ВВЕДЕНИЕ

трическ х маш н аппаратов,

применяемых в современном произ-

Сводстве быту.

Данное уче но-методическое пособие содержит теоретический и

й матер ал по курсам общепрофессиональных электро-

техническ х д сц пл н, который необходим обучающимся очной и

заочной формы, как на практических аудиторных занятиях, так и для

практическ

. Пособие обеспечивает каче-

самостоятельной внеаудиторной

ственное выполнен е расчётно-графических или контрольных работ.

работы

А

Д

И

или напряжений и найти значения токов во всех ветвях цепи.

огласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов

в любом узле электрической цепи равна нулю [3, 5]:

С

n

∑ Ik = 0,

(1.5)

k =1

где n – ч сло токов, сходящихся в узле. Токи, входящие и выходящие

из узла, в уравнен

должны учитываться с разными знаками, напри-

токи ∑Uk = 0,

(1.6)

мер, входящ е в узел

– со знаком плюс, выходящие из узла токи –

со знаком м нус.

огласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма на-

пряжен й участков лю ого контура электрической цепи равна нулю:

выбранным

m

вольно

направлением обхода контура,

и со знаком минус

– противоположно направленные, или наоборот [3,

5].

В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего

только источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сум-

ма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сум-

ме ЭДС [3, 5]:

А

m

n

∑Rk Ik = ∑Ei ,

(1.7)

k =1

i=1

где m – число резистивных элементов; n – число источников ЭДС в

Д

контуре. Со знаком плюс записываются Э

С и токи, положительные

направления которых совпадают с произвольно выбранным направ-

лением обхода контура, и со знаком минус – противоположно на-

правленные, или наоборот.

И

1.1.2. Потенциальная диаграмма электрической цепи

Потенциальную диаграмму строят для контура цепи: выбирают

исходную точку, потенциал которой принимают равным нулю; опре-

деляют потенциалы остальных точек контура, используя закон Ома

для участка цепи.

Рассмотрим пример построения потенциальной диаграммы для

схемы, изображённой на рис. 1.2, а. За исходную точку принимаем

точку а, φа

= 0. Относительно этой точки в произвольном направле-

нии рассчитываются потенциалы всех точек контура.

a

I2

b

φ, В

d

R1

R2

R3

e

r03

С I3

a

R2

a

e

c

R3

E1

E3

0

r01 R1

R, Ом

r01

I1

r03

b

d

и

c

б

а

Рис. 1.2. Пример построения потенциальной диаграммы:

а – контур сложной электрической цепи; б – потенциальная диаграмма

б

Потенциал точки, следующей за приёмником электрической

энергии по направлению тока, удет меньше потенциала предыдущей

на величину падения напряжения на этом участке:

А

ϕb

= ϕa

− I2R2

;

ϕc = ϕb − I3R3 .

Потенциал точки, следующей за источником-генератором по

направлению тока, будет больше потенциала предыдущей на величи-

ну напряжения этого источника:

Д

ϕd = ϕc + (E3 − I3r03 ).

Потенциал точки, следующей за источником-потребителем по

направлению тока, будет меньше потенциала предыдущей на величи-

ну напряжения этого источника:

И

Потенциальная диаграмма представляет собой построенный в

масштабе график зависимости потенциалов точек цепи от величины

сопротивлений участков между этими точками (рис. 1.2, б). Сопро-

тивления откладываются последовательно друг за другом в порядке

следования их по контуру, т.е. от точки до точки.

1.1.3. Эквивалентные преобразования в резистивных цепях

В электр ческ х цепях резисторы соединяются последователь-

но, параллельно ли смешанно [1, 2, 3, 5, 6].

оед нен е рез сторов называется последовательным, если

С

олее чем с двумя другими, причём так,

каждый элемент соед нён не

что с каждым

з н х у него есть только одна общая точка. Это озн

а-

чает, что в последовательном соединении не может быть узлов и, как

следств е, во всех элементах протекает один и тот же ток. Общее

напряжен е

последовательном соединении равно сумме напря-

при

а). В соответствии со вторым

жений на отдельных участках (рис. 1.3,

законом К рхгофа

законом Ома

U = U1

+U2

+U3

= R1I + R2 I + R3I = (R1 + R2 + R3 )I = RI.

б

Поэтому

R = R1 + R2 + R3 .

а

I

R1

б

I

U1

А

I3

E

U

U2

R2

E

I1

I2

U

r0

r0

G1

G2

G3

U3

Д

R3

Рис. 1.3. Соединение резистивных элементов:

а – последовательное; б – параллельное

И

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из последова-

тельно соединённых резисторов, равно сумме сопротивлений этих ре-

зисторов.

n

R = ∑ Rk .

