Мiнiстерство освiти і науки україни національний технічний університет

“ХАРКIВСЬКИЙ ПОЛIТЕХНIЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Конохов В.І.

Лавінський В.І.

Хавін В.Л.

“РОЗРАХУНКИ СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧУВАНИХ

Стержньових систем методом сил”

Навчально-методичний посібник

з розділу курсу “Опір матеріалів”

для студентів машинобудівних спеціальностей

ЗАТВЕРДЖЕНО

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол №1

від 21.03.2002 р.

Харків НТУ “ХПІ” 2002

ББК 30.121

К64

УДК 620.17

Р е ц е н з е н т и : д-р техн. наук, проф. О.К.Морачковський (Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”),

канд-т техн. наук, проф. В.І.Пустинніков (Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури)

Автори: Конохов В.І.

Лавінський В.І.

Хавін В.Л.

Розрахунки статично невизначуваних стержньових систем методом сил. Навчально - методичний посібник з розділу курсу “Опір матеріалів” для студентів машинобудівних спеціальностей. – Харків: НТУ “ХПІ”, 2002 –92с.

У першій главі посібника розглядаються методи визначення переміщень в пружних стержньових системах, наводяться приклади визначення переміщень для деяких простих розрахункових схем. У другій главі наведена методика розкриття статичної невизначуваності стержньових систем методом сил та приклади розв’язання статично невизначуваних задач. У третій главі посібника надаються розрахункові схеми і чисельні дані для виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань, а також приклади їх розв’язання та оформлення.

Посібник призначений для студентів машинобудівних спеціальностей. Може бути корисним для викладачів, а також для аспірантів та наукових працівників, які у своїй практичній діяльності стискаються з необхідністю розв’язання статично невизначуваних задач у стержньових системах.

Іл. 45. Табл. 5. Бібліогр. 2 назв. ББК 30.121

Зміст

Вступ 8

1 Енергетичні методи визначення переміщень в стержньових системах 10

1.1 Інтеграл Максвелла – Мора 10

Вираз (1.1) є загальною формулою для пружного переміщення плоскої стержньової системи. 10

Якщо виходити з виразу початку можливих переміщень [1], то у загальному випадку просторової стержньової системи при довільному навантаженні загальна формула для визначення пружного переміщення містить шість додатків і її можна записати і вигляді: 10

(1.2) 11

Формули (1.1) та (1.2) вперше були виведені Максвеллом (для поздовжніх переміщень) і Мором. Визначення переміщень за цими формулами часто називають методом Максвелла – Мора. Зазначимо, що метод Максвелла – Мора – це найзагальніший метод визначення переміщень стержньових систем. 11

Здебільшого при визначенні переміщень у балках, рамах та криволінійних брусах можна знехтувати впливом поздовжніх деформацій і деформацій зсуву, враховуючи лише переміщення, спричинені згинанням і крученням. При цьому для балок та плоских рам впливом поперечних та поздовжніх сил, як правило, нехтують і враховують лише згинальні моменти . Однак, визначаючи переміщення в балках, для яких відношення висоти перерізу до довжини прольоту поперечні сили враховувати обов’язково. При визначенні переміщень в рамах з великими зазначеними відношеннями похибка, спричинена неврахуванням інтегралів поздовжніх та поперечних сил, також може стати істотною. Слід мати на увазі, що в реальних балочних та рамних конструкціях величина відношення , як правило, менше за . Тому при обчисленні переміщень у загальній формулі Максвелла – Мора цілком допустимо зберегти інтеграл, що враховує лише згинальні моменти [1]. 11

Тоді формула (1.1) для плоскої системі набирає вигляду 12

1.2 Обчислення інтегралів Мора способом перемноження епюр (способом Верещагіна). 13

