Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Лекции_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

ФОРМУЛЫ ГРИНА.

Пусть – ограниченная область в R3 с гладкой границей

. Пусть

функции

U ,V C2

Применим

формулу

Остроградского-Гаусса к

следующим функциям:

P U

, Q U V ,

R U V

Формула Остроградского-Гаусса:

P cos Q cos R cos d

dxdydz

cos ,

cos – единичная внешняя нормаль к .

U V

U 2V

U V

U , V U V

x x

y y

z z

cos

P cos Q cos R cos U

U , V U V dxdydz U

V d

Первая формула Грина:

U Vdxdydz U

V d U , V dxdydz

(2)

Пусть U ,V C2

тогда справедлива формула (2)

и формула (U и V

меняем местами):

V Udxdydz V

U d V , U dxdydz,

V , U U , V

(3)

Рассмотрим выражение (2) – (3), это и будет вторая формула Грина:

U V V U dxdydz

(4)

Формулы Грина можно доказать при условии, что U,V C1 C2 . Далее считаем, что в формулах (2), (4) U,V C1 C2 .

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

40 | С т р а н и ц а

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

Пусть

–

ограниченная область в

с гладкой границей . Пусть

функция U C1

C2 .

Рассмотрим функцию V M

M M0

где

M M0

x x0 2

y y0 2

z z0 2

– расстояние между точками M и M 0 .

Заметим, что V M

удовлетворяет уравнению Лапласа (по переменной

M M0

функция

бесконечно

дифференцируема M M0 .

Пусть

M 0

–

произвольная

фиксированная

точка

из

Обозначим

\ K

где

K M0 M R3

M M0

достаточно

мало,

M 0

чтобы K M0 . Обозначим

– граница K M0 .

Применим вторую формулу Грина в области

к функциям U и V .

V V U dxdydz

по интег ральной теореме

1 U

M1 4

n d

о среднем для поверхностног о

M M

интег рала I

рода

4 U M

, M

M M

r r

Ud по т. о среднем

U M

2 4 2

4 U M 2 ,

M 2

V U dxdydz

d 4 U M 2

Устремляем 0 M1 M0 ,

M0 , тогда

limU M2 U M0 (так как U непрерывна в точке M 0 )

lim4

ограничена

Несобственный

интеграл

Udxdydz

сходится

(так

как

M M

dxdydz сходится, если 3 , расходится при 3 ), следовательно:

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

41 | С т р а н и ц а

lim

1 4

	1			Udxdydz						1					Udxdydz

		M M	0								M M			0


							V			U							0 U M 0				1
V Udxdydz							V	V		U											1
							n			n											4
					U						d 4 U M												V

						1					1 U						1					1
V Udxdydz						1					1 U				U		1			d		1
						4			M		M		n					M M				4

																n
												0							0
												0							0

Основная интегральная формула Грина:

U		U	V
		U		d
	n		n
		1		Udxdydz

	M M		0

	U M 0	1	1			U U				1							1				1
		1	1							1					d		1				1			Udxdydz (5)
				M M							M M						4			M M

		4				n		n
					0									0									0
					0									0									0
	Если в формуле (5) U – гармоническая в функция, то получаем
интегральное представление гармонической функции:

				U M 0			1			1			U U						1
							1			1									1			d			(6)
									M M									M M

							4						n			n
												0									0
												0									0

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

42 | С т р а н и ц а

Лекция № 11.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА.

Пусть M R2 : 0 M a , .

Рассмотрим задачу Дирихле:

U 0 в D

U	g M , M
U	g M , M


Предполагаем g C1 .
Перейдём к полярным координатам. Обозначим:
U r cos ,		~
U r cos ,		r sin U	r,
g a cos ,		~
g a cos ,		a sin g

Получаем задачу:

r r~

U r a

	~			2	~
	U	1 U
r						0, 0	r a,
r			2	2		0, 0	r a,
	r	r	2	2
	r	r

~	,
g

Решение уравнения (1) ищем в виде:
~				r, R r
U				r, R r
	1				r R r		1	R r 0

	r r						r 2
	r r						r 2
	r				r R r

			r						, 0 r a,
					R r				, 0 r a,
					R r
r					r R r R r
r		r			r R r R r
		r
0
					~			2 -периодическая по переменной .
Функция U r, –								2 -периодическая по переменной .
U x, y U x, y после повороте
~					~
U				r, U r, 2 2 -периодична.
2						2 .
Аналогично						2 .

Таким образом, получаем задачу:

,

	2 ,
2 ,	2 ,

1)0 C1e C2e – не является периодической.

2)0 0 a b

a b a 2 b 2a 0 a 0 b, b const

0 2

0 1, 0 0

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

43 | С т р а н и ц а

обозн.

2 , 0 A cos B sin

3) 0

2 A cos B sin A cos 2 B sin 2

cos cos 2

n, n 1,

2, 3, ...

sin sin 2

A cos n B sin n , n2 ,

n 1, 2,

3, ...

Рассмотрим уравнение:

r R r R r ,

n 1, 2, 3, ...

Решение этого уравнения при n 1, 2, 3, ... ищем в виде:

R r r

r r 1

n2r

r r 1

n2r

r 2 n2 0 2 n2 n, n 1, 2,

3, ...

r n

D r n

, n 1, 2,

3, ...

0 r

r R r

r R r 0 r R r D const R r

R r D ln r C

Частные решения уравнения (1):

r, Rn r n

n 1, 2, 3, ... :

r n D r n A cos n B sin n

Так как функция

должна быть непрерывна в точке r 0 , то

0 .

Un r,

следовательно, D0 0 .

Аналогично U0 r, непрерывна в точке r 0 ,

r, r n

C A cos n C B sin n

n 1, 2, 3, ...

(*)

r n A cos n B sin n ,

n n

r, C0 1 C0

(**)

Таким образом,

функции

r, ,

n 0, 1, 2, ...

– частные решения уравнения

(1).

				~			0, n 1,		2, 3, ...
В	точке r 0 полагаем,		что	~	r, limUn					(в
В	точке r 0 полагаем,		что	Un	r, limUn	r,		n	0	(в
					r 0		C ,	n	0
~					~		0
~					~	эти решения дают при
U	r, C r 0 ). Заметим, что формально Un r,					эти решения дают при
то есть выражения () и (*) включают в себя решения при r 0 .
Составим формальный ряд:
	~	обозн.			n ~	~	sin n
	U r,		C0 r		An cos n Bn		sin n

n 1

силу

r 0 ,

Если этот ряд сходится и его можно почленно дифференцировать 2
раза по и 2			~	r, является решением уравнения
		раза по r , то сумма ряда U
(1) (как сумма частных решений).
		~	r, в граничное условие (2):
Подставим функцию U
	n ~	~	~
C0 r
	An cos n Bn sin n g ,

n 1

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

44 | С т р а н и ц а

и sin n вычисляются по

Коэффициенты ряда Фурье функции g по cos n

формулам:

cos n d ,

n 1,

3, ...

sin n d ,

n 1,

3, ...

U r,

n cos n n sin n

(3)

n 1

Докажем, что:

Ряд (3) сходится в

;

Сумма ряда U С ;

Ряд (3) можно почленно дифференцировать в два раза по r

и два

раза по ;

2 ~

Функции

U ,

U C .

r 2

Докажем пункты 1 и 2.

Докажем,что (3) сходится равномерно в

cos n

sin n

U n

r a

Так

как

ряд

g С

, , g 2 периодическая,

g 0 , то

сходится.Следовательно,ряд (3) сходится равномерно в

n 1

Следовательно:

1) Ряд (3) сходится в

;

2) Так как,кроме того

r, С ,то сумма ряда (3) U С .

Докажем пункты 3 и 4.

2 ~

Для этого сначала докажем, что ряды

сходятся равномерно

n 1

на каждом множестве 0 r r0 , , 0 r0

a .

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

45 | С т р а н и ц а

n n cos n n sin n

cos n

2 2M

ограничено

Аналогично

2M .

4Mn2

r 0; r , ;

Рассматриваем числовой ряд 4Mn2

. По признаку Коши:

n 1

числовой

ряд

сходится.

Следовательно,

ряд

lim n

4Mn

n 1

0 r r0 , .

