Лекции (2)
.pdfЗамечание.
Для всякой функции
f
C 0, l
ряд (5.4) сходится в среднем
|
|
|
|
2 |
l |
|
N |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x dx 0 |
|||||
f |
|
|
|
|
|
|||||
c |
k |
|
f x |
c |
x |
|||||
|
k |
|
|
|
k |
k |
|
N |
||
|
k 1 |
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
Свойство 5.5. |
|
|
|
|||||
Пусть |
q 0 , |
тогда в случае |
||||||
имеем |
n 0 |
|
n 1. |
|
|
|||
Умножим равенство |
L n |
|||||||
l |
n |
|
l |
|
n |
n |
0 |
n |
|
dx |
|
|
|||||
|
p |
|
q |
dx p 0 |
|
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
краевых условий типа I, II, III, IV из теоремы
n n |
на n |
и проинтегрируем результат по x: |
||||||||||||
0 p l l |
|
l |
|
dx |
|
|
|
|
l |
p |
dx |
l |
q |
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
2.1
2 |
dx 0 |
|
n |
||
|
20 | С т р а н и ц а
МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА. ФОРМУЛА КОШИ.
Определение 6.1.
Пусть А – квадратная матрица. Введём матричную экспоненту
|
|
|
t |
k |
|
|
e |
tA |
|
|
A |
k |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k 0 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Определение 6.2.
Сходимость ряда понимается как сходимость последовательности частичных
|
|
N |
t |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
сумм |
SN |
|
|
A |
k |
в пространстве матриц с нормой |
A sup |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
k |
n |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из неравенства |
Sn Sm |
|
t |
|
Ak |
|
t |
|
A k |
следует |
фундаментальность (а |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k m k! |
k m k! |
|
|
|
|
|
потому и сходимость) последовательности частичных сумм.
Замечание.
Обратим внимание на то, что сходимость в пространстве матриц в силу его конечномерности эквивалентна поэлементной сходимости.
Пример 6.1.
Пусть |
1 |
0 |
|
0 |
||
A |
|
|
, |
B |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
et |
0 |
|
1 |
t |
|||
. Тогда etA |
|
|
|
, |
etB |
|
. |
|
0 |
e |
2t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
Многие свойства матричной экспоненты аналогичны свойствам скалярной экспоненты. Например,
e |
0 A |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
t |
A |
e |
t |
A |
e |
t |
t |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Однако, необходима осторожность. Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
tA |
e |
tB |
e |
t A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
e |
t |
e |
2t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
t |
te |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t A B |
|
|
|
e |
|
|
tA tB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A B |
|
|
|
и e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Покажем, что |
d |
e |
tA |
Ae |
tA |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
e t t A |
etA |
|
|
|
e tA E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Действительно, |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
lim |
k 1 |
A |
e |
|
Ae |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tA |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
tA |
|
tA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
k 1 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, матрица Y t etA является решением задачи Коши |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
AY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
0 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно она является фундаментальной матрицей для системы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y' Ay . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда, в частности, следует, что матрица etA |
невырожденная. |
|
|
|
|
21 | С т р а н и ц а
Теорема 6.1.
Для решения задачи Коши
справедлива формула Коши
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
y' t |
Ay t |
f |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
0 |
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t t |
A |
t |
|
t S A |
|
S dS |
|
|
|
|
e |
||||||||
|
|
|
f |
||||||||
y t e |
0 |
|
y0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6.16.2
6.3
Ясно, что вектор-функция, определяемая формулой (6.3), удовлетворяет начальному условию (6.2). Покажем, что она удовлетворяет уравнению (6.1)
d |
|
|
d |
|
t t |
|
A |
|
d |
t |
t S A |
|
e |
|
|
e |
|||||||||
|
y t |
|
0 |
|
y0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
A |
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
t t |
|
|
t S A |
f S dS |
||||||
|
A e |
|
e |
|||||||||
0 |
y0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
A |
t |
t S A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f S dS |
Ae |
Ae |
f |
S dS f t |
|||||
0 |
y0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
f t Ay t f |
|
|
|
22 | С т р а н и ц а
РАЗРЕШИМОСТЬ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Рассмотрим краевую задачу
|
|
|
|
|
|
a t b |
|
|
|
|
|
|
|
||
y' t Ay t f t , |
|
||||||
|
|
|
, |
|
|
||
Ly a l |
a |
Ry b l |
b |
||||
|
|
|
|
|
|
y t y1 |
t ,..., ym t |
– искомая вектор-функция, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A m m , |
L na m , |
R nb m – заданные матрицы, |
||||||
|
C |
n |
, |
|
C |
n |
– заданные вектор-столбцы, |
|
la |
lb |
|||||||
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
C a, b |
– заданная вектор-функция. |
||||||
f |
Теорема 7.1.
Краевая задача (7.1), (7.2) однозначно разрешима при любых только тогда, когда:
1) na nb m
|
|
|
|
||
f , |
l |
a |
, |
l |
b |
|
|
|
|
7.17.2
тогда и
2) |
|
L |
|
0 |
|
det |
|
|
|
||
|
|
|
b a A |
|
|
|
R e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t a A |
t |
|
|
t S A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Общее решение системы (7.1) |
имеет вид |
|
|
|
|
e |
|
e |
f S dS . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y t |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lc l |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя эту функцию в краевые условия, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
b a A |
|
|
b S A |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R e |
c |
e |
f |
S dS |
lb |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Относительно вектора |
|
получилась |
|
|
система |
линейных |
|
алгебраических |
||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b a A |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R e |
|
|
|
|
|
e |
b S A |
f S |
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица системы имеет |
na nb |
строк и |
m |
|
|
столбцов. Для того, чтобы решение |
||||||||||||||||||||||||||||||
было единственно, необходимо, |
чтобы |
na nb |
m . |
В силу теоремы Кронекера- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Капелли условие совместности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
la |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rank |
|
|
b a A |
|
rank |
|
|
e |
b a A |
|
|
e |
b S A |
S dS |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R e |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
lb |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если na nb m , то, взяв |
t |
0 |
, за счёт выбора |
и |
|
|
всегда можно сделать |
|||||||||||||||||||||||||||||
f |
la |
lb |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ранг расширенной матрицы больше на единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условие 1) необходимо для однозначной разрешимости краевой задачи. Следовательно, мы имеем дело с системой линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Для такой системы однозначная
23 | С т р а н и ц а
разрешимость имеет место
2).
Пример 7.1. Рассмотрим задачу
y |
t py |
2 |
t |
f |
t |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
t py t f |
|
t |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
0 l |
, |
y |
2 |
1 l |
|
|
|||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
В рассматриваемом случае |
A |
|||||||||||
|
|
cos pt |
|
|
|
sin pt |
|
|||||
etA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
cos pt |
|
|
|||
|
|
sin pt |
|
|
|
|
|
тогда и только тогда, когда выполнено условие
0 |
p |
L 1 |
0 , |
R 0 |
1 . |
|
|
|
, |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
Эту формулу полезно получить, исходя или (другой способ), решая задачу Коши однозначной разрешимости имеет вид
из
YY
определения матричной экспоненты |
||
t AY |
. В силу теоремы 7.1 условие |
|
0 E |
||
|
|
L |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
det |
|
A |
det |
|
|
cos p 0 p |
2 |
k, |
k Z . |
R e |
|
sin p |
cos p |
|
|
|
Пример 7.2.
|
|
|
|
|
|
p |
|
Пусть |
a 0, |
b 1, |
A |
|
0 |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pt |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда e A 0 |
1 |
|
0 |
|
, |
||
|
|
0 |
0 |
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение |
p 2ch p 0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 . |
|
|
|
||||||
0 |
0 |
, |
L |
|
|
, R 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R e A e pt |
|
e pt , |
|
L |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
||||
p |
det |
det |
1 |
1 |
0 |
p 2ch p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R e |
|
|
|
e pt |
p |
e pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не имеет вещественных корней.
24 | С т р а н и ц а
Лекция № 5. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.
ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ. ЗАДАЧА ДИДОНЫ.
В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската брахистохроне (от греч. brachistos – кратчайший и chronos – время):
«Точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой следует соединить кривой, обладающей тем свойством, что материальная точка скатится из точки А в точку В за минимальное время».
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
mgy |
2gy |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
B |
|
|
2 |
|
|
|
T |
|
2gy |
dx |
|
|
||||
|
|
x |
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая кривая даёт минимум величине |
||||
удовлетворяющих условиям |
y xA 0, |
y xB H . |
T y
среди всех функций
y x
,
Экспериментальными задачами человек интересуется с античных времён. В Древней Греции уже давно (во всяком случае, до VI века до н. э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объём среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопифанной экстремальной задачи).
История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н. э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнём, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген.
Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющего заданную длину, при котором площадь участка максимальна. Если знать экстремальные свойства круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину.
25 | С т р а н и ц а
ФУНКЦИОНАЛЫ, СИЛЬНЫЙ И СЛАБЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА.
Определение 1.1.
Пусть Y – вещественное нормированное пространство. Функционалом называется
отображение |
J |
, ставящееся в соответствие каждому элементу |
y Y |
вещественное |
число J y . |
|
|
|
|
Функционал |
J |
может быть задан не на всём пространстве Y, |
а только на |
|
некотором его подмножестве M. |
|
|
В вариационном исчислении наиболее часто используются нормированные |
||||||||||||||||
пространства |
Y C a, b |
с нормой |
y |
|
|
max y x |
и |
Y C a, b |
с нормой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C a,b |
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
max y x max y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C |
x a,b |
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
J y |
b |
f x, y x dx, |
y C a,b |
|
|
|
1.1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a,b |
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
J y |
f x, y x , y x dx, y C |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы эти функционалы были определены корректно, достаточно
потребовать, чтобы для функционала (1.1) функция |
f x, y x |
была определена и |
||||||||||||||||||||||
непрерывна |
на a, b R , |
а для |
функционала (1.2) |
функция |
|
|
||||||||||||||||||
f x, y x , y x была |
||||||||||||||||||||||||
определена и непрерывна на |
a, b R R . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определение 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
y0 Y . Множество U y0 y Y |
| |
|
y y0 |
|
|
|
|
называется -окрестностью (или |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
просто окрестностью) точки |
y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C a, b |
|
|
|
|||
Если |
|
y C a, b , |
то |
-окрестностью |
|
|
точки |
y0 |
в |
является |
множество |
|||||||||||||
U y0 |
y С a, b | |
y y0 |
С a,b |
max y x y0 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
|
y C a, b , |
то |
|
|
|
|
|
|
точки |
y0 |
в |
C |
a, b |
является |
множество |
||||||||
|
-окрестностью |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
U y0 |
|
1 |
a,b |
| max y x y0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y С |
max y x y0 x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1.3.
Функционал l называется линейным, если
l 1 y1 2 y2 1l y1 2l y2 y1, y2 Y, 1, 2 R .
Определение 1.4.
Линейный функционал l называется ограниченным, если существует постоянная
С 0 : l y C y y Y .
26 | С т р а н и ц а
Пример 1.3.
Пусть |
a C a, b , тогда функционал |
ограниченным функционалом на C a,b .
b l y a x y x dx
a
является линейным
Пусть |
a, b C a,b , тогда функционал |
|
ограниченным функционалом на C |
a |
|
|
1 |
|
l ,
y b
b a x y x b x y x dx
a .
является линейным
Определение
Функционал
0 |
|
Замечание. Определение Функционал
0 |
|
1.5. |
|
|
|
|
J называется непрерывным в точке |
y0 |
, если |
||
0 : J y J y0 y Y : |
y y0 |
. |
|
|
непрерывности функционала можно сформулировать чуть иначе.
J называется непрерывным в точке |
y0 |
, если |
0 : J y0 h J y0 h Y : h . |
|
|
В вариационном исчислении приращение h независимой переменной y часто называют вариацией переменной y и обозначают y .
Определение 1.6. Если функционал
непрерывным.
J
непрерывен в каждой точке
y |
Y |
0 |
|
, то он называется
Предложение 1.1.
Всякий линейный ограниченный функционал является непрерывным.
Возьмём |
|
. Тогда h y0 |
h l y0 |
l h C h |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
Y |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 1.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функционал |
J , |
|
заданный |
|
в |
окрестности |
точки |
y0 |
Y , |
называется сильно |
||||||||||||
дифференцируемым (дифференцируемым по Фреше) в точке |
y0 , если существует |
|||||||||||||||||||||
линейный |
|
ограниченный |
функционал |
l : J y0 h J y0 l h h h Y , |
где |
|||||||||||||||||
h o h |
|
, |
т. е. |
y |
h |
0 . |
В |
этом |
случае |
функционал l |
называется |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Y |
|
|
|
|
h |
|
h |
Y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сильной производной функционала |
J |
в точке y0 |
и обозначается через |
|
||||||||||||||||||
J y0 . |
||||||||||||||||||||||
Величина |
|
|
|
|
|
h |
|
|
называется |
|
сильным |
дифференциалом |
или |
|||||||||
|
dJ y0 , h J |
y0 |
|
|
|
дифференциалом Фреше.
Пример 1.4.
Пусть p, q, f C a,b . Рассмотрим квадратичный функционал
27 | С т р а н и ц а
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
b |
J y |
p x y x |
q x y |
2 |
x dx f |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
J y h J y |
b |
|
|
|
|
|
Для него |
|
|
|
|
|
||||
|
p x y x h |
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
1b p x h x 2 q x h2 x dx l y h
2a
x x
y x dxq x y
, определённый на Y
bx h x dx f x h x dx
a
`1 |
a, |
C |
b
.
Таким |
образом, |
квадратичный |
функционал сильно |
дифференцируем, |
причём |
|||||||||||
dJ y0 , h |
b |
p x y x h x q x y x h x dx |
b |
f x h x dx . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Определение 1.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
для |
функционала |
J |
в |
точке |
y0 |
для |
всех |
h Y |
существует |
предел |
|||||
J y , h lim |
J y0 th J y0 |
, |
|
то |
он называется |
слабым дифференциалом или |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
t 0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциалом Гато. В вариационном исчислении слабый дифференциал часто называют первой вариацией функционала J .
Замечание 1.1.
Обратим внимание на то, что переменной t.
J y |
, h |
0 |
|
0
,
где
t J y |
th |
0 |
|
– функция
Слабый дифференциал (в отличие от сильного) может и не быть линейным по h.
Если же он |
линеен по h и J y0 , h l h , где l |
– линейный ограниченный |
|||
функционал, |
то функционал |
J |
называют |
слабо |
дифференцируемым |
(дифференцируемым по Гато) в точке |
y0 , а линейный функционал l называют |
||||
слабой производной (или производной Гато) и обозначают |
|
||||
J y0 . |
Теорема 1.1. |
|
|
Если функционал |
J |
дифференцируем в точке y0 Y по Фреше, |
дифференцируем в этой точке и по Гато, причём его слабая производная
совпадает с сильной производной |
|
. |
J y0 |
то он
J |
y |
|
|
0 |
|
Пусть Тогда J
J |
y |
|
|
0 |
|
y |
, h |
|
0 |
|
|
h J y |
|
|
0 |
|
J y |
lim |
0 |
|
|
t 0 |
|
l h h |
||
th J y |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
h Y , где |
|
||
|
|
th |
|
lim l h |
|
|
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
h |
||
|
l |
|
|
||
|
||
|
|
o h |
Y |
. |
|
|
|
h . |
Определение 1.9.
Говорят, что функционал J имеет в точке y0 локальный минимум (максимум), если существует окрестность U y0 : J y0 J y J y0 J y y U .
28 | С т р а н и ц а
Определение 1.10. |
|
|
|
|
|
Локальный |
минимум |
(максимум) |
называется |
строгим, |
если |
J y0 J y J y0 J y y U, |
y y0 . |
|
|
|
Определение 1.11.
Точки, в которых J имеет локальный минимум или максимум называются точками локального экстремума.
Определение 1.12. |
|
|
|
|
|
|
Говорят, что функционал J |
имеет в точке |
y0 глобальный минимум (максимум), |
||||
если существует окрестность |
J y0 J y J y0 J y y Y . |
|
|
|||
Определение 1.13. |
|
|
|
|
|
|
Глобальный |
минимум |
(максимум) |
называется |
строгим, |
если |
|
J y0 J y J y0 J y y Y , |
y y0 . |
|
|
|
||
Определение 1.14. |
|
|
|
|
|
|
Точки, в которых J |
имеет |
глобальный |
минимум или |
максимум называются |
точками глобального экстремума.
Сформулируем основные условия экстремума.
Теорема 1.2.
(Необходимое условие экстремума)
Пусть функционал |
J |
определён в некоторой окрестности точки |
y |
0 |
|
и имеет в ней
локальный экстремум. Если в точке J , то она равна нулю, т. е. J y0 , h 0
y0 существует первая вариация функционала
h Y .
Рассмотрим функцию t J y0 th . Ясно, имеет локальный экстремум. Следовательно
что в точке
0 J y |
, h 0 |
0 |
|
t 0
.
эта функция
Следствие 1.1.
Если функционал J слабо дифференцируем в точке
экстремум, то |
|
0 . |
J y0 |
y |
0 |
|
и имеет в ней локальный
Рассмотрим задачу о поиске экстремума функционала при дополнительном ограничении y M (то есть задачу о поиске условного экстремума). Здесь M Y и
ставится задача о минимизации min J y .
y M
Определение 1.15.
Говорят, что функционал J имеет в точке y0 M локальный минимум (максимум) при условии y M , если U y0 : J y0 J y J y0 J y y M U .
29 | С т р а н и ц а