3.17. Параболоиды*

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:

, (3.37)

где р и q одного знака.

Пусть,, тогдаz 0, причемz = 0 при х = 0 и у = 0. Следовательно, с плоскостью 0ху эта поверхность имеет единственную общую точку 0(0, 0, 0). Рассмотрим сечение параболоида плоскостью z = h, (эта плоскость параллельна плоскости 0ху):

Видим, что сечение – эллипс с полуосями . Сечения с плоскостями 0ху и 0уz являются параболами:

причем 0z является их общей осью (рис. 3.39). Oсь 0z является осью параболоида (3.37). Если ,, то параболоид будет располагаться ниже плоскости 0ху.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой имеет вид:

, (3.38)

где р и q одинакового знака.

Пусть,. Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями 0xz и 0yz, получим, соответственно, параболы , причем ветви первой направлены вверх, а ветви второй – вниз (рис. 3.40). С плоскостью 0ху параболоид имеет сечение , что равносильно двум системам:

(3.39)

Системы (3.39) задают в плоскости 0ху две прямые, проходящие через начало координат.

Пусть плоскость параллельна 0ху и удалена от нее на h (), тогда в пересечении с параболоидом (3.38) получится гипербола

(3.40)

При гипербола (3.40) имеет действительную полуось, мнимую полуось(рис. 3.40,L₃). При гипербола (3.40) имеет действительную полуось, а мнимую –(рис. 3.40,L₄).

3.18. Поверхности вращения*

Пусть линия L лежит в плоскости 0ху и задается в пространстве системой

Рассмотрим поверхность, образованную вращением линии L вокруг оси 0у (рис. 3.41), и выведем уравнение этой поверхности.

ПустьМ(х, у, z) – произвольная точка этой поверхности. Проведем через М плоскость, перпендикулярную 0у, получим в сечении окружность с радиусом AM.

М₀(х₀, у₀, z₀ ) – точка пересечения этой окружности с линией L, поэтому

AM = AM₀ = x₀, z₀ = 0, y₀ = y и F(x₀, y₀) = 0. (3.41)

Из имеем:отсюда .Учитывая, что у₀ = у, из равенств (3.41) получаем:

, (3.42)

т.е. координаты любой точки поверхности вращения удовлетворяют уравнению (3.42). Следовательно, это уравнение является уравнением данной поверхности вращения.

Если линия L лежит в плоскости 0уz и определяется системой

то поверхность, образованная вращением L вокруг оси 0z, задается уравнением: . ЕслиL вращается вокруг оси 0у, то поверхность вращения будет иметь уравнение: . Аналогично в случае, когдаL вращается вокруг оси 0x.

Пример 3.11. Найти уравнение и определить вид поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси 0у.

Решение. Заменяя в уравнении x² на x² + z², получим уравнение эллипсоида: называемого эллипсоидом вращения.

Пример 3.12. Парабола , лежащая в плоскостиу = 0 вращается вокруг оси 0z. Определить вид получаемой поверхности и записать ее уравнение.

Решение. Заменим х² в уравнении z = х² на х² + у², получаем уравнение эллиптического параболоида: , называемого параболоидом вращении.

Пример 3.13. Какие поверхности образует гипербола

(3.43)

при вращении вокруг осей 0у и 0z?

Решение. При вращении гиперболы (3.43) вокруг оси 0у получаем: – двуполостный гиперболоид (рис. 3.42), а при вращении ее вокруг оси 0z получаем однополостный гиперболоид (рис. 3.43).