Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тамбовский Государственный Университет им. Г.Р. Державина
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

16 Излучение колеблющегося электрона

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
07.02.2015
Размер:
311.36 Кб
Скачать
☆

Лекция № 16

Излучение колеблющегося электрона

1. Излучение

Под излучением понимается движение энергии в пространстве от источника. Заметим, что само слово "источник" употребляется нами в разных смыслах. Говорят, например, что источниками электростатического поля являются заряды, а источниками стационарного магнитного поля постоянные токи. В электростатическом поле нет движения энергии - ввиду отсутствия магнитного поля вектор Пойнтинга равен нулю. В стационарных электромагнитных полях поток энергии через поверхность, содержащую внутри себя весь ток, обязательно равен нулю. Постоянный ток не излучает энергии. Хотя конечно от источника к приемнику движение энергии налицо, но она не покидает при этом некоторой ограниченной области пространства. Такую передачу энергии не принято называть излучением.

Излучение свойственно переменным электромагнитным процессам. Создаваемое действием сторонних сил переменное электромагнитное поле имеет волновой характер и может переносить энергию как угодно далеко от источника. Проблема излучения заключается в исследовании волновых полей, возбуждаемых источниками, иными словами полей вынужденных.

Две последние лекции мы посвятили вопросам изучения элементарных излучателей. Элементарным электрическим излучателем является линейный вибратор (осциллятор), дипольный момент которого меняется во времени. Элементарным магнитным излучателем является замкнутый контур тока, магнитный момент которого меняется во времени. Для простоты анализа мы рассматривали синусоидальную зависимость от времени, при этом изучаемые волны были монохроматическими.

Рассмотрим сегодня излучение, которое сопровождает колебания электрона.

2. Свободные колебания упруго связанного электрона

Пусть на электрон при его отклонении от положения равновесия действует возвращающая сила, пропорциональная отклонению. Поместим начало координат в точку равновесия и совместим ось Z с направлением отклонения электрона от положения равновесия. Тогда уравнение движения электрона имеет вид:

 

m z kz 0.

(1)

 

Запишем решения этого уравнения:

 

где 2

z asin t bcos t ,

(2)

k/m, a и b - произвольные постоянные.

 

 

Энергия колеблющегося электрона равна

 

W mz2 m 2 z2 m 2 (a2cos2 t b2 sin2 t 2abcos tsin t a2 sin2 t 2 2 2

b2 cos2 t 2abcos tsin ) m 2(a2 b2) 2

(3)

Поместим мысленно в начало координат положительный заряд, равный заряду электрона. Этот заряд неподвижен и по закону Кулона создает в пространстве постоянное во времени электрическое поле, которое убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Совокупность движущегося электрона и неподвижного положительного заряда составляет диполь, момент которого меняется со временем. Векторы электромагнитного поля излучения являются переменными и убывают обратно пропорционально первой степени расстояния. Ясно, что к излучению этого электромагнитного поля никакого

Излучение колеблющегося электрона

2

________________________________________________________________________________

отношения не имеет постоянное поле неподвижного положительного заряда, убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния. Поле излучения возникает за счет движения электрона, т.е. является полем излучения колеблющегося электрона. Положительный заряд помещен нами мысленно в начало координат лишь формально, для того, чтобы воспользоваться формулами, полученными ранее.

Момент диполя при отклонении электрона от начала координат на z(t) равен

p(t)

e

z(t)k ,

(4)

где k - единичный вектор в направлении оси Z. Знак минус возник за счет того, что плечо диполя есть вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному. Постоянные a и b в выражении (2) определяются начальными условиями. Всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы коэффициент a или b обратился в нуль. Поэтому гармоническое колебание (2) при подходящем выборе начала отсчета времени можно записать в виде

z bcos t.

(5)

Подставляя это выражение для z в формулу (4), получаем

 

p -k

 

e

 

bcos t.

(6)

 

 

Сравнение (6) с действительной частью выражения для диполя p p0ei tприводит нас к следующим соотношениям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

k

e

b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

 

 

 

e

b.

 

 

 

 

 

(7)

Формулы, характеризующие векторы поля излучения (уравнения (8) и (9) из лекции 15)

 

 

 

 

B 0,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

p

 

 

Br 0,

 

 

B

 

 

psin ,

 

 

 

 

Er 0,

E

 

 

 

sin ,

E 0,

 

 

4 cr

 

 

 

 

 

4 r

запишем в таком виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

cB

 

0

p

sin

 

 

 

p

sin

 

1

 

 

 

 

2

 

sin

p

 

cos ( r/c) ,

 

 

 

 

 

 

4 0c2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0 c2

 

 

 

r

 

 

 

0

 

 

 

 

где - время прихода волны на сферу радиусом r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Br B 0,

В нашем случае эти формулы принимают такой вид

Er E 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

cB

 

 

 

1

 

 

2 sin

 

e

 

bcos ( r/c) ,

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0

 

 

c

2

 

 

r

 

 

 

 

 

Из формулы (5) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2bcos ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому выражение (8) можно переписать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

cB

 

e

 

 

 

 

sin 2z( r/c)

 

 

 

 

e

 

 

sin 2z( r/c)

,

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0c

2

 

r

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4 0c

2

 

 

 

 

r

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где учтено, что заряд электрона отрицателен.

Выражение для мощности потока энергии через поверхность сферы (интенсивность излучения I - формула (13) из лекции 15)

 

I =

dW

=

 

 

p2

 

=

4p02

cos2 (t r/c)

 

 

 

dt

6 0c3

6 0c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с учетом (9) записывается следующим образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

e

2

 

 

 

2

z( r/c)

2

 

e

2

 

2 ,

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

6 0c3

 

 

 

 

6 0c3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

где z d2z(t)/dt2 ,

t r/c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Излучение колеблющегося электрона

3

________________________________________________________________________________

При движении с ускорением заряд излучает, причем интенсивность излучения пропорциональна квадрату ускорения.

Средняя за период интенсивность излучения колеблющегося электрона определяется из формулы

p2

4

 

e2

4b2 .

(12)

I

0

 

 

 

 

 

12 0c3

12 0c3

 

 

 

Это есть средняя мощность потока излучения, пересекающего сферу радиусом r в момент времени . Ясно, что эта энергия была излучена колеблющимся электроном в

предшествующие моменты времени.

Поэтому (12) характеризует скорость потерь энергии

электрона на излучение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По закону сохранения энергии можно написать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW

 

I

 

e2

 

4b2 .

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

12 0c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (3) (при а=0) следует, что b2

 

2

W. Поэтому (13) можно записать как

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW

 

 

e2

 

4

2

W

1

 

 

e2 2

W ,

 

 

 

 

 

 

m 2

6 0 mc3

 

dt

12 0c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW

W ,

 

 

1

 

e2 2

.

(14)

 

 

 

 

 

 

6 0

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

mc3

 

Решение этого уравнения имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W(t) W e t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где W0 - энергия колеблющегося электрона в момент t=0. Из формулы (3), связывающей энергию колеблющегося электрона с амплитудой колебания, видно, что уменьшение энергии электрона происходит по закону (15) в том случае, если a и b изменяются по такому закону:

a a0e t/2,

b b0e t/2.

(16)

Таким образом, с учетом потерь энергии на излучение вместо (2) необходимо написать:

 

z e t/2(a0 sin t b0

cos t).

(17)

Следовательно, с учетом излучения уравнение движения электрона (1) должно быть изменено и дополнено силой, характеризующей торможение электрона излучением.

3. Сила торможения излучением (радиационное трение, сила лучистого трения)

Силу торможения излучением физически можно представить как реакцию со стороны поля излучения. По закону сохранения импульс замкнутой системы (электрон + излучение) постоянен. Поэтому импульс электрона будет изменяться в соответствии с изменением импульса излученной им электромагнитной волны. Это эквивалентно тому, что при излучении на электрон действует сила. Поскольку в результате излучения энергия и скорость электрона уменьшаются, эта сила является тормозящей. Дополним уравнение (1) силой F, которая описывает торможение излучением:

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

 

 

 

m z kz F.

Умножая обе части этого уравнения на

z, получаем

 

 

d

mz2

k

2

 

 

 

 

(

 

 

 

z

 

) Fz .

(19)

 

2

2

 

 

dt

 

 

 

 

 

Правая часть равна работе силы торможения излучением, отнесенной к единице времени. По определению, она равна мощности излучения, определяемой формулой (11):

Излучение колеблющегося электрона

4

________________________________________________________________________________

 

e2

 

2

.

(20)

Fz

 

z

 

6 0c3

 

Это равенство выражает закон сохранения энергии. В общем виде представить F в виде линейной функции от z и ее производных нельзя. Это можно сделать лишь приближенно, считая, что:

а) затухание колебаний не очень велико, так что на небольшом числе периодов движение приблизительно периодическое;

б) закон сохранения энергии достаточно сформулировать лишь в среднем по небольшому числу периодов.

 

2

 

d

 

 

Напишем очевидное равенство z

(z z)

(zz)

и усредним его по времени. Тогда в

 

 

dt

силу периодичности колебаний электрона

 

d

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(zz)

 

 

(zz)t T (zz)t 0

 

0,

z

 

(z z) ,

 

dt

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому из (20) после усреднения обеих частей получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fz

 

 

 

 

 

 

(z z) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 0 c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это соотношение будет удовлетворено, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e2

 

1

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

z

 

 

 

 

a .

 

 

 

 

 

6 0

 

c3

6 0

c3

 

 

 

Сила радиационного трения (торможения) пропорциональна производной ускорения по времени.

Таким образом, уравнение движения (18) с учетом силы торможения излучением

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mz kz

 

 

 

z 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 0

 

c3

 

 

 

 

 

 

Его решение, имеющее вид (17), будем искать в комплексной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

z dei t .

 

 

 

 

 

 

Подстановка этого выражения в (22) дает уравнение для определения

 

 

 

2

3

1 e2

0,

2

 

 

 

3 1 e2 2

0,

m

k i

 

 

 

 

k/m i

 

 

 

 

 

6 0 c3

6 0m c3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21)

от

(22)

(23)

2

 

2

i

2

3

0,

(24)

 

 

 

 

где 2 k/m, e2 2 /(6 0mc3)[см. (14)].

По условию затухание мало. Это означает, что для времени порядка периода колебания

экспоненциальный множитель в (16) мало отличается от единицы, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(25)

Решение уравнения (24) при

=0 имеет вид

.

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При малых значениях это решение следует искать в форме

 

 

 

(27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где . Подставляя (27) в уравнение (24) и пренебрегая величинами порядка

2 , и

выше, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

2

i

3

 

i

3

i

3 2

i

3 2

0

 

 

 

 

2

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда i /2. Таким образом,

Излучение колеблющегося электрона

5

________________________________________________________________________________

 

i /2

(28)

и общее решение запишется в виде

 

 

z e t/2(d1ei t d2e i t) .

(29)

Действительная и мнимая части этого выражения аналогичны (17). Выражение (21) для силы применимо лишь для почти периодических движений с достаточно малым затуханием. В этом случае его можно преобразовать:

 

1

 

e2

 

 

1

 

e2

 

2

 

 

F

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z.

(30)

6 0

 

c3

6 0

 

c3

 

Отсюда видно, что сила торможения излучением направлена против скорости z. С учетом (30) уравнение движения (22) записывается как уравнение колебаний с трением:

 

k

1

 

e2 2

 

z

 

z

 

 

 

z 0

 

m

6 0

c3m

 

 

 

 

 

 

 

 

(31)

 

 

z z 2z 0.

Формула (11) показывает, что мгновенная мощность излучения в некоторый момент времени определяется ускорением частицы в тот же момент времени. Следовательно, мощность излучения в данный момент не зависит от того, как двигалась частица до данного момента времени, и как она будет двигаться после этого момента времени. Поэтому, хотя формула (11) и выведена для гармонического движения, она справедлива для любого

2

движения, если только под z понимать квадрат ускорения частицы в этом движении. Отсюда заключаем, что если в произвольном движении положение частицы характеризуется ее радиус-вектором r(t), то интенсивность излучения этой частицы равна

 

e

2

 

 

I

 

(r)2 .

(32)

6 0c3

 

 

 

Заряд, движущийся с ускорением, обязательно излучает, причем излученная за единичное время энергия пропорциональна квадрату ускорения. Формула справедлива для скоростей малых по сравнению со скоростью света.

4. Условие пренебрежения реакцией излучения

Реакцией излучения можно пренебречь в случае, если потери энергии на излучение в течение некоторого промежутка времени меньше энергии, которая может быть излучена. Пусть частица из состояния покоя движется с постоянным ускорением а. В течение временив соответствии с формулой (32) она излучит энергию

 

 

 

E

изл

 

 

e2a2

 

 

 

 

 

 

(33)

 

 

 

6 0c3

 

 

 

 

и приобретает кинетическую энергию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EK

ma2 2 /2.

(34)

Реакция излучения в этом процессе является существенной при условииEK Eизл , т.е.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e2

 

 

4 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

,

(35)

 

 

 

3 0 mc3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 c

 

где r

e2 /(4

0

mc2 ) - классический радиус заряженной частицы1.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Классический радиус электрона – радиус заряженного шара с зарядом е, при котором его электростатическая энергия равна энергии покоя электрона.

Излучение колеблющегося электрона

6

________________________________________________________________________________

Для электрона r0=2,8 10-15 м и поэтому реакция излучения существенна лишь для очень

маленьких промежутков

времени ( ~10 24 с). Если частица находится в

колебательном

движении с частотой 0

и амплитудой А, то условие существенности реакции излучения

 

 

m 2A2

 

 

1

 

 

 

 

e2 4A2

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

,

(36)

 

2

 

6

 

 

 

 

 

c3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

где a ~ 02A, интервал ~1/ 0. Отсюда следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

c

.

 

 

 

(37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Реакция излучения существенна для очень больших частот колебаний. В случае электрона - это круговые частоты ~ 1024 1/с.

Один из критериев применения понятия радиационного трения r0 , где - длина

излучаемой волны и r0 - классический радиус электрона. При длинах волн, меньших r0 (или сравнимых с r0), классическая электродинамика приводит к противоречию и, следовательно, неприменима. Фактическая область применимости классической теории поля не простирается до столь малых масштабов. Оказывается, что квантовые эффекты, кладущие предел применимости классических представлений к микрочастицам, начинают играть роль

на расстояниях порядка

 

 

h

2,426 10 12 м,

величина С носит название

C

 

комптоновской длины волны.

 

mc

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности