- •Контрольная работа на неопределенные интегралы (2 семестр)
- •Контрольная работа
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами (2 семестр) (решаются первый и последний примеры)
- •Домашняя работа
- •Определенные интегралы
- •Домашняя работа по теме «числовые ряды» (2 семестр)
- •Домашняя работа по теме «функциональные ряды» (2 семестр)
- •Фуккциям многих переменных. (2 семестр)
КР+ДР+MAPLE
(2)
ОТЧЕТНОСТИ ЗА ВТОРОЙ СЕМЕСТР
(инструкция по выполнению)
ФИТ , группы АП-21 и АП-22
Контрольная работа на неопределенные интегралы (2 семестр)
1. Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными (преподавателям – о стационарном решении даже не упоминать!)
.
а) Заменяем y’ на dy/dx. Получаем .
б) Разделяем переменные (игреки – налево, иксы – направо) по правилу: «множители переносятся наискосок». Получаем .
в) Интегрируем полученное равенство. Получаем ответ
.
Примечание. В этом примере используется правило линейной подстановки:
Если , то. Множитель называется поправкой интегрирования.
2. Во втором примере применяют метод подведения под знак дифференциала. Используется одна из формул:
xdx=(1/2)d(x2), exdx=d(ex), (1/x)dx=d(lnx), sinxdx= – d(cosx), cosxdx=d(sinx) .
Пример. .
3. В 3-м примере производят замену переменной по правилу: а) При наличии квадратного трехчлена ax2+bx+c делают замену x=t–b/(2a) , б) При наличии корня из линейной функции этот корень принимают за t и находят x(t).
Далее по функции x(t) находим dx=x’(t)dt и всё это подставляем в подынтегральное выражение. Проинтегрировав полученное выражение, следует сделать обратную замену, т.е. вернуться к старой переменной х.
Пример.
4. В 4-м примере следует произвести интегрирование по частям. Для этого подынтегральное выражение разбиваем на два множителя u и dv. При помощи дифференцирования находим du , а при помощи интегрирования находим v. Затем применяем формулу . Указание. Заи принимаем множитель при Sin(.. ) , Cos(.. ) , e(.. ) . При наличии lnx за и принимаем этот логарифм.
5. В последнем примере нужно проинтегрировать рациональную дробь. Если эта дробь неправильная, то при помощи деления «уголком» её превращают в сумму: многочлена и правильной дроби (). Для интегрирования правильной дроби с простыми корнями в знаменателе следует разложить знаменатель на линейные множители и найти асимптотики правильной дроби в особых точках (метод «затыкания» и подстановки). Правильная дробь будет равна сумме этих асимптотик. Интеграл от каждой из асимптотик – это натуральный логарифм.
Контрольная работа
НА
Несобственные интегралы с бесконечными пределами (2 семестр) (решаются первый и последний примеры)
1. Вычисление несобственного интеграла 1 рода по определению.
а) Бесконечный предел заменяем параметром А.
б) Вычисляем получившийся определенный интеграл.
в) Находим предел от полученного выражения при А .
Если этот предел существует и не равен бесконечности, то говорят, что интеграл сходится, и его значение равно значению этого предела. Если же предел не существует либо равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится. При вычислении предела следует использовать соотношения:
(+)= , (–)=0 , ехр(+)= , ехр(–)=0 , ln()= , arctg(+)=/2 .
Пример. . Вывод: Несобственный интеграл сходится и равен ½ .
2. Применение предельной теоремы сравнения. Подынтегральную функцию заменяем функцией, эквивалентной данной функции при х . Для этого используем соотношения эквивалентности, формулы Маклорена для функций ex , sinx , cosx , ln(1+x) ,(1+x)n , а также правило сохранения главных слагаемых. Получившийся упрощенный несобственный интеграл исследуем на сходимость по определению. Делаем вывод о сходимости исходного интеграла.
Пример. . Рассмотрим подынтегральную функцию и используем соотношение эквивалентности.
. Интеграл расходится по определению. Следовательно, исходный интеграл также расходится по предельной теореме сравнения..