Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Лекции (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Лекция № 10.

J y F x, y x

, y x , y x ,..., y n x dx,

n 1

y C n a, b

J y

, h

F h F h

... F n

h n dx 0

J y

, h 0 h C n a, b h C

a, b

k 0

J y , h

x, y

... 1

, y

, y ,..., y

hdx

y n

h n 1

h n 2

F h F

F h F h

F h

h ... F

n 1

n 2

n 1

... F

a, b

h C

y k 1

y k 2

y n

k 0

h a h a ... h n 1 a 0

n 1

Возьмём h : h b 1

Fy k 1

h b ... h n 1 b 0

k 0

x b

h a h a

... h

n 1

a 0

n 2

Возьмём h : h

b 1

F k 2

h b h b

... h n 1 b 0

k 0

x b

...

h a h a

... h

n 1

a 0

n 1

b 1

Возьмём h : h

F n

h b ... h n 2 b 0

x b

10.1

	d	n 1				b
n 1	d			F

					h
... 1			n 1		h
	dx		n 1	y n
	dx					a
						a

Аналогично для x = a.

Получаем систему естественных граничных условий.

n 1

n 2

0, ...,

k 1

k 2

x b

k 0

x b

k 0

x b

n 1

n 2

0, ...,

x a

k 0

x a

k 0

x a

Решение задачи (10.1), (10.2) – экстремаль задачи J y extr .

y0 C2n a, b

(10.2)

50 | С т р а н и ц а

МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА.

J y min, y M

J y max J y min

Определение 11.1.

Множество M Y называется выпуклым, если y1 1 y2 M y1, y2 M , 0,1

Определение 11.2.

Функционал J, определённый на выпуклом множестве М, называется выпуклым, если

J y	1 y	J y	1 J y	M y	, y	M , 0,1	11.1
1	2	1	2	1	2

Теорема 11.1.

Всякая точка локального минимума выпуклого функционала на множестве M является точкой его глобального минимума на M.

Пусть y0 M – точка локального минимума функционала J на множестве М, т.

е.	U y0 : J y0 J y y U .
Предположим, что y1 M : J y1 J y0
y	y1 1 y0 , 0 1
y	y	0
	0

y U 0, 0

J y J y1 1 y0 J y1 1 J y0 J y0 противоречие с тем, что y0 M – точка локального минимума.

51 | С т р а н и ц а

Теорема 11.2.

Пусть J – выпуклый функционал, заданный на выпуклом множестве точке y0 M первую вариацию, тогда справедливо неравенство

J y J y	J y	, y y	y M
0	0	0

M и J имеет в

11.2

J y 1 y	J y 1 J y
0	0

	y y0
0,1 J y0	y y0		J y

		h

	J y	, y y
	0	0

J y

J y	0

Теорема 11.3.

Пусть J – выпуклый функционал, заданный на выпуклом множестве

точке

y0 M

первую вариацию

J y0 , h допустимого h, тогда

локального минимума функционала J на множестве М.

M и

y	0

J имеет в

– точка

J y J y0			J y J y0 y M y0
J y J y0	J y0	, y y0	J y J y0 y M y0

		h

		0

локальный минимум.

Рассмотрим случай квадратичного функционала

J y

p x y x

q x y

x dx

f x y x dx

p, q, f

C a,b ,

p x p

q x

J y

p x y 1

q x y

1 y

f x y

1 y

y2 1 y2

1 y2

J y

1 J y

– решение задачи.

qy f

J y0 , h 0

h y0

– точка минимума.

y b 0

y a 0,

52 | С т р а н и ц а

Лекция № 11.

b			b
J y F x, y, y dx			F x, y, z dx
a			a
Определение 11.3.
Функция	F	называется		выпуклой по			паре		аргументов
F x,y 1 y		,z	1 z	F x, y	, z	1 F x, y		, z	x a, b y	,
1	2	1	2	1	1		2	2	1

	y, z
y	2	, z	,
	2	1

,
z	2

если

0,1

Утверждение 11.1.

y, z , то простейший

Если функция F выпукла по паре аргументов

вариационного исчисления является выпуклым.

J y

1 y

F x,y

1 y

,y 1 y dx

F x, y

, y 1 F

0,1 y , y

F x, y

, y dx 1

F x, y

, y dx J y 1 J y

Утверждение 11.2.

, то F выпукла по паре аргументов y, z .

Если

Fyy 0,

Fyy Fzz

Fyz

функционал

x, y		, y	dx
	2	2
1	a,b
1

53 | С т р а н и ц а

ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА В ТЕРМИНАХ ВТОРОЙ

ВАРИАЦИИ. УСЛОВИЕ ЛЕЖАНДРА.

Определение 12.1.

Пусть для всех

h Y

существует

d	2

dt		2

J y	0	th
	0

t 0

, тогда эта величина называется

второй вариацией функционала

равному h) и обозначается	2	J y
	2

J в

0	, h

точке

y	0

(отвечающей приращению аргумента

	t J y					0	th
						0
	0 J y							, h
	0						0		, h
	0				2	J y			, h
					2
								0																			0			0
	1 J y						h 0 0 1													2							0			0			, 0
	1 J y					0	h 0 0 1									2		1 0 0									2				2		, 0
						0

J	y			h			J y			J y			, h	1	2	J y		, h			1		2	J y		h, h			2	J y	, h .
															2								2						2
			0						0			0		2			0				2				0					0
														2							2
Теорема 12.1.
(Необходимое условие экстремума)																												J y min
Пусть y0								–	точка локального минимума задачи																			J y min				. Если
Пусть y0								–	точка локального минимума задачи																							. Если
																												y M
существует вторая вариация функционала J, то вторая вариация
допустимого h.
h допустимо												0 : y0			th M t ,
y	0	min
	0
J	y		0	th		J y					t 0
			0						0
t 0 локальный																			2	J y0		, h 0 .
t 0 локальный												min 0 0								J y0		, h 0 .

	в точке		y0
2	J y	, h 0
2
	0

Замечание.

Если y0 – точка локального максимума, то

2	J y	, h 0
2
	0

допустимого h.

F C 2 a, b R2 ,

y Y C1 a, b

J y F x, y, y dx,

t J y

th b F x, y

th, y th dx

F x, y

th, y th h F x, y

th, y th h dx

x, y

th, y th h2 2F

x, y

th, y

th hh F

x, y

th, y

th h 2 dx

y y

54 | С т р а н и ц а

J y

, h

F x, y

, y h

2F x, y

, y hh F

x, y

, y h

y y

P x F

x, y

x , y

y y

R x F

x, y

x , y x

S x F x, y

, y

J y0

, h

P h

2Rhh

Теорема 12.2.

Пусть

y	0

– точка локального минимума функционала J y F x, y, y dx в задаче с

закреплёнными концами и в задаче со свободными концами, условие Лежандра P x 0 x a,b .

Из предыдущей теоремы								J y0 , h 0	O
Из предыдущей теоремы							2	J y0 , h 0	допустимого h. h C	1
							2			1
	1
	1
	1 t		2			1
			2

t				,	t
e				,	t
		t		1

0,

тогда справедливо

a, b h C		a, b .
	0

h	x x
	x	0

Достаточно доказать, что P x 0 x a, b Предположим противное, т. е. x0 a,b : P x0 0.

						x					x x				2	1							x	x x					x x				1		x			x x		2
			0	, h		0											2						0	R x											0
0			0														2			dx 2														dx						dx
0			J y					P x												dx 2														dx		S x				dx
		2										0														0						0							0
						x																	x												x
						0																	0												0
			x x			1	P x						dt					1		R x		t t t				dt		1	S x
			x x									2	dt		2											dt								2	dt
	t			0					t t					2	2																	t t			dt
				0				0						2						0										0
						1												1									1
						1												1									1
0, P x					t t					dt	P x						1		P x		t t				dt					1	R x		t t t				dt
										dt															dt	,											dt	0
																										,												0
				0					2				0							0				2								0
																1														1
																1														1

Получили противоречие.

55 | С т р а н и ц а

КЛАССИЧЕСКИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА.

J y			b			x, y, y dx min
J y		F				x, y, y dx min
			a
y a y				a
y b y				a
y b y
				b
Пусть				y0		– экстремаль задачи.
	d		F		x, y		, y	F x, y		, y	0
			F		x, y		, y	F x, y		, y	0
	dx		y			0	0	y	0	0
	dx
y a y						,	y b y
					a			b

Пусть удовлетворяет усиленному условию Лежандра.

F x, y

, y F x, y

, y

y a y

y b y

P x F

x, y

x , y x 0 x a,b

y y

J y

, h

P h

dx,

x, y

, y

Q S R

F C

a,b R

Уравнение Якоби:

QU 0

56 | С т р а н и ц а

Лекция № 12.

УСИЛЕННОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ.

J y F

x, y, y dx min

y a

y b y

a,b экстремаль задачи (13.1), (13.2).

F F

y a

y b y

P x F

x, y

x , y

x 0 на a, b

y y

, h

P h

dx, h C

a, b

J y

Q x

, y

x, y

QU 0

U x C U

x C U x

a 0, U

a 1

Выберем

U0 x и U0 x такими, что

a 1, U a 0

13.113.2

13.313.4

Уравнение Якоби 13.5

Тогда U0 a 0 C2 0 U x C2U0 x .

Определение 13.1.

Точка x* a называется сопряжённой к точке а, если U0 x* 0

Усиленное условие Якоби. (Формулировка 1)

Полуотрезок a;b	не содержит сопряжённых с а точек.
(Формулировка 2)
Краевая задача

U	x 0 x a, x .
0	*

57 | С т р а н и ц а

		d	dU
		P	QU 0
		dx	dx
		dx	dx

	U a 0, U x 0
			*
для всех x* a;b имеет только тривиальное решение U 0 .
Замечание.
Если	Q x 0 на a, b , то усиленное условие Якоби выполнено.
Предположим противное.
x* – сопряжённая точка, тогда U x – решение задачи (13.6).
1)	Из принципа максимума следует, что U x 0 .

13.6

по частям

P dU

QU Udx 0

dx 0

0 U x

a 0

Теорема 13.1. (О достаточных Пусть y0 C1 a, b

условиях минимума)– экстремаль задачи

(13.1), (13.2). Пусть выполнены усиленные

условия Лежандра и Якоби. Тогда задачи (13.1), (13.2).

y	0

является точкой локального минимума

Лемма 13.1.

a,b решение уравнения Якоби, если выполнены

Существует положительное на

условия теоремы 13.1.

Рассмотрим U x U0 x U1

x , 0 –

решение уравнения Якоби, т. к. U0 x и

U1 x – решения.

a 1 U

на a, c a, b

U x U1 x

0 на a, c

U1 x C0 x a, b U x U0 x C0 min U

0 x C0

c,b

обозн.

minU0 x 0

c,b

2C1

U x 0 на a,b .

2C0

58 | С т р а н и ц а

Лемма 13.2.

Существует положительное на

a, b

решение модифицированного уравнения

Якоби, если выполнены условия теоремы 13.1 и 0						1	,	достаточно мало.
Якоби, если выполнены условия теоремы 13.1 и 0						2	,	достаточно мало.
						2
	d	dU	Q	U	0
	P			U	0
			1
	dx	dx	1

U – решение модифицированного уравнения Якоби.

U x 0	на a,b – решение уравнения Якоби	d		dU	QU 0	* .
			P

		dx		dx

13.7

Рассмотрим функцию

U , которая является

уравнения (13.7) с начальными условиями U a U

решением

a , U a U

задачи Коши для

a .

Пусть	z x U x U x .
13.7 *		d	dz		Q	z	Q	U 0
13.7 *		P				z		U 0
z a 0,		dx	dx	1			1

	z a 0 z является решением задачи Коши.

Перейдём от дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений.

U 2

a 0

z a 0

Рассмотрим функцию

d	C3 C4	2


dx

a 0

d	2	z	2
		z

dx

	x z
2

2Q	z	2	z 2	Q	U C	z C

1		p		1	1	2

x .

Неравенство Гронуола.

59 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб18Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf