лекции по физике Родин / LEKTsIYa__03_TEOREMA_O_TsIRKULYaTsII_VEKTORA_E_POTENTsIAL
.docЛЕКЦИЯ № 3
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА . ПОТЕНЦИАЛ.
Из механики Вы знаете, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Именно таким свойством обладает электростатическое поле система неподвижных зарядов.
Если в качестве пробного заряда переносимого из точки 1 поля в точку 2 выбрать единичный положительный заряд q0 = 1 (рис.1), то элементарная работа сил поля на перемещении определяется выражением:
dA = = q0 = , т.к. = q0
и вся работа сил поля на пути от 1 к 2 определится:
A12 = q0.
При q0 = 1 работа A12 определяется интегралом:
(1)
Этот интеграл берётся по некоторой линии (пути) поэтому его называют линейным. Из-за независимости линейного интеграла (1) от формы пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути 1-a-2-b-1 (рис.1) этот интеграл равен нулю. Интеграл (1) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора и обозначают .
Величина в случае единичного положительного заряда совпадает с работой кулоновских сил на элементарном перемещении указанного заряда:
dA = =q0.
Следовательно, физический смысл циркуляции вектора это работа по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутой траектории в поле кулоновских сил.
Итак, в любом электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю: (2)
Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора .
Можем доказать, что на пути 1-a-2 и 2-b-1 выражение (1) равно нулю.
Поле, обладающее свойством (2) называют потенциальным и, следовательно, любое электростатическое поле является потенциальным.
Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд выводов, практически не прибегая к расчётам.
ПРИМЕРЫ: 1. Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных («+») зарядах и заканчиваются на отрицательных («») зарядах. Если бы линии электростатического поля были замкнуты то, взяв циркуляцию вдоль линии поля, мы получили бы .
2. Не может существовать поле, в котором силовые линии имеют разную плотность (рис.2).
На вертикальных участках и , на горизонтальных участках , т.к. значения разные по модулю на нижнем (реже) и верхнем (гуще) участках.
Мы описывали поле до сих пор с помощью вектора . Существует и другой способ описания поля с помощью потенциала φ. Эти способы однозначно соответствуют друг другу.
Тот факт, что интеграл (1) представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от формы пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ(), убыль которой:
φ1 – φ2 = (3)
где φ1 и φ2 – значения функции φ в точках 1 и 2. Определенная таким образом величина φ() называется потенциалом поля.
Из сопоставления выражения (3) с выражением для работы сил потенциального поля (которое равно убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно записать:
A12 = W1 – W2,
где W1 – W2 есть убыль потенциальной энергии.
Можно сказать, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:
, (4)
где φ – скалярная величина. Единицей потенциала является вольт (В).
Потенциал φ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для потенциала также справедлив принцип суперпозиции:
= i. (5)
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
У Савельева И.В. определение потенциала даётся исходя из выражения:
A∞ = q φ. (6)
Потенциал численно равен работе, совершаемой силами поля над положительным единичным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.
ВЫВОДЫ: Потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, в то время как напряженность электрического поля – силовая характеристика.
ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА И СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ.
Выражение (3) содержит не только определение потенциала, но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить, затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть φ(r).
Воспользуемся тем, что (3) справедлива и для элементарных перемещений . Тогда элементарная убыль потенциала на этом перемещении:
–dφ = (7)
и, следовательно, можно записать:
φ2 – φ1 =.
Таким образом, если известно поле (r), то для нахождения φ нужно представить (путём преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть φ.
Найдём этим способом потенциал поля неподвижного заряда:
, т.к. .
Тогда
,
где орт радиус вектора проведённого от заряда в данную точку ( = 1).
Запишем ()r= dr, т.к. проекция вектора на вектор (а значит и на ) равна приращению вектора , т.е. dr.
Следовательно,
.
Величина, стоящая под знаком дифференциал (в круглых скобках) и есть φ(r), а так как аддитивная постоянная const никакой физической роли не играет, то её убирают, и можно записать ( = 1):
=. (8)
Потенциал уединённого точечного заряда можно ввести и другим способом. Воспользуемся рисунком, на котором представлен перенос единичного заряда из точки 1 в точку 2.
По определению:
φ1 φ2=.
В нашем случае: и dl = dr = r2 r1, cos() = 1, поэтому величина .
Подставим это выражение
.
Физический смысл имеет разность потенциалов, и можно придать потенциалу в какой-то точке произвольное значение, например, φ2 = 0 при r2 = ∞. Тогда потенциал уединённого точечного заряда равен:
φ =.
К такому же результату можем прийти, вычисляя работу силы поля по перемещению заряда на участке (Савельев И.В. Курс физики 1989 г., т.2, § 8).
Для системы неподвижных зарядов, используя принцип суперпозиции, имеем:
, (9)
где ri расстояние от точечного заряда qi до интересующей точки.
Если заряды распределены непрерывно, по всему объёму пространства, то:
. (10)
Если заряды только на поверхности то
. (11)
ДОШЛИ!!!
СВЯЗЬ ПОТЕНЦИАЛА И НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
Зная потенциал φ(r) данного электрического поля можно восстановить и само поле (r). Связь между потенциалом φ и напряженностью электрического поля можно установить с помощью уравнения (7).
Пусть перемещение параллельно оси X. Тогда , где орт оси X, dx приращение координаты X. В этом случае , где Ex проекция вектора на орт (а не на перемещение ).
Сопоставив последнее выражение с (7) получим:
Ex = , (12)
где символ частной производной подчёркивает, что функцию φ(x,y,z) надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянными.
Рассуждая аналогично, можно получить соответственное выражение для проекций Ey и Ez , а определив Ex , Ey и Ez легко найти и сам вектор :
= . (13)
Величина, стоящая в скобках, есть не что иное как градиент потенциала φ (grad φ или ), произведение символического вектора на скаляр φ.
В этом случае уравнение (13) можно представить в виде:
= grad φ или = . (14)
Напряжённость поля равна со знаком «» градиенту потенциала.
Знак «» обозначает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.
Для графического изображения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются понятием эквипотенциальные поверхности (ЭПП) поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение:
φ(x,y,z) = const.
Линии напряженности вектора всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям, да и проекция вектора на любое направление касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это означает, что работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
ВЫВОДЫ:
1) ЭПП расположены перпендикулярно линиям напряжённости ;
2) Вокруг каждого заряда можно провести большое множество ЭПП;
3) ЭПП проводят так, чтобы разности потенциалов между 2-мя соседними поверхностями были одинаковы. Следовательно, густота ЭПП характеризует напряженность электростатического поля, где эти поверхности гуще, там модуль вектора больше.