Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов

Теория вероятностей

5. ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5.1. Законы распределения дискретных случайных величин

Сколько существует различных дискретных случайных величин, столько существует и законов их распределения. Из всего многообразия дискретных случайных величин выделяют две большие группы. Каждая группа объединяет случайные величины, имеющие закон распределения, характерный только для этой группы. Вероятности конкретных значений таких случайных величин вычисляются по одной и той же формуле. Отличие случайных величин, входящих в одну группу, определяется различными значениями ключевых компонент в определяющих формулах. Ключевые компоненты формул называют параметрами закона распределения.

В первую группу входят так называемые биномиальные величины, в другую – пуассоновские. В связи с этим особый интерес представляют собой биномиальный и пуассоновский законы распределения дискретных случайных величин.

Рассмотрим более подробно каждый из названных законов распределения.

5.1.1. Биномиальный закон распределения

5.1.1.1. Общая характеристика биномиальной случайной величины

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одинаковой вероятностью р может произойти некоторое событие А. Событие А может иметь самую различную природу. Случайная величина Х – число опытов, в которых произошло событие А – распределена по биномиальному закону распределения

с рядом распределения, соответствующим табл. 5.1.

100

Законы распределения

Таблица 5.1. Ряд распределения биномиальной случайной величины

Ньютона с переменными р и (1-р), т.е.

распределенной по биномиальному закону, в заданный диапазон значений определяется с помощью формулы

P{k1 ≤ X ≤ k2 }= ∑k2 Cni pi (1− p)n−i .

i=k1

5.1.1.2.Числовые характеристики биномиальной случайной

величины

Математическое ожидание. Рассмотрим предварительно случайную величину Хi – число появлений события А в i-м опыте, i =1,n .

Математическое ожидание случайной величины Хi определим по формуле

(4.9): mi = 0*(1–p) + 1*p = p .

Биномиальная случайная величина представляет собой сумму величин Хi. Тогда её математическое ожидание определится следующим преобразованием:

101

Дисперсия. Определим предварительно второй начальный момент и дисперсию случайной величины Хi – числа появлений события А в i-м опыте, i =1,n . Ряд распределения рассматриваемой величины приведен

выше. Второй начальный момент случайной величины Хi определим по формуле (4.15): α i = 02*(1–p) + 12*p = p . Дисперсию этой величины

дисперсий независимых случайных величин Хi определится с помощью следующего преобразования:

Среднее квадратичное отклонение определим в соответствии с формулой (4.20):

Пример 5.1. Определить математическое ожидание mх, дисперсию Dx и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – числа появлений “орла” при 10 бросаниях монеты.

Решение. Подбрасывание монеты – события независимые. Вероятность появления “орла” при каждом подбрасывании монеты одинакова и равна 0,5. Следовательно, случайная величина Х распределена по биномиальному закону. А это значит, что её математическое ожидание определяется формулой (5.2):

mx = np = 10*0,5 = 5 ;

дисперсия формулой (5.3):

Dx = np(1–р) = 10*0,5*(1–0,5) = 2,5 ;

среднее квадратичное отклонение формулой (5.4):

102

Законы распределения

σ x = Dx = 2,5 ≈1,58 .

5.1.2. Закон распределения Пуассона

Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий. Поэтому дальнейшее изложение будет касаться материала, определяющего и характеризующего основные особенности случайного потока событий и его частного случая – простейшего потока событий.

5.1.2.1. Простейший поток событий

Определение 5.1. Случайным потоком событий называются события, следующие друг за другом в случайные моменты времени.

Определение 5.2. Простейшим потоком событий называется поток событий, обладающий следующими тремя свойствами:

–стационарностью;

–ординарностью;

–отсутствием последействия.

Примером простейшего потока событий может служить поток заявок, поступающих по телефону в кассу театра на приобретение билетов.

Определим выше перечисленные свойства простейшего потока.

Определение 5.3. Случайный поток событий называется стационарным, если вероятность попадания определенного числа событий на заданный временной участок зависит только от длины участка Т и не зависит от того, где на временной оси t расположен этот участок.

103

Теория вероятностей

1. Если временные интервалы Т1 и Т2, находящиеся на временной оси t в разных местах (рис. 5.1), равны между собой, то равны и вероятности появления определенного числа событий (m) в течение этих интервалов Р1(Х=m) и Р2(Х=m) (см.

