1819

s N1 r .

Поэтому при N1 s функция N2, достигает максимума: r

N2max N rs Ln rNs10 N rs (1 Ln rNs10 ) N rs (1 Ln sNr10 ).

На рис. 2.19 представлена кривая

(2.16).

Развитие эпидемии зависит от начальных условий N10.

число больных N2(t) убывает и за конечное

число больных сначала возрастает до максимального значения

Рис. 2.19.График исследуемой зависимости

s r

rs 1 )),

алишь затем убывает до полного исчезновения.N (1 Ln( N0

УПРАЖНЕНИЕ 5. Найти число здоровых (не болевших ) после окончания вспышки эпидемии (т.е. найти lim N1(t)).

t

41

3. МЕТОД ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ (БИОЛОГИЧЕСКОЙ) АНАЛОГИИ

Метод экологической (биологической) аналогии является одним из направлений исследования динамических социально-экономических процессов. Метод экологической аналогии получил распространение, так как:

1)экология – одно из первых направлений науки, в котором успешно стали использоваться математические модели развития;

2)существуют социально-экономические и экологические процессы, которые формально описывались одними и теми же или близкими математическими моделями;

3)использование аналогии носит элемент наглядности.

Рассмотрим изученные экологические модели с точки зрения метода экологической аналогии.

Первая изученная модель – это модель Мальтуса, с нее и начнем.

3.1. Модель Мальтуса

Модель Мальтуса (1.1) позволяет сделать оценку темпов роста национального дохода

dy ay, dt

где a − коэффициент прироста.

3.2. Модель Ферхюльста

Модель распространения рекламы имеет вид, аналогичный модели Ферхюльста (1.2).

Если все население принять за единицу, то y – доля населения, владеющего некоторой информацией, а (1 y) – доля населения, не владеющего информацией. В этом случае модель распространения рекламы будет иметь

dy ay(1 y), dt

где a – коэффициент эффективности передачи информации от владеющих информацией к невладеющим.

3.3. Модель типа «сбор урожая»

dy (a by)y Q . dt

42

Такая модель возникает при исследовании экономики, ресурсы которой ограничены, а часть национального дохода расходуется на какие-либо нужды непроизводственного характера (траты на вооружение, ведение военных действий). Чрезмерные непроизводственные расходы могут привести к неустойчивости и катастрофе.

Подобная модель может быть использована и для оценки влияния сокращения финансирования образования и науки на процессы в обществе. При анализе последствий «утечки мозгов» возникает подобная модель. Если квота отлова, т.е. число покидающих науку квалифицированных специалистов превысит критический уровень, то это приведет к катастрофическим последствиям.

3.4.Модель межвидовой конкуренции

Спомощью модели межвидовой конкуренции

можно исследовать процесс развития частных фирм, которые конкурируют с государственными предприятиями. В этом случае a и b – трактуются как естественные темпы роста предприятий при условии превышения спроса над предложением товаров; m и n – отражают снижение темпов роста в связи с развитием производства, следовательно, увеличением предложения товаров и усилением конкуренции, p и q – могут быть связаны с различными условиями функционирования, например, одни предприятия имеют налоговые льготы, а другие вынуждены платить непомерные налоги.

При благоприятных условиях одна форма предпринимательства (например, частная) может целиком вытеснить государственную.

3.5. Модель «хищник-жертва»

43

Модель может быть использована при анализе цикличности динамики цен. Рост цен стимулирует увеличение предложения товаров. В свою очередь рост предложения приводит к затовариванию и падению цен.

3.6. Модель мобилизации

Модель мобилизации получила свое название из области моделирования социальных процессов. Но для сохранения традиции сначала рассмотрим экологическую модель.

3.6.1. Обозначим через y(t) – численность популяции. Если темпы прироста популяции уменьшаются по мере роста численности популяции, то модель примет вид

dy ye y , dt

3.6.2. Под термином «политическая или социальная мобилизация» в социологии понимается вовлечение людей в политическую партию, обращение в какую-либо веру, участие в каком-либо движении (борьба за мир, экология и пр.).

