Студентам 2 курса МСФ.

Задачи для подготовки к экзамену по теоретической механике.

Применение теоремы о движении центра масс.

1.

Однородный прямолинейный стержень OA вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец О, в соответствии с уравнением φ=πt²/2. Установить направление главного вектора внешних сил, действующих на стержень при t=0.

2.

Механическая система состоит из тела А массы m₁, которое может перемещаться поступательно по гладкой горизонтальной плоскости, и шарнирно прикрепленного к нему невесомого стержня длины l с точечным грузом B массы m₂. В начальный момент времени система находилась в покое, а стержень OB занимал положение I. Найти перемещение тела А при повороте стержня OB в положение II.

3.

Однородный стержень АВ длины 2l опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент угол наклона стержня к плоскости равен 60⁰. Затем стержню предоставляют возможность из состояния покоя свободно опускаться на плоскость. Найти смещение А₀А опорного конца стержня к моменту, когда угол наклона стержня к плоскости станет равным 30⁰.

4.

По проволочной направляющей вдоль диагонали вертикальной квадратной рамы массы m, стоявшей неподвижно на гладкой горизонтальной плоскости, отпущен из состояния покоя точечный груз А такой же массы. Найти реакцию упора В, препятствующего смещению рамы на опорной плоскости.

5.

На покоящейся непривязанной шлюпке массой m находятся два человека, массы которых равны m₁ и m₂. Что произойдет со шлюпкой, если первый человек переместится по направлению к корме на расстояние l₁, а второй – к носу на расстояние l₂?

6.

Однородный стержень ОА массой m = 10 кг вращается равномерно с угловой скоростью ω = 10 с^-1. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на стержень, если его длина ОА = 1 м.

7.

Тело 1 массой 4 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент времени система находилась в покое.

Применение теоремы об изменении количества движения.

1.

Материальная точка массы m равномерно движется по окружности со скоростью v. Найти импульс S равнодействующей сил, приложенных к точке, за время прохождения четверти окружности.

2.

В данный момент времени скорость ползуна А линейки АВ эллипсографа равна v = 1м/с, а линейка составляет с осью Ox угол 30⁰. Масса линейки равна 2 кг, длина – 1 м. Пренебрегая массой ползунов и считая линейку тонким однородным стержнем, определить модуль количества движения линейки.

3.

Механическая система из 3-х материальных точек одинаковой массы m, размещенных в вершинах равностороннего треугольника, движется в плоскости рисунка. В изображенном положении скорости точек А и D перпендикулярны линии AD; v_A = v_D = v. Определить модуль и направление вектора количества движения системы в данном ее положении.

4.

Два вагона масс m₁ = 20 т и m₂ = 30 т, двигаясь навстречу друг другу по прямолинейному участку пути со скоростями v₁ = 3 м/с и v₂ = 2,5 м/с соответственно, сцепляются после соударения. Пренебрегая сопротивлениями движению, определить модуль и направление скорости сцепа.

5.

Снаряд противотанковой пушки, имеющий массу 6 кг, ударившись о лобовую броню танка, масса которого равна 30 т, под углом к ней 30⁰, рикошетирует. Найти изменение скорости танка, если скорость снаряда равна 500 м/с.

6.

Трубка вращается с угловой скоростью ω = 10 с^-1. Относительно трубки движется шарик М массой m =0,2 кг со скоростью м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

7.

Тело 1 массой 2 кг под действием пружины движется относительно тела 2 массой 8 кг по закону . Тело 2 может скользить по горизонтальным направляющим. Определить скорость тела 2 в момент времени t = 2 c, если оно начинает двигаться из состояния покоя.

8.

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью v = 4 м/c. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.

Применение теоремы об изменении кинетического момента.

1.

Цилиндрический вал массы m = 10 кг и радиуса r = 10 см вращается с частотой n = 600 об/мин относительно продольной центральной оси. С какой силой Q надо прижать тормозную колодку к валу, чтобы остановить его за t = 10 с, если коэффициент трения скольжения колодки о вал равен f = 0,4, а радиус инерции ρ = 0,3 м. Трением на опорах вала пренебречь.

2.

Груз массы m₁ подвешен на нити, обмотанной вокруг цилиндрического барабана массы m₂ и радиуса r. Пренебрегая трением и массой нити, определить угловое ускорение ε барабана.

3.

Груз М массой m₁ поднимается при помощи ворота. Масса барабана ворота равна m₂, радиус барабана R, длина рукоятки OA=l. Считая силу , приложенную перпендикулярно рукоятки барабана, постоянной по величине, определить ускорение груза М. Барабан считать однородным сплошным цилиндром. Массой рукоятки пренебречь.

4.

Однородный горизонтальный диск радиуса r и массой m₁ может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси AB. По ободу диска движется материальная точка М массой m₂ по закону . Определить угловое ускорение диска, если в начальный момент диск был неподвижен.

5.

Однородный горизонтальный диск радиусом r и массой m₁ вращается вокруг неподвижной вертикальной оси AB, проходящей через его центр О, с угловой скоростью ω₀. В некоторый момент от центра диска по его радиусу начинает двигаться материальная точка М массой m₂ с постоянной скоростью . Определить угловую скорость ω₁ диска в тот момент, когда точка дойдет до конца диска. Трением пренебречь.

6.

Система состоит из однородного горизонтального стержня длины 2l и массы m, а также двух точечных масс m, закрепленных на его концах. Система начинает вращаться из состояния покоя вокруг неподвижной вертикальной оси Оz под действием постоянного вращающего момента M_z. Определить зависимость угловой скорости от времени t.

7.

Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции I_z = 0,075 кг∙м². По трубке под действием внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω₀ = 4 с^-1. При каком расстоянии l угловая скорость равна 3 с^-1?

8.

По стержню АВ движется ползун С согласно закону

АС = 0,2+1,2 t. Ползун считать материальной точкой массы m = 1 кг. Момент инерции вала ОА со стержнем I_z = 2,5 кг∙м².

Определить угловую скорость вала в момент времени t = 1 с, если начальная угловая скорость ω = 10 с^-1.