рис. 5.1): T1 = T2 => Р1(Х=m) = Р2(Х=m).

}T1 }T2 t

P1 (X=m) P2 (X=m)

Рис. 5.1.

Определение 5.4. Случайный поток событий называется ординарным, если вероятность попадания двух и более событий на бесконечно малый участок ∆t несоизмеримо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события на этот участок.

Другими словами, два и более событий на одном бесконечно малом

участке произойти не могут, т.е. имеет место предел lim P{(X >1}) = 0 .

∆t→0 P X =1

Определение 5.5. Случайный поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания определенного числа событий на участок длиной Т не зависит от того, сколько событий попало на любой другой участок, не пересекающийся с ним.

Данное свойство потока говорит о том, что все последующие события

впотоке не зависят от предыдущих.

5.1.2.2.Общая характеристика пуассоновской случайной

величины

Для простейшего потока событий случайная величина Х – количество событий попавших на интервал Т – распределена по закону Пуассона

104

где а = λТ – среднее число событий, попадающих на интервал Т (единственный параметр закона распределения);

λ – интенсивность наступления событий (количество событий в единицу времени);

Т – некоторый период времени.

Ряд распределения пуассоновской случайной величины соответствует табл. 5.2.

Таблица 5.2. Ряд распределения пуассоновской случайной величины

Доказательство формулы Пуассона (5.5). Введем обозначения:

λ – интенсивность событий; Т – заданный участок временной оси.

Разобьем участок длины Т на участки ∆t в количестве n. Причем ∆t = Tn → 0 . В силу стационарности и ординарности потока вероятность

того, что на участке ∆t произойдет одно событие, определится следующим образом:

p = λ∆t = λnT ,

а вероятность того, что на участке ∆t не произойдет ни одного события:

q =1− p =1−λ∆t =1− λnT .

При условии n → ∞ вероятность p = λnT → 0 . Вероятность того, что за

период времени Т произойдет ровно m событий можно рассматривать как вероятность появления m событий в n независимых испытаниях при n → ∞, p → 0 , т.е. вычислять ее по формуле Бернулли:

105

Теория вероятностей

5.1.2.3. Числовые характеристики пуассоновской случайной величины

Математическое ожидание. В соответствии с формулой (4.9)

математическое ожидание дискретной случайной величины определится следующим образом:

106

Законы распределения

Последняя сумма представляет собой функциональный ряд, сходящийся к функции еа (см. Приложение С). Продолжим преобразования:

т.е. математическое ожидание пуассоновской случайной величины

Дисперсия. Определим предварительно второй начальный момент в соответствии с формулой (4.15):

Дисперсию пуассоновской случайной величины определим по формуле связи:

Dx =α2 − mx2 = a(a +1) − a2 = a ,

Среднее квадратичное отклонение определим в соответствии с формулой (4.20):

5.1.2.4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок

Для случайных пуассоновских величин существуют две специальные таблицы, позволяющие решать различные задачи, связанные с

107

Теория вероятностей

распределением Пуассона, без вычисления факториальных величин типа m! , степенных величин типа am и показательных величин типа е–а.

Первая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значение m, то есть вероятность P(X=m) .

Вторая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значения, которые меньше или равны m, то есть вероятность P{X ≤m} .

Вторая таблица является более универсальной, так как позволяет легко определять вероятности:

P(X=m) как разность P{X ≤m} – P{X ≤(m–1)} ;

P{X ≤m} как разность 1 – P{X ≤(m–1)} ;

P{m1 ≤ X ≤ m2} как разность P{X ≤m2} – P{X ≤(m1–1)} .

5.2. Законы распределения непрерывных случайных величин

Среди непрерывных случайных величин особого внимания заслуживают величины, имеющие один из следующих законов распределения:

•равномерный;

•показательный;

•нормальный.

Рассмотрим более подробно каждый из названных законов распределения.

5.2.1. Равномерный закон распределения

5.2.1.1. Общая характеристика

Определение 5.6. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

108

Законы распределения

График плотности распределения для равномерно распределенной случайной величины имеет вид, показанный на рис. 5.1.

c(b − a)=1.

Равномерный закон распределения имеет два параметра: а и b .

Интегральная функция распределения, согласно обратному преобразованию (4.5), определяется следующим образом:

Таким образом, интегральная функция равномерно распределенной величины определяется как

109