217
.pdfМинистерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
Кафедра высшей математики
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Методические указания с расчетно-графическими заданиями для студентов
всех специальностей по дисциплине «Математика»
Составитель В.И.Белков
Омск Издательство СибАДИ
2002
УДК 519.21 ББК 22.171 Б 43
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа ОмГПУ В.А.Громов
Работа одобрена методической комиссией факультета «Инженерноэкономический» в качестве методических указаний с расчетно-графическими заданиями для студентов 2 курса всех специальностей по разделу «Теория вероятностей».
Случайные величины: Методические указания с расчетно-графическими заданиями для студентов всех специальностей по дисциплине «Математика»/ Сост. В.И. Белков. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. – 44 с.
Предлагаемые расчетно-графические задачи с методическими указаниями охватывают весь спектр случайных величин, входящих в раздел теории вероятностей. Предназначены для самостоятельной работы студентов 2 курса всех специальностей.
Табл. 3. Прил. 5. Библиогр.: 4 назв.
© Издательство СибАДИ, 2002
Введение
Методические указания с расчетно-графическими заданиями (РГЗ) посвящены разделу «Теория вероятностей» для студентов всех специальностей.
Цель РГЗ – способствовать усвоению указанного раздела курса «Высшая математика».
Каждому студенту предлагается 11 задач. Каждая задача имеет номер, состоящий из двух чисел. Первое число – номер задачи, второе – номер варианта. В конце работы приведены приложения, в которых указаны все используемые функции и распределения случайных величин.
Понятие случайной величины является одним из основных понятий в теории вероятностей. Оно тесно связано с понятием случайного события. Если случайное событие – это качественная характеристика результата опыта со случайными исходами, то количественной характеристикой такого опыта является случайная величина. Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Для общего описания случайных величин используются законы распределения. К ним относятся ряд распределения, функция распределения, плотность вероятностей, таблицы распределения и т.д. Для описания какой–либо особенности случайной величины или системы случайных величин служат числовые характеристики. Это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, корреляционный момент, коэффициент корреляции и т.д.
Приступая к решению РГЗ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал. Рекомендуемая литература указана в конце работы.
Во время защиты РГЗ студент должен уметь отвечать на любой из контрольных вопросов, перечисленных ниже, и решать задачи аналогичного типа.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной величины. Приведите пример случайных величин применительно к вашей специальности.
2.Что называют законом распределения случайной величины?
3.Какие способы задания дискретной и непрерывной случайных величин вы знаете?
4.Дайте определение функции распределения случайной величины и её свойств.
5.Что такое плотность вероятности и какими свойствами она обладает?
6.Перечислите типичные распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
7.Каково влияние параметров, входящих в законы распределения?
8.Запишите плотность вероятности нормального распределения и изобразите кривую Гаусса. Объясните роль параметров.
9.Как вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал для случайной величины, распределённой по нормальному закону. Сформулируйте правило трех сигм. Поясните смысл этого правила.
10.Какова роль числовых характеристик и какие числовые характеристики вы знаете?
11.Дайте определение математического ожидания и укажите его свойства.
12.Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения и назовите их свойства.
13.Запишите формулы вычисления М(Х), D(X).
14.Чему равны М(Х) и D(X) для типичных распределений?
15.Объясните суть теоремы и неравенства Чебышева и теоремы Бернулли.
16.Сформулируйте теорему Ляпунова и поясните её смысл.
17.Что вы знаете о законе распределения системы случайных величин?
Приведите примеры системы дискретных случайных величин, системы непрерывных случайных величин.
18.Приведите алгоритм построения доверительного интервала для неизвестного параметра с заданной надёжностью.
Указания к решению задач
Здесь приводятся рекомендации к решению задач 6, 7, 9, 10, 11
Указания к выполнению задачи 6
1.
2. Ознакомиться с краткими сведениями о системе случайных дискретных величин. Обратить внимание на способы задания, системы двух случайных дискретных величин (Х, У) , числовые характеристики, зависимость и независимость случайных величин, коэффициент корреляции и его свойства. В случае системы двух дискретных случайных величин необходимо проверить условие
Pij 1,
i 1 j 1
где Pij = P(X = xi, У = уj) – есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение хi и одновременно с этим случайная величина У примет значение уj.
3.Написать законы распределения составляющих систему случайных величин Х и У в виде ряда распределения.
4.Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),
М(ХУ).
5.Вычислить μху и rху.
6.Определить вероятность попадания значений (Х, У) в заданную об-
ласть D, т.е. Р((Х, У) D).
Задача
Закон распределения системы (Х, У) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции rху и вероятность попадания (Х,У) в область
D.
