3,2,1), |
В(−1,2,− 3), С(4,2,− 2), |
|||||||||||||||||||||||||||
D(1,2,3). Найти угол между векторами |
|
A |
|
и |
|
C и площадь грани |
||||||||||||||||||||||||
|
D |
A |
||||||||||||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. |
Найти работу силы F =(1,− 5 ,4), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
39
Вариант 14
1. Даны векторы a1=(2,3,− 2); a2 =( −1,−1,1); a3 =(4,1,1). Обра-
зуют ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль вектора 4a1 −3a2 −5 a3 .
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
||||||
a =(1,− 2,4) и b =(7,3,5), если c1=6 a − 3b ; c2 =− 2a + 6 b ? |
||||||||
3. Даны вершины тетраэдра |
А(2,1,4), В( − 4,2,1), С(3,− 2,6), |
|||||||
D(6, − 2,3). Найти угол между векторами A |
|
и |
|
|
|
и площадь грани |
||
D |
A |
C |
||||||
АВС. |
|
5 ,7), приложенной к точке А при |
||||||
4. |
Найти работу силы F =(3, − |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 15
|
1. |
|
|
|
|
|
|
=(1,2,4); |
|
=(1, |
−1,1). Образуют |
|||||||||||
|
Даны векторы a =(1,1,4); |
a |
|
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
И3 |
модуль вектора |
||||||||
ли базис в пространстве векторы |
a |
|
, |
a |
|
|
|
|
a ? |
Найти |
||||||||||||
|
|
|
|
б |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
2 a |
− 5a |
|
+a . |
|
|
Д |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
, построенные по векторам |
||||||||||
|
2. Коллинеарны ли векторы |
|
c |
|
|
|
c |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a =(3,7,0) и b |
=(4,6,−1), если c1А=3 a +2b ; c2 =5 a − 7b ? |
|||||||||||||||||||||
|
3. Даны верш ны тетраэдра |
|
|
А(2,− 3,4), |
В(4,− 3,2), С(1,2,3), |
|||||||||||||||||
D( − 3,2,1). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
C и площадь грани |
||||||||||||||||
A |
|
D |
A |
|||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти работу силы F =(1,− 2,3), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп- |
||||||||||||||
ределить моментСсилы F относительно точки В. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
|
=(2,4, |
− 3); |
|
|
=( − 4,− 5 ,2). Обра- |
||||||
Даны векторы a |
=(3,2,4); a |
|
a |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
, |
|
, |
3 |
|
|
||
зуют ли базис в пространстве векторы a |
a |
|
a |
? Найти модуль век- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
||
тора a1 |
−3 a2 |
+a3 . |
|
|
|
|
, построенные по векторам |
|||||||
2. Коллинеарны ли векторы c |
и c |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
a =(2, −1,4) и b =(3, − 7, |
− 6), если c1=2 a −3b |
; |
c2 =3 a |
−2b ? |
40
3. Даны вершины тетраэдра А(1,2,3), В(3,2,1), С( − 4,2,− 3),
D( − 3,4,− 3). Найти угол между векторами AD и AC и площадь гра-
ни АВС.
4. Найти работу силы F =( − 4,4,− 3), приложенной к точке А при перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3.
Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 17
1. Даны векторы a1=(2,1,3); a2 =( − 4,− 2,−1); a3 =(3,4,5). Обра-
зуют ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль век-
тора 4a1+3 a2 − a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
|
|
и c2 , построенные по векторам |
|||||||||||||||||
a =(5,−1,− 2) и b =(6,0,7), если c1 |
=3 a |
− 2b |
; c2 |
=6 a +4b ? |
|
|||||||||||||||||
|
3. |
|
|
|
|
|
|
Д |
В(5,4,3), |
С( −1, − 3,1), |
||||||||||||
|
Даны вершины тетраэдра А(3,4,5), |
|
||||||||||||||||||||
D(1,− 2,4). Найти угол между векторами A |
D |
и |
A |
C и площадь грани |
||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
А |
|
И |
|
|||||||||||||||
|
4. |
Найти работу силы F =(7,− 3,4), приложенной к точке А при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп- |
||||||||||||||||||||||
ределить момент силы F относительно точки В. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
С |
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
|
|
=(2,3,1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Даны векторы a1 |
a2 =( −1,2,− 2); a3 =(1,2,1). Образуют |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ли базис в пространствеивекторы a |
|
, a |
|
a ? Найти модуль вектора |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a1 |
+3 a2 |
− 2a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
, построенные по векторам |
|||||||||||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
|
|
и c2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a =( − 9 |
,5,3) и b =(7,1,− 2), если c1=2 a |
− b |
; c2 =3 a |
+5b ? |
С( −1,− 2,–3), |
|||||||||||||||||
|
3. Даны вершины тетраэдра А(2,5,6), |
|
В(6,5,2), |
|||||||||||||||||||
D(1,0,6). Найти угол между векторами A |
|
и |
|
C и площадь грани |
||||||||||||||||||
D |
A |
|||||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти работу силы F =(2,4,− 3), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
41
Вариант 19
1. Даны векторы a1=(1,2,1); a2 =(2, −1,3); a3 =(3, −1,4). Образу-
ют ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль вектора
2 a1 − 3 a2 − a3 . |
|
|
|
|
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные по векторам |
|||
a =(4,2,9) и b =(0, −1,3), если c1=4 a − 3 b ; c2 =4 a − 3 b ? |
|||||
3. |
Даны вершины тетраэдра |
А(2,4,6), |
В(6,4,− 2), С(1,−1,0), |
||
D(0,2,3). Найти угол между векторами A |
|
и |
AC и площадь грани |
||
D |
|||||
АВС. |
|
,7), приложенной к точке А при |
|||
4. |
Найти работу силы F =(2,− 4 |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 20
1. |
|
|
|
|
=(2,1,7); |
|
|
=(1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1,2,−1). Обра- |
||||
Даны векторы a |
a |
2 |
|
− 2,1); a =( |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
И3 |
|
|||||||||||
зуют ли базис в пространстве векторы |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
a |
|
a ? Найти модуль век- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||
тора a |
− 3 a |
|
+ a . |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
и |
|
, |
построенные по векторам |
||||||||||||||
2. Коллинеарны ли векторы |
c |
|
c |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a =(2, −1,6) и b =( −1,3,8), еслиАc =5 a − 2b |
; c |
2 |
=2 a − 5b ? |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(0,2,− 3), С( − 3,2,0), |
|||
3. Даны верш ны тетраэдра А(2, |
−1, −1), |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(0,0,1). Найти угол между векторами |
|
A |
|
D |
и |
|
A |
C и площадь грани |
|||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти работу силы |
F =(1,− 2,4), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
−1); |
|
|
|
|
Даны векторы a1 |
=(3,1,4); a2 =(2,1, |
a3 =(1,−1,5). Образуют |
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
ли базис в пространстве векторы a |
, a |
|
a ? Найти модуль вектора |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 a1 |
− a2 |
+2 a3 . |
|
|
и |
|
|
, построенные по векторам |
|||
|
2. Коллинеарны ли векторы c |
c |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
a =(5,0,8) и b =( − 3,1,7), если c1 |
=3 a − 4b ; |
|
|
c2 = |
− 9a |
+12b ? |
42
3. |
Даны вершины тетраэдра А( − 2,1,0), |
В( − 4,1,3), С(3,1,− 4), |
||||||||
D(0,0,0). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
|
и площадь грани |
|
A |
|
D |
|
A |
C |
|||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Найти работу силы F =( − 2,0,3), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
=(1,3, |
− 2); |
|
|
=( − 2,1, −1). Обра- |
|||||||||||||
Даны векторы a |
=(1,2,1); a |
|
|
a |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
3 |
|
|
|
|||||
зуют ли базис в пространстве векторы |
a |
|
a |
|
a |
? Найти модуль век- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||
тора 5a1 −4a2 |
+ a3 . |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
|
c2 , построенные по векторам |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
a =( −1,3,4) и b =(2,−1,0), если c1=6 a −2b |
|
c2 |
− 3a |
+b ? |
|||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Даны вершины тетраэдра А(1,2,3), |
В(3,2,1), С(−1,− 2,− 3), |
||||||||||||||||||||||
D(0,0,0). Найти угол между векторами |
A |
D |
и |
|
A |
C и площадь грани |
|||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
А |
|
|
И |
|
|||||||||||||||
4. |
Найти работу силы F =(1,5,− 6), приложенной к точке А при |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп- |
|||||||||||||||||||||||
ределить момент силы F относительно точки В. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
С |
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
=(2,− 3,0); |
|
=(3,−1,− 2). Обра- |
|||||||||||||
Даны векторы a |
=(4,1,− 2); a |
|
|
a |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
3 |
|
|||||
зуют ли базис в пространствеи |
векторы |
a |
|
a |
|
a |
? Найти модуль ве к- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||
тора 2a1 − 3 a2 |
+a3 . |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 |
|
c2 , построенные по векторам |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a =(1,4, |
− 2) и b =(1,1,−1), если c1= a +b |
; c2 |
=4 a +2b ? |
|
|||||||||||||||||||
3. |
Даны вершины тетраэдра А(2,− 2,3), |
|
В(1,1,− 2), С(0,0,−1), |
||||||||||||||||||||
D(1,2.3). Найти угол между векторами |
AD и |
|
AC и площадь грани |
||||||||||||||||||||
АВС. |
Найти работу силы F =(3,4,1), приложенной к точке А при пе- |
||||||||||||||||||||||
4. |
ремещении ее в точку В . Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
43
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Даны векторы a1=(1,0,1); a2 =(1,1,0); |
a3 =(1,2,1). Образуют ли |
|||||||||
базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? |
Найти модуль вектора |
||||||||||
7 a1 − 5a2 +a3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам |
||||||||||
a =(3,5,4) и b =(5,9,7), если c1=− 2 a +b ; c2 =3 a −2b ? |
|||||||||||
3. |
Даны вершины тетраэдра А(1,− 2,3), |
В( − 2,1,2), С(0,− 4,1), |
|||||||||
D(1,2,3). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
|
|
|
и площадь грани |
||
A |
|
D |
|
A |
C |
||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Найти работу силы F =(2,3,− 2), приложенной к точке А при |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 25
1. |
|
|
|
|
|
|
|
=(2,2,1); |
|
=(1,− 3,1); |
|
|
|
|
−1). Обра- |
|||||||||||
Даны векторы a |
|
a |
2 |
|
a =( −1,0, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
И3 |
|
|
|||||||||||
зуют ли базис в пространстве векторы |
, |
|
|
, |
|
|
|
? Найти модуль век- |
||||||||||||||||||
a |
a |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
тора 2a |
|
− |
5a |
|
+2 a . |
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
, |
|
построенные по векторам |
||||||||||||||
2. Коллинеарны ли векторы |
c |
и c |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a =(1,2, |
− 3) и b =(2,−1,−1), еслиАc =4 a +3b |
; c |
2 |
=8 a − b ? |
|
|||||||||||||||||||||
3. Даны |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(0,2,3), |
С( − 2,3,1), |
|||||||
верш ны |
|
тетраэдра |
|
А(1,− 2,3), |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( − 2,1,3). Найти угол между векторами |
A |
|
D |
и |
A |
C и площадь грани |
||||||||||||||||||||
АВС. |
|
|
|
|
|
и |
2,2,3), приложенной к точке А при |
|||||||||||||||||||
4. |
Найти работу силы F =( − |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 26
|
|
|
|
|
|
=(0,1,12); |
|
|
||||||
|
1. Даны векторы a =(1,1,1); |
a |
|
|
a =(0,0,1). Образуют ли |
|||||||||
базис |
в |
пространстве |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
? |
3 |
|
||
векторы |
a |
|
, |
a |
|
, a |
Найти модуль вектора |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 a1 −5a2 |
+2 a3 . |
|
|
|
|
и |
|
, |
построенные по векторам |
|||||
|
2. Коллинеарны ли векторы c1 |
c2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a =( − 2,4,1) и b =(1,− 2 |
,7), если c1=5 a +3b |
; c2 |
=2 a |
− b ? |
44
3. Даны вершины |
тетраэдра А(3,− 2,4), В(1,2,− 3), С(4,1,2), |
||||||
D( − 2,3,4). Найти угол между векторами |
|
|
|
и |
|
C и площадь грани |
|
A |
|
D |
A |
||||
АВС. |
|
4. Найти работу силы F =(4,− 3,2), приложенной к точке А при
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
|
|
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1. |
|
|
|
=(2,2,3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(1,1,1). Образуют ли |
||||||||||
|
Даны векторы a |
|
a |
|
|
=(1,2,3); a |
|||||||||||||||||||||||||
базис |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
в пространстве векторы |
a |
|
, |
|
a |
|
|
a |
|
|
? Найти модуль вектора |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a1 − 4a2 + a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
построенные по векторам |
||||||||||||
|
2. |
Коллинеарны ли векторы c |
|
и c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a =(1,0,1) и b |
=( − 2,3,5), если c1= a +2b |
|
; c2 |
=3 a |
− b |
? |
|
||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Даны |
вершины тетраэдра |
Д |
|
|
|
|
В(1,2,3), |
С(2,4,5), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
А(4, |
− |
1,4), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
D(2,− 4,2). Найти угол между векторами A |
D |
и |
A |
C и площадь грани |
|||||||||||||||||||||||||||
АВС. |
4. |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
И |
|
|||||||||||||||||||
|
Найти работу силы F =( − 2, 3,1), приложенной к точке А при |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Оп- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ределить момент силы F относительно точки В. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
Вариант 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
|
|
|
=(1,− 2,2); |
|
|
=(0,1,1); |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Даны векторы a |
|
|
a |
|
a =(4,1,−1). Образуют |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
ли базис в пространствеивекторы |
|
a |
, |
|
|
a |
|
a ? Найти модуль вектора |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 a1 − a2 +a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
построенные по векторам |
||||||||||||
|
2. |
Коллинеарные ли векторы c1 |
|
и c2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a =(1,− |
2,3) и b =(3,0,−1), если c1 |
=2 a |
|
+4b ; c2 =− a |
+3b . |
С(7,− 2,3), |
|||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Даны |
вершины |
|
тетраэдра А(1,− 2,3), В(3,4, − 5 ), |
||||||||||||||||||||||||||
D(5,− 3,4). Найти угол между векторами A |
|
и |
|
C и площадь грани |
|||||||||||||||||||||||||||
D |
A |
||||||||||||||||||||||||||||||
АВС. |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти работу силы F =(4,5,1), приложенной к точке А при пе- |
ремещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
45
Вариант 29
1.Даны векторы a1=(1,− 2,3); a2 =(5,−1,4); a3 =(2,2,4). Образуют ли базис в пространстве векторы a1, a2 , a3 ? Найти модуль вектора
−4a1 − 4a2 + 2a3 .
2.Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам
a =(1,− 2,2) и b =( − 2,3, − 4), если c1= − 4a +2b ; c2 =3 a − 5 b ?
3. Даны |
вершины тетраэдра |
А(4,−1,4), В( − 4,2,3), С(2,4,5), |
||||
D(2,− 4, −1). |
Найти угол между векторами A |
|
и |
|
C и площадь |
|
D |
A |
|||||
грани АВС. |
|
, 3,7), приложенной к точке А при |
||||
4. Найти работу силы F =( − 2 |
перемещении ее в точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
Вариант 30
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны векторы a =(1,− 8,2); |
a |
2 |
=(3,10,−1); a =(4,4,−1). Обра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
И3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
? Найти модуль век- |
|||||
зуют ли базис в пространстве векторы a |
|
a |
2 |
a |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
тора 3a |
|
− a |
|
+a . |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, построенные по векторам |
|||||||||||
2. |
Коллинеарные ли векторы |
c |
|
|
и c |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2,3) и b =(3,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a =(1,− |
−1), если Аc = − 3a +4b ; |
c |
2 |
= − a +3b . |
||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны верш ны тетраэдра А(1,− 2,−1), В( − 5 ,4,− 5 ), С(7,− 2, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD и AC и площадь |
||||||
− 5 ), D(5,− 3,4). Найти угол между векторами |
||||||||||||||||||||||
грани АВС. |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти работу силы F =(4,5,− 5 ), приложенной к точке А при |
перемещении ееСв точку В. Координаты точек взять из задания 3. Определить момент силы F относительно точки В.
46