Решение:
Множество A конечно и задано перечислением своих элементов, множество B задано характеристическим свойством. Запишем несколько первых элементов множества B = {4, 8, 12, ...}. Видно, что AB={4} и | AB | = 1, т.е множество AB конечно. Покажем, что множество AB = {0, 2, 4, 8, 12, ...} счетно.
Занумеруем его элементы:
Задана
биекция множества N
на
множество AB, следовательно, AB счетно
и | AB |=
.
По определению декартова произведения AB = {(a, b)| aA, bB}.
Запишем элементы этого множества в виде матрицы (рис. 6.) и занумеруем их по столбцам.
|
AB |
4 |
8 |
12 |
16 |
... |
|
0 |
(0, 4)1 |
(0, 8)4 |
(0, 12)7 |
(0, 16)10 |
... |
|
2 |
(2, 4)2 |
(2, 8)5 |
(2, 12)8 |
(2, 16)11 |
... |
|
4 |
(4, 4)3 |
(4, 8)6 |
(4, 12)9 |
(4, 16)12 |
... |
Замечаем, что если номер n делится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 4; если номер n делится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен 0; если номер n делится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен 2. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:
и
множество AB счетно, т.е. имеет мощность
.
9. Равномощны ли множества X = (-; +1) и Y = [2; 5) ?
Решение:
Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется X1X такое, что X1Y, и найдется Y1Y такое, что Y1X.
Возьмем в качестве подмножества Y1 множества Y открытый интервал: Y1 = (2; 3) [2; 5) = Y. Установим биекцию g:
Y1X по закону g(x) = 1 - log0,5(x-2).
Множества Y1 и X равномощны.
В качестве подмножества X1X возьмем полуоткрытый интервал из X,
X1 = [0; 1) (-; +1) = X и установим биекцию f: X1Y по закону f(x) = 3x+2. Множества X1 и Y равномощны.
Таким образом, условия теоремы Кантора-Бернштейна выполняются, следовательно, множества X = (-; +1) и Y = [2; 5) равномощны ( |X| = |Y| ).
Литература.
1. Смыслова З. А. Спецглавы математики (теория множеств, комбинаторика, математическая логика, основы теории групп)., ч.1, Томск, 2000 г.