Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Краевая задача для уравнений теплопроводности состоит в том, чтобы найти решения уравнения теплопроводности в области , удовлетворяющие начальному и граничным условиям.

Начальное условие состоит в том, что задано распределение температуры в начальный момент времени в заданном теле:

U t t0 x

Обычно полагают t0 0 .

Граничное условие означает, что задано тепловое взаимодействие между поверхностью тела и окружающей средой.

Граничные условия бывают разных типов. Будем рассматривать только два типа:

1.Граничные условия I типа (рода) – на поверхности тела задано распределение температуры:

U S h P,t , P S

Если на всей поверхности задано только граничное условие I типа, то такая задача называется I-ой краевой задачей.

2.Граничные условия II типа (рода) – на поверхности тела задан тепловой поток:

U		P,t , P S

n
		S

Если на всей поверхности задано только граничное условие II типа, то такая задача называется II-ой краевой задачей.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

10 | С т р а н и ц а

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ.

Обозначим 0,l 0,T , где l – длина стержня, T – время.

Первая краевая задача:

2 f , 0

x l, 0 t T

x , 0 x l

t 0

x 0 h1 t , U

x l h2 t , 0 t T

Вторая краевая задача:

2 f , 0

x l, 0 t T

x , 0 x l

t 0

1 t , U

2 t , 0 t T

x 0

x l

Определение 1.

Решением I-ой краевой задачи (1), (2), (3) называется функция

U C2,1 C , удовлетворяющая уравнению (1), начальному условию (2) и граничным условиям (3).

Определение 2.

Решением II-ой краевой задачи (1), (2), (4) называется функция

U C2,1 C1 , удовлетворяющая уравнению (1), начальному условию (2) и граничным условиям (4).

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

11 | С т р а н и ц а

Лекция № 4.

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. МЕТОД ФУРЬЕ.

Рассматриваем первую краевую задачу: требуется найти функцию U C2,1 C , 0 x l, 0 t T , удовлетворяющую уравнению:

, 0 x l,

0 t T ,

(1)

начальному условию:

x ,

0 x l

(2)

t 0

и граничным условиям I рода:

0, U

x l 0,

0 t T

(3)

x 0

Предполагаем, что С2 0,l , 0 l 0 .

Решаем задачу методом Фурье, то есть ищем решение в виде:

U x,t X x T t

(4)

4 1 : X x T t a2 X x T t , 0 x l, 0 t T

: X x T t a2 0

T t

x l

, 0 x l, 0

t T

x X x , 0

X x

t a2T t , 0

t T

a T t

X 0 T t 0, 0 t T

4 3 :

0, 0 t T

X l T

T t 0 t 0,T

X 0

X l 0

sin

nx ,

n N

X x X x , 0 x l

X l 0

n 2

X 0

, n N

na 2

T t a2T t dTn a2dt T t C e

Функции вида:

U		x,t X		x T t C		sin	nx	e
	n		n		n
				n
							l

na 2 tl

являются частными решениями уравнения (1), граничным условиям (3).

Составим формальный ряд:

			nx	na 2
						t
U x,t Un x,t Cn					l
		sin		e
n 1	n 1		l

удовлетворяющими

(5)

Если ряд (5) сходится в и его можно дифференцировать в один раз по t и два раза по x, то этот ряд является решением уравнения (1) (как сумма частных решений) и удовлетворяет граничным условиям (3).

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

12 | С т р а н и ц а

Подставим ряд (5) (формально) в начальное условие (2). Тогда получаем:

			nx		2 l		nx

U	t 0 Cn	sin		x Сn		x sin	dx	(6)

	n 1		l		l	0	l

ряд Фурье

Таким образом, ряд (5), где коэффициенты Cn вычисляются по

формуле (6), является формальным решением задачи (1) – (3). Докажем, что:

1.Ряд (5) сходится в ;

2.Сумма ряда U x,t непрерывна в ;

3.Ряд (5) можно почленно дифференцировать в один раз по t и два раза по x;

4. Функции

и 2U

непрерывны в .

Докажем пункты 1 и 2.

Докажем,что (5) сходится равномерно в

Un x,t

x,t

sin

Так как С2 0,l , 0 l 0 , то из теории рядов Фурье следует, что ряд,

составленный

из

модулей

коэффициентов

ряда Фурье

, сходится.

Следовательно,функциональный ряд Un x, t

сходится равномерно в

n 1

Следовательно:

1)Ряд (5) сходится к функции U x,t в ;

2)Так как ряд (5) сходится равномерно, а члены ряда Un x,t C , то

сумма ряда (5) U x,t непрерывна в	.	t

Докажем пункты 3 и 4.		T

Для этого сначала докажем, что ряды n

n 1 t

сходятся

равномерно

каждой

Ut0

x,t | 0 x l,

0 t0

t T (см.рисунок).

Сn

sin

и x2n

n 1

области t0

Сn

sin

Сn

, t t0

n a 2

x С2 0,l x С1 0,l x ограничена на отрезке,то есть:

M : x M , x 0,l

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

13 | С т р а н и ц а

Тогда

Unt

2 l

sin

na 2

, n

2Ml 2M , n N .

Аналогично:

2Un

Сn

sin

na 2

, n N

Рассмотрим числовой ряд:

Kn2e

n 1

na	2
	t0	, K const 0	(7)
l		, K const 0	(7)
l

Исследуем ряд (7) на сходимость по признаку Коши:

		na	2
n			t0
lim	Kn2e	l
n

	a	2
		nt0	0
lim e	l		0
n

Следовательно, числовой ряд (7) сходится. А значит, функциональные ряды

сходятся равномерно в Ut0 .

n 1

Фиксируем произвольную точку x,t t 0 t0 : t t0 0 .

Ряды

сходятся равномерно в Ut0

, где Ut0

– окрестность

n 1

точки x,t . Тогда ряд (5) можно почленно дифференцировать в Ut

один раз

по t и два раза по x. Следовательно, ряд (5) можно почленно дифференцировать один раз по t и два раза по x в точке x,t Ut0 .Так как x,t

– произвольная точка , то ряд (5) можно почленно дифференцировать один раз по t и два раза по x во всей области .

	U			U
				2
Так как ряды		n	и		n	сходятся равномерно в некоторой
Так как ряды	t		и	x	2	сходятся равномерно в некоторой
n 1	t		n 1	x
n 1			n 1

окрестности	U	t0	каждой точки x,t и функции	Un ,	2Un
		t0		t	x2

непрерывны в ,то и U , 2U непрерывны в .

t x2

для всех n

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

14 | С т р а н и ц а

Лекция № 5.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Обозначим 0,l 0,T .

Теорема 1.

Пусть функция U x,t C удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности:

U a2 2Ut x2

Тогда U x,t достигает свои максимальные и

минимальные в значения в начальный момент времени (при t 0 ) или на границе стержня ( x 0 или

x l ).

t T

Пояснение:

Если в стержне нет внутренних источников тепла, то температура в стержне не может быть больше, чем в начальный момент времени или на границе стержня.

Так как U x,t C , – компакт, то функция действительно достигает

свои максимальное и минимальное значения в

Обозначим

Г x 0,

0 t T t 0,

0 x l x l, 0 t T .

Так как

U x,t C

, Г

и Г – компакт. Следовательно, функция U x,t

достигает

своё максимальное на Г значение.

Обозначим M max U x,t

и докажем от противного: предположим, что

максимальное значение

достигается

точке

x0 ,t0 ,

причём

U x0 ,t0 M , 0 .

Докажем,что

U x ,t

0 .

Рассмотрим функцию U x,t0 ,

0 x l . Тогда U x,t0 достигает максимума

в точке x x0 ,причём 0 x0

l ,тогда по теореме Ферма

U x,t

x x0

U x,t

Предположим,

что

x, t

0 .

Тогда

функция

имеет

x x0

минимум в точке x x0 ,что противоречит тому,что U x0 ,t0 – максимум.

2U x,t

0 2U x ,t

x x0

0 0

U x0 ,t ,

Аналогично

рассмотрим

функцию

0 t T ,

которая

достигает

максимума при t t0 , 0 t0 T .Тогда:

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

15 | С т р а н и ц а

1) 0 t0 T . По теореме о необходимом условии экстремума:

U x

t t0

2) t0 T ,тогда в некоторой окрестности точки t0 :

U x0

,t U x0 , t0

U x0 , t0 U x0 , t

x0 , t

lim

U x0 , t0

U x0 , t

x0 , t

x0 , t0

t t0

Заметим, что при доказательстве неравенств

2U x ,t

x2 0 0

использовали, что U ,

2U ,

U x,t

достигает максимального в

значения

во внутренней точке области .

Рассмотрим функцию

V x,t U x,t k t0

t ,

k 0 выбирается так,

что

0 k

.Функция V x,t C

U x, 0 k t0 M kT M

t 0

U 0, t

k t0

t M kT M

VГ

x 0

U l, t k t0 t M kT M

x l

V x0 ,t0 U x0 ,t0 0 M

Так как V x,t C

, то V достигает максимума в

, причём в силу (1) и

(2) V достигает максимального в

значения в некоторой точке x1,t1 .

Кроме того,

x ,t ,

2V x ,t .Значит

x ,t

0, 2V x ,t 0 .

1 1

x2 1 1

Выразим U через V:

U x,t

V x,t k t t0

U x ,t V x , t k 0

1 1

x ,t a2

x ,t 0

1 1

U x ,t

x ,t

1 1

U x,t не удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в точкеx1,t1 . Получили противоречие. Следовательно, значение функции U x,t в

не может быть больше,чем её значения на Г.

Утверждение теоремы о минимальном значении доказывается аналогично.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

16 | С т р а н и ц а

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА.

Рассмотрим I краевую задачу:

x,t

, 0

x l, 0 t T

x , 0 x l

t 0

x 0 1 t , U

x l 2 t , 0 t T

Предположим,

что

f , , 1,

непрерывны

на своих

множествах

1 0 0 , 2 0 0 .

Теорема 2.

Теорема единственности.

Пусть U x,t , U

x,t C

C2,1 решения задачи (1), (2), (3), тогда U U

Рассматриваем функцию V x,t U

x,t

x,t ,

V C

C2,1 .

f x,t f x,t 0

то

есть V удовлетворяет однородному

уравнению

теплопроводности в . Тогда

из принципа максимума следует, что V

достигает максимального и минимального в

значений на Г.

t 0 U1

t 0 U2

t 0 x x 0

t t

0 max V min V 0

x 0

2 t 2 t 0

x l

min V V x,t max V V x,t 0 U1 U2

Единственность доказана.

Теорема 3.

Пусть функции U1 x,t ,

U2 x,t непрерывны в

удовлетворяют однородному

уравнению

теплопроводности

U1 x,t U2 x,t x,t Г , тогда

U1 x,t U2 x,t x,t

Рассматриваем

функцию

V x,t U2 x,t U1 x,t ,

V C

Следовательно,

V x,t удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. Тогда по

принципу максимума функция V x,t достигает минимального в значения на Г:

V x,t min V x,t

		Г
Если x,t Г V x,t U2 x,t U1		x,t 0 min V x,t 0 V x,t 0	x,t
Если x,t Г V x,t U2 x,t U1		x,t 0 min V x,t 0 V x,t 0	x,t
		Г
U1 x,t U2 x,t x,t	.
U1 x,t U2 x,t x,t	.

Захаров Антон, А-13-08 \| http://a1308.ru			17 \| С т р а н и ц а

Теорема 4.

Пусть функции U1 x,t , U2 x,t , U3 x,t непрерывны в , удовлетворяют в

однородному уравнению теплопроводности

и выполнено

неравенство

U1 x,t U2 x,t U3 x,t x,t Г , тогда U1 x,t U2 x,t U3 x,t x,t

Следует из теоремы 3.

Теорема 5.

Пусть U x,t С

, удовлетворяет

однородному

уравнению

теплопроводности и

U x,t

x,t Г

const,

0 , тогда

U x,t

x,t

Рассмотрим функции , U x,t , .Заметим,что все они непрерывны в и

все удовлетворяют в однородному уравнению теплопроводности. Кроме того,по условию:

U x,t x,t Г

Всилу теоремы 4 неравенство выполняется и в : U x,t x,t .

Теорема 6.

Устойчивость решений I краевой задачи.

Решение I краевой задачи (1), (2), (3) (из класса C C2,1 ) устойчиво.

Фиксируем 0 .

Пусть U x,t C

C2,1

– решение задачи (1), (2), (3), а U * x,t C

C2,1

– решение задачи:

2U *

, 0 x l, 0 t T

U *

* x , 0 x l

t 0

* t , U *

t , 0 t T

U *

x 0

x l

Пусть

* x x

, x 0;l и

i* t i

i 1,2,

t 0;T .

Рассмотрим V x,t U x,t U * x,t .

V x,t C

C2,1 и удовлетворяет в

однородному уравнению

теплопроводности (по теореме 2).

V x,0

U x,0 U * x,0

* x

x 0;l

V 0, t

U 0, t U * 0, t

0, t * 0, t

V x, t

x, t Г

t 0;T

V l, t

U l, t U * l, t

2 l, t 2* l, t

t 0;T

По теореме 5 получаем:

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

18 | С т р а н и ц а

V x,t

x, t

U x, t U * x, t

x, t

: если

x * x

, i 1,2

U x, t U * x, t

x,t

А это и означает,что решение устойчиво.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

19 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб71Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб385Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc