mmt-11
.pdf
Вывод формулы для биений
Для простоты рассмотрим случай, когда a1 = a2 = a и α1 = α2 = 0.
x = a cos(ω1t) + a cos(ω2t)
Используем формулу |
|
|
α |
|
cos |
|
|
|
|
|||
cos α + cos β = 2 cos |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ β |
|
|
|
α − β |
|
|
Тогда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a[cos(ω1t) + cos(ω2t)] = |
|
|
||||||||||
= 2a cos (ω |
|
2 |
|
cos |
|
|
2 |
|
||||
|
|
2 |
− ω1)t |
|
|
|
(ω2 |
+ ω1)t |
|
|
||
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
17/31
Вывод формулы для биений
Для простоты рассмотрим случай, когда a1 = a2 = a и α1 = α2 = 0.
x = a cos(ω1t) + a cos(ω2t)
Используем формулу |
|
α |
|
cos |
|
|
|
|
||||
cos α + cos β = 2 cos |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+ β |
|
|
|
|
α − β |
|
|
Тогда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a[cos(ω1t) + cos(ω2t)] = |
|
|
||||||||||
= 2a cos |
|
2 |
|
cos |
(ω |
|
2 |
|
||||
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
|
|
2 |
+ ω1)t |
|
|
||
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
17/31
Обозначим |
|
|
|
, ω = |
|
|
|
A(t) = 2a cos |
|
2 |
ω |
|
2 |
||
|
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
2 |
+ ω1 |
В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид:
x = A(t) cos(ωt)
Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
18/31
Обозначим |
|
|
|
, ω = |
|
|
|
A(t) = 2a cos |
|
2 |
ω |
|
2 |
||
|
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
2 |
+ ω1 |
В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид:
x = A(t) cos(ωt)
Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
18/31
Обозначим |
|
|
|
, ω = |
|
|
|
A(t) = 2a cos |
|
2 |
ω |
|
2 |
||
|
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
2 |
+ ω1 |
В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид:
x = A(t) cos(ωt)
Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
18/31
Обозначим |
|
|
|
, ω = |
|
|
|
A(t) = 2a cos |
|
2 |
ω |
|
2 |
||
|
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
2 |
+ ω1 |
В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид:
x = A(t) cos(ωt)
Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
18/31
Обозначим |
|
|
|
, ω = |
|
|
|
A(t) = 2a cos |
|
2 |
ω |
|
2 |
||
|
|
(ω2 |
− ω1)t |
|
|
2 |
+ ω1 |
В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид:
x = A(t) cos(ωt)
Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Определение
Вывод формулы для биений
Период биений
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Фигуры Лиссажу
18/31
|
Гармонические |
|
Период биений |
колебания |
|
|
||
Tб |
Энергия |
|
гармонических |
||
x |
колебаний |
|
|
||
|
Векторная |
|
|
диаграмма |
|
|
Сложение |
|
|
гармонических |
|
t |
колебаний одного |
|
направления и |
||
|
одинаковой |
|
|
частоты |
|
|
Биения |
|
|
Определение |
|
|
Вывод формулы |
|
|
для биений |
|
|
Период биений |
|
Периодом биений Tб называется интервал времени |
Сложение |
|
между моментами, когда амплитуда колебаний |
взаимно перпен- |
|
дикулярных |
||
достигает максимального значения. |
колебаний |
|
Фигуры Лиссажу |
||
|
||
Из рисунка видно, что период биений в два раз меньше |
|
|
периода изменения медленной амплитуды A(t): |
|
Tб = 2π/|ω2 − ω1|
19/31
|
Гармонические |
|
Период биений |
колебания |
|
|
||
Tб |
Энергия |
|
гармонических |
||
x |
колебаний |
|
|
||
|
Векторная |
|
|
диаграмма |
|
|
Сложение |
|
|
гармонических |
|
t |
колебаний одного |
|
направления и |
||
|
одинаковой |
|
|
частоты |
|
|
Биения |
|
|
Определение |
|
|
Вывод формулы |
|
|
для биений |
|
|
Период биений |
|
Периодом биений Tб называется интервал времени |
Сложение |
|
между моментами, когда амплитуда колебаний |
взаимно перпен- |
|
дикулярных |
||
достигает максимального значения. |
колебаний |
|
Фигуры Лиссажу |
||
|
||
Из рисунка видно, что период биений в два раз меньше |
|
|
периода изменения медленной амплитуды A(t): |
|
Tб = 2π/|ω2 − ω1|
19/31
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой
частоты
5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
20/31