(1.8)

k =1

Резисторы включены параллельно, если они присоединены к од-

ной и той же паре узлов (рис. 1.3, б).

Напряжения на параллельно соединённых резисторах одинаковы.

Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома, можно записать

I = I1 + I2 + I3 = G1U + G2U + G3U = (G1 + G2 + G3 )U = GU.

ледовательно,

G = G1 + G2 + G3 .

При параллельном соединении складывают проводимости уча-

стков цепи

С

n

1

n

1

G =

∑Gk

или

R

= ∑

.

(1.9)

k=1

k=1 Rk

При параллельном соединении токи в ветвях обратно пропор-

циональны сопрот влен ям ветвей.

Смешанное соед

– это сочетание последовательного и па-

нение

раллельного соед нен й. Для каждого смешанного соединения мож-

но найти экв валентное сопротивление путём последовательных эк-

вивалентных прео разований. Рассмотрим эту задачу на примере

схемы рис. б1.4.

R1

R1

a

a

R2

А

R4

R3

R4

R23

R5

R5

b

b

Д

R1

a

R

R234

R5

И

b

Рис. 1.4. Эквивалентное преобразование

смешанного соединения

Здесь изображены четыре ветви. В первую входит резистор R1; во

вторую резисторы R2

и R3; в третью резистор R4 и в четвёртую – R5.

Вторая и третья ветви включены параллельно, т.к. обе соединены с уз-

лами a и b. Однако из этого не следует, что параллельно соединены ме-

жду собой элементы этих ветвей. Это было бы справедливо только в

том случае, если бы обе ветви состояли из одного элемента. На первом

этапе эквивалентное преобразование возможно только для последова-

тельного соединения R2 и R3 во второй ветви: R23 = R2 + R3. Теперь каж-

дая из параллельных ветвей состоит из одного элемента, они образуют

параллельное соед нен е, для которого эквивалентное сопротивление

1

1

1

R23 + R4

R2 + R3 + R4

(R2 + R3 )R4

С

=

=

, R234

=

.

R234

=

R23

+

R4

R23R4

(R2 + R3 )R4

R2 + R3

+ R4

В результате

последовательное соединение резисто-

ров с экв валентным сопротивлением

получили

= R + R + (R2 + R3 )R4 .

R

= R

+ R + R

1

5

234

1

5

R2 + R3

+ R4

В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя све-

сти к комбинациибпоследовательных и параллельных. К ним относят-

ся соединения звездой и треугольником. Взаимное преобразование

этих соединений часто позволяет получить более простые смешанные

соединения.

В общем случаеАсхему замещения цепи по схеме «n-лучевой

звезды» из резистивных элементов можно заменить эквивалентной

схемой в виде «n-стороннего треугольника». Обратное преобразова-

ние возможно в ограниченном числе случаев.

В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для

Д

случая треугольника (рис. 1.5, а) и трёхлучевой звезды

(рис. 1.5, б).

а

b

R3

б

b

ИR

R1

b

R2

Rd

Rc

d

c

d

c

Рис. 1.5. Схемы соединения резистивных элементов:

а – треугольник; б – звезда

ную звезду спользуют формулы

R1R3

R2R3

R1R2

С

Rc =

;

;

Rd =

. (1.10)

Rb =

R1

+ R2 + R3

R1 + R2 + R3

R1

+ R2

+ R3

Возможно о ратное прео разование звезды сопротивлений в эк-

треугольник. Сопротивления ветви треугольника при

таком преобразован

вычисляются следующим образом:

вивалентный

R

= R

= R

+ R

d

+ RbRd ;

1

bd

b

Rc

б

+ Rс Rd ;

(1.11)

R

= R

сd

= R

+ R

d

2

с

Rb

R

= R

= R

+ R

+ RbRc .

3

bc

b

c

Rd

А

1.1.4. Методы расчёта цепей постоянного тока

Применение законов Кирхгофа для расчёта электрических цепей.

Д

И

Метод экв валентных преобразований. Сущность метода за-

ключается в том, чтобы сложную разветвлённую цепь с помощью эк-

вивалентных преобразований привести к простейшей одноконтурной

С

цепи, включающей ветвь с искомым током, значение которого опре-

деляется затем по закону Ома. К эквивалентным преобразованиям от-

носятся [5, 6]:

-

е представления источников электрической

. Под эт м

разованием понимается переход от пред-

энергии

ставлен

я сточн ка электрической энергии параллельным соедине-

нием сточн ка тока

внутренней проводимости к последовательно-

му соединению источника ЭДС и внутреннего сопротивления, а так-

же обратное прео разование;

преобразован

-

А

замена последовательных и параллельных соединений одно-

угольник – звезда.