Обчислення інтегралів Мора істотно спрощується, якщо одна з епюр прямолінійна. Ця умова виконується для систем, що складаються з прямих стержнів, оскільки при цьому епюри внутрішніх сил від одиничного навантаження (зосередженої сили або пари) завжди обмежені прямими лініями. 13

1.3 Перемноження епюр за правилами трапецій і Сімпсона – Карнаухова. 18

У випадку, коли епюра від зовнішніх навантажень – лінійна (на ділянці відсутнє розподільне навантаження), спосіб Верещагіна можна суттєво спростити. При цьому зазначимо, що епюра від одиничного навантаження (сили або моменту) завжди лінійна. Отже, при рішенні конкретних практичних задач доцільно використовувати правило трапеції для перемножування лінійних епюр. 18

Розглянемо перемноження двох лінійних епюр: 18

18

18

18

19

19

Одержана залежність називається правилом трапецій. 19

При цьому ординати епюр необхідно брати з урахуванням знаку: 19

19

19

Для перемноження довільних епюр також можна використовувати ще один графоаналітичний метод – правило Сімпсона – Карнаухова. При цьому необхідно знати значення на початку , всередині та на кінці ділянок епюр від зовнішніх навантажень і від одиничного навантаження відповідно (рис. 6). 19

19

19

1.4 Приклади визначення переміщень. 19

Приклад 1. 19

Приклад 2. 21

Приклад 3. 23

Приклад 4. 28

2 Статично невизначувані системи 37

2.1 Основні поняття та визначення 37

37

Використовуючи метод перерізів, легко знайти внутрішні силові фактори у будь якому перерізі балки. 37

2.2 Метод сил 40

2.3 Канонічні рівняння методу сил 43

Система канонічних рівнянь методу сил для загального випадку навантаження має вигляд: 44

(2.6) 44

2.4 Використання властивостей симетрії при виборі основної статично визначуваної системи 48

Якщо маємо деяку симетричну в геометричному відношенні раму (рис.19а), то її права частина може розглядатися як дзеркальне відображення лівої частини відносно плоскості симетрії. 48

48

При розрахунку таких рам можливо спростити рішення задачі і знизити число розшукуваних силових факторів . 48

Розглянемо випадки, коли на раму діють симетричне чи кососиметричне навантаження. Під симетричним навантаженням будемо розуміти таку, при якій всі зовнішні сили, прикладені до правої частини рами, є дзеркальним відображенням сил, прикладених до лівої частини (рис. 19б). Під кососиметричним, або антисиметричним навантаженням будемо розуміти таку, при якій сили прикладені до правої половини рами, також є дзеркальним відображенням сил, прикладених до лівої половини, але протилежні їм за знаком (рис. 19в). 48

Відповідно класифікуємо і внутрішні силові фактори. Розглянемо для цього деякий довільний переріз рами, в якому діє шість силових факторів. В правій і лівій площинах довільного перерізу (рис. 20) сили і моменти рівні. 49

49

Подивимось, які з шести силових факторів є дзеркальним відображенням відносно площини симетрії. Такими є три: два згинальних моменти і поздовжня сила . 49

Будемо їх звати симетричними внутрішніми силовими факторами. 49

Крутний момент і обидві поперечні сили повинні бути названі кососиметричними силовими факторами. Кожний з них протилежний по знаку дзеркальному відображенню взаємного фактора. Неважко тепер довести наступні положення. 49

В симетричній рамі в площині симетрії при симетричному зовнішньому навантаженні нульовими будуть кососиметричні силові фактори, а при кососиметричному зовнішньому навантаженні – симетричні силові фактори. 49

Побічні питомі переміщення в системі (2.10) будуть рівними нулю при перемноженні епюр від симетричних силових факторів на епюри від кососиметричних силових факторів. 49

Це відбувається тому, що в симетричній рамі немає взаємних кососиметричних переміщень під дією симетричних навантажень. Таким же чином не буває симетричних переміщень від дії кососиметричних факторів. В результаті система канонічних рівнянь методу сил розпадається на дві незалежні системи. 49

Крім того, при симетричному зовнішньому навантаженні кососиметричні силові фактори в площині симетрії будуть дорівнювати нулю. При кососиметричному навантаженні нульовими будуть симетричні силові фактори в площині симетрії. 50

50

Якщо навантаження, прикладене до симетричної рами, не є ні симетричним, ні кососиметричним (рис. 21а), завжди мається можливість розкласти його на симетричне (рис. 21б) і кососиметричне (рис. 21в). Задача при цьому розпадається на дві. Розглядається окремо симетрична рама з кососиметричним навантаженням і рама з симетричним навантаженням. Внутрішні силові фактори в рамі далі визначаються накладенням знайдених рішень. 50

У випадку, коли рама має косу геометричну симетрію, можна шляхом сопоставлення епюр для двох половин рами спростити систему канонічних рівнянь. 50

Все наведене вище, зберігає силу не тільки для плоских, але і для просторових рам з будь-яким ступенем статичної невизначуваності. 50

2.5 Перевірка правильності розрахунків 50

де - різниця між додатними та від’ємними складниками при перемноженні епюр, взятих по модулю; - середнє значення між додатними та від’ємними складниками при перемноженні епюр, взятих по модулю. 52

2.6 Приклади розкриття статичної невизначуваності 52

Приклад 1 52

Визначити: Для шарнірно обпертої балки, навантаженої силою F, побудувати епюри згинального моменту і поперечної сили. 52

Визначається ступінь статичної невизначуваності балки (рис. 23а): . 53

Нумерацію опор рекомендовано починати з нульової. 53

Горизонтальна реакція в шарнірно – нерухомій опорі 0 буде рівною нулю, тому що немає сил, які дають ненульову проекцію на вісь балки. 53

Обираємо основну статично визначувану систему (рис. 23б). Для цього встановимо додатковий шарнір в тіло балки над проміжною (середньою) опорою. При цьому згинальний момент в даному перерізі перетворюється на нуль. Балка розпадається на дві незалежні прості балки. 54

Формуємо еквівалентну систему шляхом прикладання зовнішньої сили і невідомого згинального моменту в перерізі з одиночним шарніром (рис. 23в). 54

До основної системи прикладаємо одиничний момент (рис. 23г) і будуємо епюру (рис. 23д). 54

До основної системи прикладаємо зовнішнє навантаження (силу ) (рис.23е) і будуємо епюру (рис. 23ж). 54

Записуємо канонічне рівняння метода сил: . Тут – взаємний кут повороту в місці встановлення додаткового шарніра від прикладання одиничного згинального моменту в напрямку його дії, а – взаємний кут повороту в місці встановлення одиничного шарніра від прикладання зовнішнього навантаження (сили ). 54

Визначаємо коефіцієнти канонічного рівняння метода сил: 54

Розв’язуємо канонічне рівняння і визначаємо : 54

Будуємо епюру від знайденого моменту (рис. 23з). 54

Шляхом складання по ділянках балки епюри (рис. 23ж) і епюри (рис. 23з) будуємо епюру (рис. 23и). 55

Перевірка виконання умови еквівалентності проводиться шляхом визначення взаємного кута повороту в місці одиночного шарніра. Якщо цей взаємний кут повороту з заданою точністю (35%) буде дорівнювати нулю, то розрахунки по розкриттю статичної невизначуваності та побудови епюри вірні. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів (рис. 23и) для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів (рис. 23з) від одиничного навантаження, прикладеного в місці встановлення одиночного шарніра: 55

Приклад 2 57

Приклад 3 60

3 Розрахунково – проектувальне завдання 66

При вивчені розділу “Статично невизначувані системи” в курсі “Опір матеріалів” ставиться мета навчити студентів основам інженерного розрахунку елементів конструкцій машин і механізмів на міцність і жорсткість при дії постійного навантаження з урахуванням, при цьому умов роботи та закріплення цих елементів. 66