Если через y(t) обозначить долю мобилизованного населения, то (1 y(t)) – доля немобилизованного населения. Скорость изменения мобилизованного населения можно выразить

dy A B, dt

где А – часть вновь мобилизованного населения; В – потери ранее мобилизованного населения.

A g 1 y , где g – коэффициент агитируемости или эффективности агитации;

44

B hy, где h – коэффициент выбытия.

Подставляя А и В, получаем дифференциальное уравнение:

dy g 1 y hy. dt

После преобразования dy g g h y . dt

Стационарным решением этого дифференциального уравнения явля-

y

график которой приведен на рис. 3.2.

Таким образом, переменная y(t) ye изменяется во времени монотонно, асимптотически приближаясь к своему ста-

3.6.3. В экономической области к данной модели может привести исследование ситуации потребления населением товаров длительного пользования, например холодильников.

Обозначим через y(t) – холодильники, находящиеся у населения некоторого города в t – периоде; T лет – средний срок работы одного холодильника; I – число покупаемых населением ежегодно.

Количество ежегодных покупок изменяется слабо, поэтому динамика общего числа холодильников, которыми пользуется население, определя-

ется уравнением dy I qy, где q – коэффициент выбытия холодильников, dt

в простейшем случае q 1 .

T

Решением этого уравнения является функция y(t) ye (y0 ye ) qt .

45

Полученный результат применяется на практике для оценки обеспеченности населения товарами длительного пользования, если количество ежегодных покупок изменяется слабо. Например, при ежегодной продаже в некотором городе 50 тыс. холодильников, средний срок службы которых составляет около 10 лет, общее число холодильников у населения составляет около 500 тыс. шт. Эта информация позволяет, например, на основе статистики ремонтов определить спрос населения на ремонтные услуги.

3.7. Модель Кюрасао

Метод аналогий может также использоваться для вывода одной экологической модели из другой.

Существуют различные методы борьбы с нежелательным биологическим видом. Один из них, известный как «метод борьбы Кюрасао», заключается в следующем. В популяцию, которая проживает в некотором ареале и которую хотят подавить, регулярно вводят стерильных особей (они участвуют во внутривидовой борьбе). Эти стерильные особи не участвуют в процессе воспроизводства, но вместе со всеми другими участвуют во внутривидовой борьбе, тем самым снижая скорость естественного роста популяции.

Модель Кюрасао получается из модели (1.5), если ввести следующие обозначения:

–N1(t) – число нормальных особей;

–N2 (t) – число стерильных особей;

–g h 1 – коэффициенты прожорливости;

–m n – чувствительность к корму;

a– коэффициент естественного прироста;

k – коэффициент, характеризующий скорость введения стерильных особей в популяцию. Тогда модель Кюрасао выглядит следующим образом:

dN1 /dt N1(a m (N1 N2 ));

dN2 /dt N2 (k m (N1 N2 )).

Если a k, то нормальная популяция не погибает, даже если N20 очень велико. Более того, стерильные особи в этом случае независимо от величины N20 вымирают.

Если же a k , то нормальная популяция вымирает, а популяция стерильных особей увеличивается и ее численность достигает своего максимального значения N2 k/m . Отметим, что после того, как численность

46

N1(t) практически станет равна нулю, можно прекратить ввод новых особей. Тогда популяция стерильных особей также будет уничтожена со временем за счет смертности.

Если a k – обе популяции будут сосуществовать.

Внауковедении аналогичная математическая задача возникает, например, при анализе научного потенциала некоторого творческого коллектива, пополняемого неквалифицированными кадрами.

Вкачестве экономической аналогии рассмотренной биологической модели может служить закупка негодного оборудования или оборудования, которое через короткий промежуток времени становится таковым изза отсутствия, например, запасных частей.

3.8. Модель конверсии

По аналогии с моделью эпидемии (Бейли) можно исследовать структурные изменения в промышленности, которые сопровождаются сокращением удельного веса производства одних товаров и увеличением других. На рис. 3.3 представлена схема модели конверсии.

Рис. 3.3. Концептуальная схема модели конверсии

Для создания модели конверсии введем следующие обозначения:

–N1(t) – мощности предприятия, работающего по старым технологи-

ям;

–N2(t) – мощности предприятия, находящегося в стадии перепрофилирования;

–N3(t) – мощности предприятия, используемые для выпуска новой продукции.

Для упрощения анализа предположим, что суммарные производственные мощности постоянны и равны NS (t): NS (t) N1(t) N2(t) N3 (t)и начальные условия примем следующие: при t=0

N1(0) N10; N2 (0) N20; N3 (0) 0.

В этом случае модель примет вид

47

где a – коэффициент, задающий темпы сокращения мощности N1(t); b – коэффициент, задающий темпы ввода N3(t);

N* – заданный уровень мощности для производства оборонной продукции.

Уравнение (3.1) означает сокращение мощностей, используемых для производства оборонной продукции, с начального уровня до более низкого (целевого) значения N* с темпом сокращения a.

Период спада выпуска оборонной продукции равен T ln(N10 / N*)/a. Уравнение (3.2) определяет динамику мощностей, находящихся в

стадии перепрофилирования и реконструкции. Скорость изменения их числа растет из-за сокращения производства оборонной продукции и падает в связи с окончанием реконструкции. Поэтому динамика переменной N2(t) в течение периода Т задается уравнением

dN2 bN2 aN10 at . dt

Его решением является функция

ln N2 ln N2 (T) b(T t) → N2 N2 (T) b T t , N2(t) определяется экспонентой

N2 N2 (T) b t T , где N2(T) вычисляется по формуле (3.4).

Как видим, значения параметров a и b непосредственно связаны с характерными временами процессов сокращения производства оборонной продукции и наладкой выпуска ТНП. Уравнение (3.3) задает динамику мощностей, используемых для производства новой продукции. В силу постоянства суммарных мощностей имеем

48

N3 NS N1 N2 ,

где N1(t) ,N2 (t) – уже полученные решения.

Итак, мощности N1 , используемые для производства оборонной продукции, сокращаются до заданного уровня N* (линия 1 на рис. 3.4), а мощности N3 , используемые для производства товаров народного потребления, увеличиваются (линия 3).

Рис. 3.4. Динамика мощностей в модели конверсии

Что касается объема мощностей, находящихся в стадии перепрофилирования и реконструкции, то характер их динамики (линия 2) определяется начальными условиями и значениями технологических параметров a и b. Первый из них задает темпы сокращения мощностей N1, а второй – темпы ввода мощностей N3 .

Из анализа полученного решения следует, что при больших значениях параметров а (быстрое сокращение выпуска оборонной продукции до нового заданного уровня) и малых значениях параметра b (медленный ввод новых мощностей – длительный период перепрофилирования) N2(t)сначала растет, достигает максимума, а затем медленно уменьшается (линия 2 на рис. 3.4). В результате этого суммарные значения активных мощностей N1(t) и N3(t) сначала падают, достигают некоторого минимального значения и только после этого начинают медленно расти.

По-видимому, можно найти немало социально-экономических процессов, развивающихся по схеме, изображенной на рис. 3.3. Например, в случае рассмотрения процесса профессиональной переподготовки кадров блок «Производство оборонной продукции» следует заменить на блок «Работающие по старой специальности», блок «Реконструкция» – на блок «Обучающиеся новой профессии», блок «Производство ТНП» – на блок «Работающие по новой специальности». Точно так же можно использовать схему рис. 3.3 для моделирования процессов перехода предприятий от государственной формы собственности к частной.

49

4. ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Для проверки освоенности изученного материала предлагается вы-

брать один правильный ответ на каждый предложенный вопрос.

1. В модели Мальтуса рассматривается:

а) конкуренция видов за один и тот же ресурс, запасы которого ограни-

чены;

б) конкуренция внутри популяции за один и тот же ресурс, запасы кото-

рого ограничены;

в) популяция, численность которой зависит не только от внутривидовой борьбы, но и от отлова;

г) рост численности популяции при избытке пищи и отсутствии других ограничивающих факторов;

д) распространение среди популяции болезни, ослабляющей стойкий им-

мунитет.

2. Математически модель Мальтуса выглядит следующим обра-

зом:

б)dN1(t)/dt dN2 (t)/dt dN3(t)/dt 0; в)dy/dt y(a by) Q;

3. Модель логистического роста – это:

а) модель Мальтуса;

б) модель Кюрасао;

50