- •Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «лэти» им. В.И. Ульянова (Ленина) (сПбГэту)
- •Реферат
- •Введение
- •Представление детерминированных и случайных сигналов в частотной области
- •Системы базисных функций
- •Комплексные экспоненциальные функции
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Быстрое преобразование Фурье
- •Литература
Системы базисных функций
Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. Так, например, технические характеристики (точность, быстродействие, затраты памяти и оборудования) цифровых фильтров, построенных в спектральной области, зависят от применяемых СБФ и для различных систем существенно различны. В соответствии с этим, при решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.
СБФ существует бесчисленное множество. Краткий обзор некоторых СБФ, применяемых в настоящее время в теории и практике обработки сигналов.
Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов, приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t0, tN], будет ортогональной системой.
Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени ∆t, где ∆t - длительность импульсов, N = T / ∆t - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при ∆t -> 0 и N -> ∞. В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси a∆t = t при ∆t -> 0, a -> ∞. Система функций { (t)} является полной ортогональной системой.
Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций { (i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде
Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Для N=8 она приведена
.
Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы.
-
Системы тригонометрических базисных функций:
Система тригонометрических функций {cos(kξ) , sin(kξ)} = { 1, sin(ξ), cos(ξ), sin(2ξ), cos(2ξ), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-π, π], либо [0, 2π]. Система является периодической с периодом 2π и ненормированной (норма равна 1/). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(ξ), cos(ξ), sin(2ξ), cos(2ξ), ...}.
Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций
определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).
В качестве примера приведена система из восьми функций с интервалом определения [-4, 4).
-
Системы комплексных экспоненциальных функций - . Эти функции используются в преобразованиях Фурье и Лапласа.
-
Системы комплексных дискретных экспоненциальных, базисных функций - . Эти функции используются в дискретных преобразованиях Фурье и Лапласа, быстром преобразовании Фурье.
-
Полиномиальные СБФ, использующие полиномы Чебышева и Лежандра. Эти функции часто используются для анализа и синтеза цифровых фильтров.
-
Двоично – ортогональные СБФ Уолша, Хаара, Радемахера. Эти функции широко используются в вычислительной технике для анализа и синтеза цифровых автоматов.
Базисные функции составляют ядро различных интегральных преобразований, используемых для исследования сигналов и систем (Фурье, Лапласа, Карсона, Хэвисайда, Уолша, Хаара и др.), которые имеют следующую структуру записи:
, . (5)
При этом, различным СБФ соответствует различная интерпретация сигналов.