Метод эквивалентного

генератора. ля нахождения тока в

произвольной ветви всю внешнюю по отношению к ней электриче-

скую цепь представляют в виде некоторого эквивалентного генерато-

И

ра с ЭДС EЭ и сопротивлением RЭ. Тогда ток в этой ветви можно о п-

ределить по закону Ома [5, 6].

Д

контурных токов равно [pB − (q – 1)]. Рекомендуется выбирать pТ кон-

турных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источ-

ник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соот-

С

сточников тока:

J1, J2 , , J pT ,

и они обычно

ветствующ

токами

являются

условиями задачи), а оставшиеся n = [p − (q – 1)]

контурных токов вы

рать проходящими по ветвям,

не содержащим

источн ков тока. Для определения последних составляют по второму

законузаданнымиК рхгофа для эт х контуров n уравнений в виде [5, 6]:

R11I11 + R12 I22

+ + R1k I1k +...+ R1n Inn + R1n+1J1 + + R1n+ p J p

= E11;

R

T

T

21

I

11

+ R

22

I

22

+ + R

2k

I

2k

+...+ R

2n

I

nn

+ R

2n+1

J

1

+ + R

2n+ pT

J

pT

= E

22

;

б

(1.12)

+...+ Rkn Inn + Rkn+1J1 + + Rkn+ pT J pT

Rk1I11

+ Rk2 I22

+ + Rkk Ikk

= Ekk ;

+ Rn2 I22

+ + Rnk Ink

+...+ Rnn Inn

+ Rnn+1J1

+ + Rnn+ pT J pT

= Enn ,

Rn1I11

А

где Rkk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур k , все-

гда положительное собственное сопротивление контура; Rkl

= Rlk –

сумма сопротивлений элементов, общих для контуров

k

и l

,

причём

если направления контурных токовДв общей для контуров k и l ветви

совпадают, то значение коэффициента

Rkl

положительно,

в противном

случае оно отрицательно; Ekk – алгебраическая сумма Э

С источников,

И

Метод узловых потенциалов. Метод узловых потенциалов по-

зволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до (q – 1).

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключает-

ся в следующем [5, 6]:

- один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым по-

тенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях,

так как ток в каждой ветви зависит только от разности потенциалов

узлов, а не от действительных значений потенциалов;

- для остальных (q – 1) узлов составляем уравнения по первому

закону К рхгофа,

выражая токи ветвей через потенциалы узлов, при-

меняя закон Ома;

С

-

решен ем составленной системы уравнений определяем по-

тенциалы (q – 1) узлов относительно базисного, а затем токи ветвей

по обобщенному закону Ома.

Пр нц

метод

суперпозиции

(наложения). Для линейных

электр ческ х цепей

принцип суперпозиции, заключаю-

справедлив

щийся в том, что реакция электрической цепи на суммарное воздей-

ствие равна сумме реакций на элементарные воздействия. Под

реакцией электрической цепи понимается режим работы, который

устанавливаетсябв результате действия ЭДС источников электриче-

ской энергии. Метод наложения непосредственно следует из принци-

па суперпозиции и заключается в том, что ток в любой ветви линей-

ной электрической цепи можно определить в виде суммы токов,

создаваемых каждым источником в отдельности. Очевидно, что этот

А

метод целесообразно применять в цепях с небольшим количеством

источников [5, 6].

Рассмотрим применение метода наложения на примере расчёта

схемы на рис. 1.6, а.

Д

а

б

в

I1

I3

I11

I31

I12

I32

R1

R2

I2

R3

R1

R2

I21

R3

R1

R2

I22

R3

E

E2

E

И

E2

Рис. 1.6. Метод наложения

нием и законом Ома:

С

I11 =

E1

;

R1 +

R2R3

R + R

2

3

U

= I

R2R3

;

и

11 R + R

23

2

3

I21

= U23 =

I11R3

;

R2

R2 + R3

б

I31

= I11

− I21.

Ток I21 можно найти, используя правило распределения токов по

двум параллельным ветвям: ток в каждой из ветвей пропорционален

АR R

отношению сопротивления другой ветви к суммарному сопротивле-

нию обеих ветвей.

Отключим теперь первый источник и аналогичным методом оп-

ределим токи в цепи (рис. 1.6, в):

Д

I

22

=

E2

; I

12

=

I22R3

;

I

32

= I

12

− I

22

.

R2

+

1 3

R1 + R3

R1

+ R3

Складывая токи, создаваемые отдельными источниками с учё-

том их направлений, получим искомые токи

И

∑PИk = ∑PПm .

(1.13)

k

m

P

= RI 2 ,

(1.14)

П

уммарная мощность PИ

источников электрической энергии

включает мощность источника ЭДС [5, 6]:

PE = ±EI ,

(1.15)

мощность сточн ка тока [5, 6]:

PJ = ±U J J .

(1.16)

мости

Мощности, рассе ваемые резисторами, всегда положительные, в

Сто время как мощности источников электрической энергии в зависи-

от соотношен я направления падений напряжения и тока в них

ляется по

телем электрической энергии. Следует заметить, что

А

направление падения напряжения всегда противоположно направле-

1. Рассчитать значения всех неизвестных токов, используя:

-

законы Кирхгофа;

Д

-

метод контурных токов;

-

метод узловых потенциалов.

2. Рассчитать ток любой ветви, не содержащей источник тока:

-

методом эквивалентных преобразований;

- методом эквивалентного генератора.И

3. Рассчитать баланс мощностей цепи.

4. Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Исходные данные для расчёта:

Параметры источников энергии: E3

= 10 В, E4

= 20 В, J6 = 2 A.

Параметры потребителей: R1 = 1 Ом,

R2 = 2 Ом,

R3 = 3 Ом, R4 = 4 Ом,

R5 = 5 Ом.

E3

I3

R3

a

R2

I2

R5

I5

c

С

b

d

R4

J6

I4 UJ

R1

E4

I6

источн

I1

Р с. 1.7. Расчётная схема цепи постоянного тока

б

Метод ка расчёта.

Всего в схеме шесть ветвей pВ = 6, ветвей с

ками тока pТ = 1, число неизвестных токов равно p = pВ

– pТ = 5,

количество узлов – q = 4, число уравнений по первому закону

Кирхгофа – (q – 1) = 4 – 1 = 3, число уравнений по второму закону

Кирхгофа – n = [p

А

− (q – 1)] = 2.

независимых контуров: I, II. Составим систему уравнений по законам

Кирхгофа согласно формулам (1.5) и (1.7).

Для узла a:

Д

I1 − I

2 − I

3

= 0

;

для узла b:

I2 + I4 − I5 = 0;

для узла c:

I3 + I5 + I6 = 0 или I3 + I5 = −J6 ;

для контура I:

R1I1 + R2 I2 − R4 I4 = −E4 ;

для контура II:

− R2 I2 + R3I3 − R5I5 = E3.

Полученные уравнения после подстановки в них числовых зна-

чений будут иметь следующий вид:

И

I1 − I2 − I3 = 0;

2

+ I4 − I5 = 0;

I

+ I5 = −2;

I3

I

1

+ 2I

2

− 4I

4

= −20;

− 2I2 + 3I3 − 5I5 = 10.

Решение данной системы даёт числовые значения искомых то-

ков

I1 = –4,24 А; I2

= –3,39 А; I3

= –0,85 А; I4

= 2,24 A; I5 = –1,15 А.

Рассмотрим применение метода контурных токов для расчёта

токов.

Выберем направления контурных токов (рис. 1.8), которые обо-

значим I11, I22 и J6 (последний известен).

С

E

I3

R3

R2

I2

R5

I5

c

a

b

R4

J6

I11

I4

иR1

E4

I1

d

б

Рис. 1.8. Применение метода контурных токов

Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа для

контуров с токами I11Аи I22 (1.12):

(R1 + R2 + R4 )I11 − R2 I22 + R4 J6 = −E4 ;

− R I

11

+

(R

2

+ R + R

)I

22

+ R J

6

= E

3

.

2

3

5

5

После подстановки числовых значений имеем

Д

7I11 − 2I22

+ 8 = −20;

− 2I11 +10I22 +10 = 10.

7I

11

− 2I

22

= −28;

И

= 0.

− 2I11 +10I22

Решив эту систему уравнений, найдём контурные токи

Ток I1 имеет направление контурного тока I11

и равен

I1 = I11 = –4,24 А.

Ток I2 получится от наложения контурных токов I11 и I22

и будет

равен

I2 = I11 − I22 = −4,24 + 0,85 = −3,39А .

Ток I3 совпадает с контурным током I22 и равен

I3 = I22 = −0,85А.

Ток I4 получ тся от наложения контурных токов I11

и J6

и

будет равен

I4 = −(I11 + J6 ) = 4,24 − 2 = 2,24 .

Ток I5 получ тся от наложения контурных токов I22

и J6

и

будет равен

I5 = −(I22 + J6 ) = 0,85 − 2 = −1,15 .

Рассмотр м пр менение метода узловых потенциалов для

расчёта токов.

E

I3

R3

a

R2

I2

R5

I5

c

b

R4

J6

R1

E4

I4

I1

d

Рис. 1.9. Применение метода узловых потенциалов

СибАДИ

Примем равным нулю потенциал узла d, φd

= 0 (рис. 1.9). Для

остальных узлов составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла a

I1 − I2 − I3 = 0;

для узла b

I2 + I4 − I5 = 0;

для узла c

I3 + I5 − J6 = 0 или I3 + I5 = −2 .