Розрахунково-проектувальне завдання складається з трьох етапів: 66

Рішення поставлених комплексних задач можна умовно поділити на два етапи. На першому етапі необхідно розкрити статичну невизначуваність запропонованого варіанту вхідної системи, використовуючи метод сил. Завершенням першого етапу розрахунку є побудова епюр згинальних та крутних моментів, поздовжніх та поперечних сил для вхідної системи. 68

Записуючи еквівалентні напруження по енергетичній теорії граничного стану як функцію геометричних характеристик плоского перерізу, з умови міцності визначаються поперечні розміри перерізу вхідної конструкції. 70

Задача 1. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних балках 71

Чисельні дані до задачі №1. 74

Задача 2. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних рамах 74

Чисельні дані до задачі №2 79

Задача 3. Визначення внутрішніх зусиль в статично невизначуваних плоскопросторових рамах та визначення розмірів поперечного перерізу 80

Чисельні дані до задачі 3 84

Типи перерізів до задачі 3 85

Контрольна задача № 4. (Для самостійної роботи) 86

Контрольна задача № 5. (Для самостійної роботи) 89

Чисельні дані для контрольних задач №4, №5 99

Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної балки 99

Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної рами 105

Зразок виконання розрахунку статично навизначуваної плоскопросторової рами 109

Література 113

Контрольні питання 114

Вступ

Однією з найважливіших задач опору матеріалів є оцінка жорсткості конструкції, тобто ступеня її викривлення під дією силового навантаження, зміщення зв’язків, зміни температури.

Для розв’язання цієї задачі треба визначити переміщення (лінійні та кутові) довільно навантаженої пружної системи (балки, рами, криволінійного стержня, або ферми). Визначення переміщень є необхідною частиною розрахунків на жорсткість, а також складовою частиною метода сил при розкритті статичної невизначуваності стержньових систем, які є розрахунковими схемами різноманітних конструкцій. В останньому випадку складають рівняння спільності деформацій, які містять у собі переміщення певних точок системи. Визначення переміщень є основною задачею при розрахунку конструкцій на динамічні навантаження.

Загальний метод визначення переміщень у стержньових системах заснован на двох фундаментальних принципах механіки: початку можливих переміщень і законі зберігання енергії.

Як відомо з теоретичної механіки, робота постійної сили на переміщенні за її напрямком дорівнює добутку значення сили на зазначене переміщення:

.

У задачах опору матеріалів і будівельної механіки зовнішні навантаження відзначаються великою різноманітністю і, як правило, становлять групи сил. Вираз для роботи групи постійних сил також можна подати у вигляді добутку двох величин:

,

у якому множник залежить тільки від групи сил і називається узагальненою силою, азалежить від переміщень і називається узагальненим переміщенням.

Переміщення, яке спричинене одиничною силою або одиничною парою, будемо позначати літероюі називати одиничним. При цьому умовимося вважати одиничні сили чи пари, які спричиняють переміщення, безрозмірними.

Якщо одинична сила спричинила переміщення, то, згідно з принципом незалежності дії сил, повне переміщення, яке викликано силою, дорівнює:

.

Отже, під узагальненою силою будемо розуміти будь-яке навантаження (зосереджені сили, зосереджені моменти, розподільне навантаження), а під узагальненим переміщенням – той вид переміщення, на якому узагальнена сила здійснює роботу.

Розглядаючи досить жорсткі лінійно деформовані конструкції (тобто системи, деформації яких малі і відповідають закону Гука), можна на підставі принципу незалежності дії сил визначати повні переміщення точок як суму переміщень, спричинених окремими навантаженнями.

Зазначимо, що навантаження, яке діє на конструкцію, як правило, позначають літерами з числовими індексами (наприклад,). У цьому разі літерні індекси приабозамінюють відповідними числовими, тобто замістьпишуть.