применить формулу интегрирования по

частям. Обозначим

опять

u = 2x ; v = ∫sin x dx = −cos x ; du = 2dx, тогда

∫(x2 +1)cos xdx = (x2 +1) sin x −(2x (−cos x) − ∫(−cos x) 2dx =

= (x2 +1) sin x + 2xcos x + 2sin x +C .

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1) ∫(3x −1)cos

x

dx ;

2) ∫ x arctg xdx ;

3) ∫ x2e3xdx ;

3

И

4) ∫arcsin xdx ;

5) ∫ln(x2 +1)dx ;

6)

∫

xdx

;

sin2 x

Д

xdx

7) ∫ x ln(x −1)dx ;

8) ∫ xarcsin xdx ;

9)

∫

ln

.

5

x

2

Ответы

1. (9x −3)sin

x

+ 27cos

x

+C . 2. 1 (x2arctgx − x +arctgx) +C .

3

и

А2

3

3.

e3x

(9x2 −6x + 2)

+Cб. 4. x arcsinx +

1− x2

+C .

27

С

5. x ln(x2 +1) −2x + 2arctgx +C . 6. −x ctgx +ln

sin x

+C .

x2 −1

x2

x

+C. 8. 1 (2x2

x

7.

ln

x −1

−

−

−1)arcsin x +

1− x2

+C .

2

4

2

4

4

9.

5 x3 5 ln x − 25 x3 5 +C .

3

9

§ 4. Интегрирование тригонометрических функций

Подстановка

tg

x

= t , которую будем называть универсальной,

2

∫R(sin x,cos x)dx, т. е. сводит его к

рационализирует

интеграл

sin x =

2t

;cos x =

1−t2

; xx = 2arctgt; dx =

2dt

.

1+t2

1

+t2

1

+ t2

натуральные числа, применяем формулы понижения степени

И

cos2 kx = 1+cos 2kx

;

sin2 kx = 1−cos 2kx

,

2

Д

2

которые позволяют повторным

уменьшением вдвое показателей

рассматриваемые интегралы к сумме интегралов от констант и

А

нечетных степеней синуса и косинуса.

б

Пример 1.

Найти ∫sin 7xcos xdx .

Решение. Применив формулу

и

1 (sin(α + β) +sin(α − β)) ,

sinα cos β =

2

∫sin 7x cos xdx =

1 ∫(sin(7x + x) +sin(7x − x))dx =

2

=

1

С

1

1

∫sin(8x)d(8x)

+

1

1

∫sin(6x)d(6x) =

2

∫(sin8x +sin 6x)dx =

2

8

2

6

1

1

= −

cos8x −

cos6x +C .

16

12

Пример 2. Найти ∫cos4 x dx .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию следующим

образом:

cos

4

x =

(cos

2

x)

2

= (

1+cos2x

)

2

.

Следовательно,

2

∫cos4 x dx = 1

1 ∫

∫(1 + cos2x)2 dx =

(1 + 2cos2x + cos2 2x)dx = 1 ∫dx +

4

4

4

Пример 3.

Найти ∫

dx

.

5 + 4 cos x

Решение.

Полагая

tg

x

= z и заменяя

cos x, dx через

z

2

∫

dx

= 2∫

dz

=

2 arctg

z

+C = 2 arctg(

1 tg

x

) +C.

5 + 4cos x

z2 +9

3

3

3

3

2

Пример 4. Найти ∫sin5 xdx .

Решение.

Отделяем

от

нечётной степени один множитель

sin5 x = sin4 x sin x

и полагаем cos x

Д

= z

. Тогда получим sin xdx = −dz .

sin5

xdx =

sin4 x sin xdx =

(1−cos2

x)2 sin xdx =

∫

∫

∫

И3 5

А

2z

z

= ∫(1− z2 )2 (−dz) = −∫(1−2z2

+ z4 )dz = −z +

3

−

+C =

б

= C −cos x + 2 cos3 x −

1 cos5

x.

3

5

и

Задачи для самостоятельного решения

С

Найти интегралы:

x

3x xdx;

dx

1) ∫cos 2xsin xcos3xdx ; 2) ∫sin

2

cos

3) ∫

1+sin x

;

dx

2

4) ∫

;

5) ∫cos

2 5x

xdx;

6) ∫

dx

;

5 + 2sin x +3cos x

7

3

+cos x

7) ∫cos2 2xsin2 3xdx ;

8) ∫cos5 xdx ;

9) ∫

dx

.

1−2cos x

Ответы

1.−

1

cos6x +

1

cos 4x −

1 cos 2x +C

. 2. −

1 cos 2x +

1 cos x +C .

16

24

8

4

2

2 sin3

x + 1 sin5

1

tg

x

−

1

8. sin x −

x +C .9.

ln

2

3

+C .

3

5

3

tg

x

+

1

И

2

3

§ 5. Интегрирование выражений,

содержащих квадратный трёхчлен

А

Для отыскания интегралов от функций, содержащих квадратный

трёхчлен [1], для преобразования ихДк формулам интегрирования

следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена,

и

в результате чего он прео разуется в квадрат двучлена ax2 +bx +c =

2

b

c

b 2

c

b2

= a(x

+

x +

) = a

(бx + ) +

−

2

.

a

С

2a

a

4a

a

b

Далее делаем замену переменной x +

2a

= t;dx = dt .

Пример 1. Найти

dx

.

∫

x2 + 4x +8

Решение. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

x2 + 4x +8 = (x + 2)2 + 4

и сделаем

замену

x + 2 = t;dx = dt . Тогда

получим

dx

dx

dt

∫

=

∫

=

∫

= ln

t +

t2 + 4

+C =

x2 + 4x +8

(x + 2)2

+ 4

t2 + 4

(

7 −8x)dx

Пример 2. Найти ∫

.

2x2 −3x +1

Решение. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

2

2

3

1

3

2

1

2x

−3x +1 = 2(x

−

x +

) =

2 (x −

)

−

и

сделаем замену

2

2

4

16

t = x − 3 . Тогда получим

4

(7 −8x)dx

1

(7 −8x)dx

= 1 ∫

(1−8t)dt

∫

=

∫

.

2

2x

2

−3x +1

(x −

3

)

2 1

2

t

2

1

−

−

4

16

16

Далее разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов

соответственно двум слагаемым в числителе и находим их по формулам:

И

1 ∫ (1−8t)dt = 1 ∫

dt

2tdt

1

1

t −

1

−2∫

=

ln

−

2

1

Д

1

2 t 2

−

16

2 t2 −16

t2 −16

2

2 1

t +

4

4

d(t

2

−

1

)

t −

1

−2∫

= ln

1

16

4

−2ln

t2 −

+C .

1

16

t

−

1