Лекция 6
.doc
Предел монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Доказательство. ►Рассмотрим, для определенности, неубывающую последовательность . Ограниченное сверху множество значений последовательности имеет точную верхнюю грань . Покажем, что число будет пределом нашей последовательности.
Фиксируем произвольное . Из определения точной верхней грани следует, что существует элемент последовательности такой, что . Так как последовательность неубывающая, а число является верхней гранью множества всех значений последовательности, то для всех номеров будет справедливо , то есть . А это и означает, что .◄
Задача. Доказать, что если - невозрастающая ограниченная последовательность, то .
Задача. Доказать, что если - неубывающая не ограниченная сверху последовательность, то .
Задача. Доказать, что если - невозрастающая не ограниченная снизу последовательность, то .
Число е.
Рассмотрим числовую последовательность
. (1)
Покажем, что эта последовательность сходящаяся.
Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.
Доказательство. ►Рассмотрим вспомогательную последовательность
(2)
и докажем, что она имеет предел. Убедимся сначала, что последовательность (2) убывающая, для этого сравним с 1 отношение
.
Далее воспользуемся неравенством Бернулли:
.
Последовательность (2) является ограниченной снизу:
.
Итак, последовательность монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Но тогда имеет предел и последовательность , причем
◄
Пределом последовательности (1) является число, обозначаемое буквой , оно играет в анализе роль столь же важную как, например, единица в арифметике или в геометрии.
Число иррациональное, представляется бесконечной десятичной дробью, а начало его десятичного разложения имеет вид:
Задача. Доказать, что .
Второй замечательный предел
Теорема. Справедливо равенство
. (1)
Доказательство. 4Сначала покажем, что
. (2)
Заметим, что при будет выполнено , откуда, используя монотонность показательной ( при возрастает) и степенной ( возрастает при и ) функций, получим
(3)
Положим и . Имеем
(4)
(5)
Фиксируем произвольное . Из (4) и (5) следует, что существует такое , что при будет справедливо
и (6)
Возьмем и положим . Тогда будет , и в силу (3) и (6) имеем то есть
Формула (2) доказана.
Пусть теперь . Тогда
то есть
.3
Следствие.
Доказательство. 43
Непрерывность
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в , если существует предел при , равный :
.
Запишем это определение с кванторами:
,
или в неравенствах:
.
Определение. Если функция непрерывна в любой точке , то говорят, что она непрерывна на этом интервале.
Если функция не является непрерывной в точке , то называется точкой разрыва и говорят, что разрывна в .
Задача. Докажите, что функция непрерывна на всей оси.
Утверждение. Основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.
(без доказательства)
Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки , непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке ) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.
Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.
Утверждение. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма также будет непрерывной в точке .
Доказательство. Имеем и . Тогда .
Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.
Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке и пусть . Тогда сохраняет знак в некоторой окрестности точки .
Доказательство. 4Непрерывность функции означает, что . Тогда по лемме о сохранении функцией знака своего предела в некоторой проколотой окрестности точки функция сохраняет знак , то есть во всей этой окрестности не меняет знак.3
Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.
Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция , определенная в проколотой окрестности точки , имеет предел при :
. (1)
И пусть функция определена в некоторой окрестности точки , содержащей , и непрерывна в точке .
Тогда сложная функция определена в и существует предел
. (2)
(Другими словами, ).
Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Из непрерывности функции в точке следует
, (3)
а из существования предела (1), что
. (4)
Объединяя (3) и (4), получим
.
Существование предела (2) доказано. 3
Следствие. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция будет непрерывной в точке .
Утверждение.
Доказательство. 4 3
Утверждение.
Доказательство. 4 .3
Примечание. Последние две формулы можно записать в следующем виде:
или
Замечание. Пусть непрерывные в нуле функции и эквивалентны при , а функция бесконечно малая при .
Тогда функция будет эквивалентна функции при .
Доказательство. ► В самом деле, эквивалентность функций и означает, что
, (5)
где - бесконечно малая функция при . Доопределим в нуле, положив . Равенство (5) не изменится, а функция будет в нуле непрерывной. Сделаем замену переменной , получим
,
где в силу теоремы о пределе сложной функции. ◄
Последнее замечание позволяет нам упрощать выкладки при вычислении пределов.
Утверждение.
Доказательство:
То есть мы можем записать:
или