34. Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена. , если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема : если две последовательности {x_n}и {y_n} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.: => и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство x_n y_n, то а b.

Доказательство: допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N( ), что при всех n>N( ) будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что x_n>y_n, это противоречит условию x_n y_n следовательно, а b.

35. Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀ , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х₀ , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы: число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М( ) >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:

36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во:

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Док-во:

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Док-во:

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

Док-во: