- •Ряды Основные определения
- •Свойства рядов.
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Признаки сравнения рядов
- •Признак Даламбера
- •Признак Коши (радикальный признак)
- •Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
- •Признак Лейбница
- •Признак Дирихле—Абеля
- •Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Свойства равномерно сходящихся рядов
- •Степенные ряды.
- •Теоремы Абеля.
- •Действия со степенными рядами
- •Разложение функций в степенные ряды.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
- •Критерий Коши.
Ряды с неотрицательными членами
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены, т.е. последовательность частичных сумм была ограничена.
Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится. А сходящаяся последовательность – ограничена.
Достаточность. В силу того, что последовательность частичных сумм ряда является ограниченной и монотонной, то она сходится в силу теоремы о достаточном признаке существования предела (Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел).
Признаки сравнения рядов
Теорема. Если и ‑‑ числовые ряды с положительными членами, причем при любомn, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через и частичные суммы рядов и соответственно. По условию теоремы ряд сходится, поэтому все его частичные суммы ограничены, т.е. при всех , где– некоторое число. А так как, по условию,, то. Значит частичные суммы ряда тоже ограничены, а этого уже достаточно для сходимости ряда.
В некоторых случаях ряд называется мажорантой ряда , а ряд ‑‑ минорантойряда . Тогда теорему можно сформулировать следующим образом:
‑‑ Если мажоранта сходится, то и миноранта сходится.
‑‑ Если миноранта расходится, то и мажоранта расходится.
Пример . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Так как , а гармонический рядрасходится, то расходится и ряд.
Пример . Исследовать на сходимость ряд
Решение. В силу того, что , а рядсходится (это убывающая геометрическая прогрессия), то рядтоже сходится.
Теорема. Если и существует предел, где – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Необходимо заметить, что оба рассмотренных признака имеют один и тот же недостаток: для исследования сходимости некоторого положительного ряда с помощью данных признаков необходимо подобрать другой ряд, сходимость (или расходимость) которого известна. Общих методов для нахождения таких рядов нет. Все зависит от интуиции, то есть от обширности запаса «эталонных» рядов у исследователя.
Признак Даламбера
(Жан Лерон Даламбер (1717–1783) –французский математик)
Теорема. Если существует предел , то приряд сходится, а при– расходится.
Если , то на вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Доказательство. По определению предела последовательности существует номер, что для всехвыполняется неравенство
. |
( ) |
Пусть , тогдаможно взять таким, что. Из неравенства ( . ) имеем
, или для всех. Получаем систему неравенств.
Отсюда, члены ряда, начиная с , меньше соответствующих членов убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, ряд сходится.
Пусть теперь . Возьмем такое, что. Тогда из левого неравенства ( . ) следует, чтодля всех, т.е. члены ряда, начиная с-го, возрастают, поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, значит – ряд расходится.
Пример . . Определить сходимость ряда .
Решение.
. Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Пример . . Определить сходимость ряда .
Решение.
, ряд сходится.