сходится равномерно на

n 2

2 ~

n n

n cos n n sin n Аналог ично

сходится

n 1

равномерно на 0 r r0 , .

r*, .

Рассмотрим

произвольную

точку

Следовательно,

2 ~

0 r* a r0

a : 0 r* r0 , .

Следовательно,

ряды

n 1

сходятся равномерно на множестве 0 r r0 , . Следовательно,

ряд

(3) можно почленно дифференцировать на

0 r r0 ,

два раза по r

два раза по . Так как r

, принадлежит этому множеству, то

n 1

в точке r* , .

n 1

Так как

– произвольная точка

, то равенства

n 1

справедливы во всей области .

n 1

2 ~

Так

как

функции

C и

ряды

сходятся

n 1

0 r r0

равномерно

окрестности

(для

некоторой

r0 a )

для

2 ~

любой точки из , следовательно,

, U

непрерывны в этой окрестности

2 ~

C в каждой точке .

для любой точки из .Следовательно,

U ,

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

46 | С т р а н и ц а

Лекция № 12.

ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ.

Пусть D R3

– ограниченная область и – граница D .

Определение 1.

Функцией

Грина

задачи

Дирихле для

оператора

Лапласа

в области

называется

функция вида

G M , M 0

g M , M 0 ,

где M

–

M 0

произвольная точка из D , M 0 – произвольная фиксированная точка из D ,

функция

непрерывна

по

переменной M

вместе

с частными

производными первого порядка (для каждой фиксированной M 0 ), g – гармоническая в D (по переменной M ) и G(M , M0 ) 0 при M .

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА.

Пусть U C1 D C2 D , тогда справедлива основная интегральная формула Грина:

U M0

Udxdydz M0 D (1)

M M

Пусть V C1

, V – гармоническая в D . Тогда по II-ой формуле Грина:

U V

U d

V U dxdydz

гармоническая

(2)

d V Udxdydz

Складываем равенства (1) и (2):

U M0

V d

M M 0

M M0

M M

Udxdydz

(3)

Пусть G M , M0 – функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в области D , тогда:

G M , M 0 4 M1 M 0 g M , M 0

Предположим, что существует n G на . Полагаем в (3) V M g M , M0 :

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

47 | С т р а н и ц а

U M 0

g M , M0

M M0

M M

Udxdydz

4 M M

M , M0

U M

G M , M

Udxdydz

G M , M 0 0, M

U M0

G M , M0 d G M , M0 Udxdydz

(4)

Рассмотрим задачу Дирихле:

U f в D

(5)

на

Из формулы (4) получаем представление решения задачи Дирихле (5) с помощью функции Грина:

U M0

G M , M0 d G M , M0 f M dxdydz, M0 D (6)

Если U – решение задачи Дирихле:

U 0 в D

на

то из (6) получаем:

U M0

G M , M

0 d , M

0 D

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

48 | С т р а н и ц а

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пусть функции U,V C1 D C2 D , тогда по I-ой формуле Грина:

V Udxdydz V

U d V , U dxdydz

(7)

Если, кроме того, функция U – гармоническая в D , то формула (7) имеет вид:

U d V , U dxdydz

(8)

(8) – вид I-ой формулы Грина для гармонической функции.

Докажем следующие свойства гармонической функции U :

Если U

0 , то U 0 в

;

Если

0 , то U const в

;

3. U d 0, U C1

Докажем 2-ое свойство.

Полагаем в (8) V U ,тогда:

dxdydz 0

(9)

U , U dxdydz

0		, следовательно,
Так как U C1				подынтегральная
Так как U C1	D			подынтегральная
			U 2		U 2		U 2	0 в
			U 2		U 2		U 2
непрерывна в D .Следовательно,
		x				z
		x			y	z

функция в (9)

D .Следовательно,

U 2

0 в D .

Докажем 1-ое свойство.

Так как U

Г 0

на , то U

U d 0 . Следовательно, справедливо равенство

(9).

Следовательно,

U const в

, причём U – непрерывна в

Следовательно:

Г 0 U 0

Докажем 3-е свойство.

Положим в (8) V 1 ,тогда:

U d

1 , U dxdydz U d 0

Следствие.

Свойства 3.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

49 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб71Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб385Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc