6. Решите систему уравнений:

где В  А  D  С.

Решение:

→

=

→

=

где М – произвольное подмножество :

Ответ: Х = ,

Контрольная работа № 2.

1. Постройте граф отношения «х + у ≥ 6» на множестве М = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Определите его свойства.

Решение:

Составим вспомогательную таблицу, с помощью которой определим пары (х,у), сходящие в отношение:

х	у
	1	2	3	4	5	6	7	8
1					+	+	+	+
2				+	+	+	+	+
3			+	+	+	+	+	+
4		+	+	+	+	+	+	+
5	+	+	+	+	+	+	+	+
6	+	+	+	+	+	+	+	+
7	+	+	+	+	+	+	+	+
8	+	+	+	+	+	+	+	+

Следовательно, в отношение входят пары:

(1,5), (1,6), (1,7), (1,8)

(2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8)

(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8)

(4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)

(7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (7,7), (7,8)

(8,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,7), (8,8)

Граф отношения имеет вид:

Определим свойства отношения:

- не на всей диагонали таблицы стоят знаки «+» - отношение не рефлексивно;

- матрица симметрична относительно главной диагонали – свойство не выполнено - отношение симметрично;

- пары (1,5) и (5,1) показывают, что отношение нетранзитивно – пара (1,1) не принадлежит этому отношению.

Ответ: отношение - нерефлексивное, симметричное, нетранзитивное.

2. Для построенного графа найдите матрицу смежности (вершин), матрицу инцидентности, матрицу отклонений, вектор отклоненностей, радиус, диаметр, центр, периферийные вершины, числа внутренней и внешней устойчивости.

Решение:

Матрица смежности вершин графа, построенного в Задании 1:

				1	1	1	1
			1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Матрица инцидентности вершин графа, построенного в Задании 1:

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

+-

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+-

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+-

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+-

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+-

+

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+-

Здесь знак «+» означает, что соответствующая дуга выходит из вершины, знак «-» - соответствующая дуга входит в вершину.

Отклонением одной вершины графа от другой называ­ется длина кратчайшего пути из первой во вторую.

Матрица отклонений для графа имеет вид:

0	2	2	2	1	1	1	1
2	0	2	1	1	1	1	1
2	2	0	1	1	1	1	1
2	1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	0

Отклоненностью вершины называется наибольшее из ее от­клонений. Вектор отклоненностей для графа: (2,2,2,2,1,1,1,1).

Центром графа называется вершина, в которой достигается наименьшая из отклоненностей, если таковая является конечным числом. Для данного графа таких вершин 4 – это вершины 5, 6, 7, 9.

Периферийной вершиной графа называется вершина с наи­большей отклоненностью. Периферийные вершины данного графа – вершины 1, 2, 3,4.

Радиус графа – это наименьшая из отклоненностей. Диаметр графа – это наибольшая из отклоненностей. Для данного графа радиус = 1, диаметр - 2.

Множество вершин графа называется внутренне устойчивым, если никакие две его вершины не являются смежными. Множество внутренней устойчивости, содержащее наибольшее число элементов, называется наибольшим внутренне устойчивым множеством, а число элементов этого множества называется чис­лом внутренней устойчивости графа. Для данного графа наибольшее множество внутренней устойчивости: {1, 2, 3, 4}. Следовательно, число внутренней устойчивости графа равно 4.

Множество вершин графа называется внешне устойчивым, если любая вершина, не при­надлежащая этому множеству, соединена дугами с вершинами из этого множества. Множество внешней устойчивости, содержащее наименьшее число элементов, называется наименьшим внешне устойчивым множеством, а число элементов этого множества называется чис­лом внешней устойчивости графа. Данный граф имеет множество внешней устойчивости {5, 6, 7, 8} - число внешней устойчивости равно 4.