У |
|
|
Х |
|
|
-3 |
-1 |
|
0 |
1 |
|
-2 |
0,03 |
0,06 |
|
0,10 |
0,08 |
-1 |
0,05 |
0,09 |
|
0,15 |
0,10 |
0 |
0,06 |
0,07 |
|
0,12 |
0,09 |
x ;
Область D:
3 у 0,5
1. Проверим условие
4 3
Pij 0,03+0,06+0,10+0,08+0,05+0,09+0,15+0,10+0,06+0,07+0,12+
i 1 j 1
+0,09 = 1.
2. Составим законы распределения Х и У в виде
Х |
-3 |
|
-1 |
0 |
|
1 |
|
У |
-2 |
|
-1 |
0 |
, |
Р(Х) |
0,14 |
|
0,22 |
0,37 |
0,27 |
|
Р(У) |
0,27 |
0,39 |
0,34 |
|||
где, например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1(Х1) = P(х1,уj) P1j |
Р11 +Р12+ Р13 = 0,03 + 0,05 |
+ 0,06 = 0,14. |
|
||||||||||
|
j 1 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично находятся Р2(Х2) = Р(-1) = 0,06+0,09+0,07 = 0,22 и т. д.
4
Р1 (У1) = Рi1 0,03+0,06+0,10+0,08=0,27,
i 1
Р2(У2) = Р(-1) = 0,05+0,09+0,15+0,10 = 0,39, аналогично Р3(У3) = Р(0).
3. Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(Х), D(У), σ(Х), σ(У), M(ХУ).
В нашей задаче М(Х) = -0,37; М(У) = -0,93; М(Х2) = 1,75;
М(У2) = 1,47; D(Х) =1,61; D(У) = 0,61; σ(Х) = 1,27; σ(У) = 0,77.
4 3
М(ХУ) = хiуjPij (-2)∙(-3)∙0,03 + (-2)∙(-1)∙0,06 + (-2)∙1∙0,08+(-1)∙
|
|
i 1 j 1 |
||
∙(-3)∙0,05 + (-1)∙(-1)∙0,09 +(-1)∙1∙0,1 = 0,28 |
||||
4. Вычисляем μху, rху по формулам: |
||||
μху = М(ХУ) – М(Х)∙М(У), |
||||
|
|
ху |
||
rху = |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
(Х)∙ (У) |
||
μху = 0,28-0,37∙0,87 +0,04. |
||||
rху = |
|
0,04 |
0,041. |
|
|
|
|||
|
1,27∙0,77 |
x ; |
|
|
P = |
|
5. Определим вероятность Р((х, у) D) = P |
|
= |
||
|
3 у 0,5 |
|
ij |
|
|
|
(хi,yj) D |
=Р(-1;-3) + Р(-1;-1) + Р(0;-1) + Р(1;1) + Р(-3;-2) + Р(-1;-2) + Р(0;-2) =
=0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,09 + 0,10 + 0,15 + 0,08 + 0,10 = 0,66.
Указания к выполнению задачи 7
1.Ознакомиться с краткими сведениями о системе двух непрерывных случайных величин. Обратить внимание на способы задания такой системы, числовые характеристики, коэффициент корреляции.
2. Найти параметр А из условия f(x,у)dxdy = 1.
D
3.Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),
М(ХУ).
4.Вычислить μху, rху.
Задача
Дана плотность вероятности системы случайных величин f(x,у). Найти параметр А, коэффициент корреляции rху.
|
A(x2 + у2), в области D |
f(x,у) = |
D: х2 + у2 ≤ 4. |
0, вне области D,
1.Найдём параметр А, при котором данная функция f(х, у) может слу-
жить плотностью совместного распределения вероятностей двумерной
случайной величины (Х, У) из условия f(x,у)dxdy = 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||
|
f(x,у)dxdy = А |
(x2 +у2)dxdy = |
|
так как D – круг, то переходим = |
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
к полярным координатам |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= А d 3d A∙8 1 A |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||
таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
(х |
2 |
у |
2 |
),в области D |
||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x,y) = |
0 |
|
|
|
|
|
, вне области D. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|||
2. M(X) |
= xf(x,у)dxdy |
cos d 4d = 0; (объясните, почему в |
||||||||||||||
8 |
||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
данном примере М(Х) = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично вычисляем М(У); М(У) = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
М(У) = уf(x,y)dxdy |
|
sin d 4d 0. |
||||||||||||||
8 |
||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
M(X2) = x2f(x,y)dxdy |
cos2 |
d 5d |
. |
|||||
8 |
3 |
|||||||
D |
|
|
0 |
0 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
||||
Аналогично М(У2) = |
. |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D(X) = M(X2) – M2(X) = 2 02 0,67. 3
D(У) = M(У2) – М2(У) = 2 02 0,67. 3
σ(Х) = D(X) 0,82, σ(У) = 0,82.
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
||
М(ХУ) = xyf(x,y)dxdy |
cos sin d 5d 0 |
||||||||
8 |
|||||||||
|
|
D |
|
|
0 |
0 |
|||
3. μху = М(ХУ) – М(Х)∙М(У) = 0 – 0∙0 = 0, |
|
||||||||
|
|
xy |
0 |
|
|
|
|
||
rxy |
|
|
|
|
|
0 Х и У некоррелированы. |
|||
(Х)∙ (У) |
0,82∙0,82 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Указания к выполнению задачи 9
Вначале следует изучить типичные распределения случайных величин, обратив особое внимание на равномерное, экспоненциальное и нормальное распределения и как параметры этих распределений связаны с числовыми характеристиками. Ещё раз вспомнить свойства числовых характеристик для зависимых и независимых случайных величин.
Проведём некоторые полезные формулы, вытекающие из свойств числовых характеристик. Пусть X и У независимые случайные величины, тогда:
1.М(ХУ) = М(Х)∙М(У),
2.D(X У) = D(X) + D(У),
3.М(Х2) = D(X) + М2(Х),
4.D(XУ) = М((ХУ)2) – М2(ХУ) = М(Х2У2) – М2(Х)∙М2(У),
5.D(XУ) = D(X)∙D(У) + М2(Х)∙D(У) + М2(У)∙D(X).
6.Если Х и У – зависимые случайные величины, то М(ХУ) = М(Х)∙М(У) + μХУ.
Задача
Случайные величины Х и У независимы.
ƒ1 (х) = С, х 0;2 ; |
|
|
1 |
|
|
(у 3)2 |
|
|
|
|
|
||||
ƒ2 (у) = |
|
|
е. 32 |
||||
|
|
|
|
||||
|
2 |
||||||
|
4 |
|
|
|
|
Найти М (3Х +У2 +2); D(3Х – 3УХ + 2).
1. Случайная величина Х распределена равномерно. Для этого закона
С= 1 (объясните, почему?)
2
|
а в |
|
|
0 2 |
|
|
|
||||||
М(Х) = |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в а 2 |
|
|
|
(2 0)2 |
1 |
|
||||||
D(Х) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2. Случайная величина У распределена по нормальному закону, следовательно, М(У) = -3; D(У) = 16 (объясните, почему?).
3. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, находим:
М(3Х + У2 + 2) = 3М(Х) +М(У2) + 2 = Для вычисления М(У) можно = использовать формулу 3.
= 3∙1 + 16 + 9 + 2 = 30.
Какие свойства математического ожидания здесь были использованы?
D(3Х –3УХ +2) = 9D(Х) + 9D(ХУ) + 0 = Для вычисления D(Х У) =
можно использовать формулу 5.
= 9∙1/3 + 9(1/3∙16 + 12∙16 + 9∙1/3) =222.
Чему равны здесь D(2) и D(3Х) и почему?
Указания к выполнению задач 10 и 11
Весь необходимый материал для решения этих задач можно найти, например в учебнике В.Е.Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика».
Следует различать точечные и интервальные оценки для неизвестных параметров. Точечные оценки при малом числе наблюдений могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы их избежать, пользуются интервальными оценками, которые определяются двумя числами – концами интервала. Если интервал найден, то с надёжностью γ можно считать, что он «накроет» оцениваемый параметр а.
Задача 1
1.1. Мяч бросается в корзину до первого попадания, но число бросков не больше 6. Составить ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания при каждом броске мяча в корзину Р = 0,3.
1.2. Опыт состоит в трёх независимых бросаниях монеты, при каждом из которых вероятность выпадения герба Р = 0,5. Составить ряд распределения числа появлений герба.
1.3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда
предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора Р = 0,9.
1.4. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего прекращаются. Найти ряд распределения числа опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,6.
1.5. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадает. Построить ряд распределения числа бросков,
сделанных первым баскетболистом, если вероятность попадания при каждом броске для первого баскетболиста равна 0,4, а для второго – 0,6.
1.6. Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 даёт 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо № 3 – 1 очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и 3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить ряд распределения суммы выбитых очков в результате трёх попаданий.
1.7.Производятся испытания на надёжность шести изделий. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,3. Построить ряд распределения числа изделий, выдержавших испытания.
1.8.Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Составить ряд распределения числа неисправных аппаратов среди отобранных.
1.9.Составить ряд распределения суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных кубиков.