МОИИ конспект

гистограммы. Очевидно, что чем меньше сумма, тем меньше оснований сомневаться в правильности выбора закона распределения.

Гипотеза о нормальном распределении принимается, если выполняется условие χ 2 ≥ χ q2 . Квантили χ q2 распределения χ 2 даны в таблице 2, число

степеней свободы f = k − 3 . Уровень значимости принять равным q = 0.05 .

Понятие гипотезы означает, что она не противоречит экспериментальным данным. Однако это не позволяет сделать вывод об однозначном соответствии данного закона распределения результатов наблюдений принятому закону распределения. Могут существовать и другие законы, которые также не

противоречат гистограмме.

Проверка по критерию Колмогорова

Проверка по критерию Колмогорова соответствия распределения

случайной величины нормальному распределению осуществляется по первой выборке. Перед началом расчетов выборка сортируется по возрастанию

значения случайной величины xi , т.е. формируется вариационный ряд.

Строятся эмпирическая Fn (x) и теоретическая F (x) функции распределения.

Эмпирическая функция распределения определяется равенством:

где n1 - общее число наблюдений случайной величины в первой выборке; i = 1Kn1 - номер наблюдения случайной величины xi .

Теоретическая функция распределения определяется выражением

F (x) = 0.5 + Φ0 (Zi ) ,

31

используется модуль максимальной разности d max = max F (x) − Fn (x) . Затем

вычисляется величина λ = d max n1 .

2.30001 0000

Гипотеза о нормальном распределении случайной величины xi не отвергается, если удовлетворяется условие λ ≤ λ1−q . Значение квантиля

32

распределения Колмогорова λ1−q отыскивается по табл. 2.3, при расчетах

принимается уровень значимости q = 0.1. Например, для уровня значимости

q = 0.0001 квантиль распределения Колмогорова λ0.9999 = 0.33 .

33

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ

Под задачей определения движения будем понимать нахождение

уточненных значений его параметров на основе математической модели движения и результатов измерений [3]. В большинстве практических задач необходимо определение динамики движения с учетом взаимодействия объекта с окружающей средой и деформаций объекта или его элементов. Модель исследуемого движения и набор контролируемых параметров не могут быть полными – всегда имеется конечное число измерений, содержащих погрешности. Поэтому речь идет, как правило, о получении оценок выделенных параметров. Наличие функциональной или вероятностной зависимости между параметрами позволяет при известных значениях одних из них судить о других.

Информация о каждом параметре несет не только результат его измерения, но и всю совокупность априорной и измерительной информации. Ее использование позволяет алгоритмическим путем повысить точность измерений.

Пусть объектом наблюдения является система, состояние которой

Для определения вектора X используются измерения некоторых величин,

зависящих от параметров состояния системы. Совокупность измерений образует вектор измерений:

необходимо знать модель зависимости между ними

Yм = F ( X ) .

Данная зависимость в общем случае может быть нелинейной. Поскольку это модельная зависимость, которая может отличаться от реальной, в

результате идеального измерения получим

34

являющееся математической моделью измерений. Точные значения векторов Z ′

и Z ′′ остаются неизвестными, и их обычно рассматривают как случайные векторы с заданными вероятностными характеристиками (законами распределения, моментами и т. д.).

Она, по возможности, должна мало отличаться от истинного значения. При этом

задачей алгоритма (3.6) является возможное уменьшение (фильтрация) влияния ошибок Z ′ и Z ′′ , поэтому его называют алгоритмом фильтрации.

Многие встречающиеся на практике алгоритмы фильтрации разработаны

где H – матрица измерений с размером m × n.

уравнений (3.5). После подстановки этой оценки в левую часть (3.5), получим

35

фильтрации сводится к минимизации этого вектора.

Кроме моделей измерения (3.4), (3.7) и алгоритмов фильтрации (3.6)

существенную роль для определения параметров движения играет наличие модели самого движения или состояния системы. Модель движения может быть прогнозируемой, непрогнозируемой, вероятностной [3].

Модель будем называть прогнозируемой, если задана функциональная зависимость от времени

X= X (t) .

Вэтом случае по состоянию модели в начальный момент времени X = X (t0 )

Зависимость (3.9), как правило, выполняется на ограниченном временном интервале, с его увеличением нарастают и ошибки прогнозирования.

Непрогнозируемыми можно считать системы, для которых зависимость вида (3.9) либо вообще не может быть составлена, либо не используется. При решении такой задачи определение состояния системы проводится для каждого момента времени независимо и требует проведения единовременных измерений. Например, определяя координаты центра масс объекта, находим последовательность точек его нахождения в различные моменты времени.

Соединяя эти точки плавной кривой, можно получить траекторию движения.

Несмотря на очевидный недостаток непрогнозируемых моделей, они, как правило, точнее и проще. В частности, непрогнозируемая модель движения центра масс объекта значительно проще полных уравнений динамики объекта,

учитывающих его угловые и поступательные движения под действием внешних сил. При использовании непрогнозируемых моделей часто проводят измерения на отдельных интервалах времени, в течение которых с определенной степенью приближения можно подобрать ту или иную модель движения.

36

Если закон движения системы точно неизвестен, а прогноз ее состояния все же необходим, обычно используются прогнозируемые модели на основе некоторых интерполяционных формул. Так, например, может быть применена линейная модель движения вида

где r – радиус-вектор положения точки в некоторой системе координат, а υ0 –

скорость относительно этой системы координат в момент времени t = t0 . Тогда

базовой системы координат становится шестимерным. Уравнение движения в этом случае может быть представлено в векторно-матричной форме, принятой в

Если в нашем распоряжении имеются измерения координат объекта на интервале времени [ tн, tк ], а необходимо составить прогноз на момент времени

t1 = tк + τ , наибольшая погрешность прогнозирования будет определяться максимально возможным ускорением объекта wmax :

max = wmax τ2 2 .

Наряду с рассмотренными детерминированными моделями широкое

распространение получили вероятностные модели, состояние которых зависит

ψ(t) = ψ1, ψ2 ,..., ψk т . При этом зависимость (3.9) заменяется выражением вида

X(t ) = Ф[ x0 , ω, ψ]

изадаются вероятностные характеристики вектора ω и функции ψ .

Подходы к оцениванию измеряемой величины могут быть различными в зависимости от объема имеющейся априорной статистической информации о величинах X и Z = Z ′ + Z ′′ . В случае линейной зависимости (3.7) измеряемых параметров от оцениваемых параметров вектора состояния можно применять линейные статистические методы оценивания. Основными наиболее распространенными методами являются: метод максимума апостериорной вероятности; метод максимального правдоподобия; метод наименьших квадратов; метод динамической фильтрации. Различие этих методов в основном заключается: а) в полноте учета статистических характеристик ошибок исходной информации; б) полноте учета априорных сведений об оцениваемых параметрах вектора состояния; в) оперативности оценки вектора состояния.

Оценки могут вырабатываться либо при использовании всего объема выборки исходной информации (постобработка), либо при последовательном использовании информации по мере ее поступления (рекуррентная обработка).

Методы максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия наиболее полно учитывают статистические характеристики ошибок измерения.

При использовании метода наименьших квадратов и метода динамической фильтрации обычно предполагают, что все ошибки измерений независимы и распределены по нормальному закону.

Рассмотрим кратко некоторые методы, в частности, метод оценивания на основе байесовского подхода, метод наименьших квадратов и в качестве примера метода динамической фильтрации – оптимальную калмановскую фильтрацию.

В случае, если известна совместная плотность вероятности f(x, z), задача может решаться в рамках байесовского подхода. Когда статистические характеристики X и Z неизвестны либо заданы только двумя первыми

38

моментами (математическим ожиданием и ковариационной матрицей), оценку

удобно вырабатывать методом наименьших квадратов.

3.1. Решение задачи оценивания на основе байесовского подхода

В условиях вероятностной зависимости между Y и X смысл информации,

которую несет в себе результат измерения, заключается в следующем. До получения результата измерения y об измеряемой величине известно, что ее возможные значения распределяются с априорной плотностью вероятности f(x)

около математического ожидания mx . После получения результата измерения y

распределение возможных значений измеряемой величины сужается. Новое распределение характеризуется условной плотностью вероятности f(x/y). Это распределение называют апостериорным, его плотность вероятности определяется формулой Байеса

f (x / y) = f (x, y) f ( y) ,

где f ( y) = ∫ f (x, y)dx .

Совместная плотность вероятности f(x, y) обычно вычисляется с помощью

соотношения

f(x, y) = f ( y / x) f (x) ,

вкотором f(y/x) представляет собой плотность измерений, условную к вектору x . Эта плотность, рассматриваемая как функция x, получила название функции

правдоподобия. При независимых векторах X и Z и аддитивном характере ошибок измерения в выражении (3.4)

Индекс z в выражении (3.12) подразумевает суммарную методическую и измерительную ошибку в (3.4), обозначенную как Z. Плотность вероятности f z

не зависит от плотности вероятности измеряемой величины X и является объективной характеристикой метрологических качеств средства и метода измерений.

39

соответствующих плотностям f(x/y) и f(x, y). Оптимальная байесовская оценка отыскивается из условия минимизации rус( y) или безусловных rб( y) потерь.

Подробнее эти процедуры рассмотрены, например в [4].

3.2. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) рассмотрим более подробно,

поскольку он является одним из основных способов решения задачи минимизации погрешности оценки. Кроме того, большинство используемых на практике алгоритмов фильтрации, в конечном счете, сводятся к этому методу.

Упростив модель измерений (3.4), обозначим через Z суммарную методическую и измерительную ошибку:

Применение МНК базируется на следующих допущениях.

1.Известна математическая модель (3.2).

2.Заданы математическое ожидание M(Z) и ковариационная матрица суммарной ошибки Pz .

3.Вектор ошибок Z является собственным, т. е. удовлетворяет условию

R(Pz ) = m .

информации, а К – заданная положительно определенная матрица с размером

40