2.3. Описание задачи

Процесс разработки интерактивной прикладной программы, осуществляет оптимизацию унимодальной функции одной переменой на заданном интервале методом деления отрезка пополам, или методом дихотомии.

Определение: функция f(x), заданная на интервале a<=x<=b называется унимодальной на [a,b], если существует единственная точка x* минимума f(x), т.е. f(x*)=min f(x) {на a<=x<=b}, и если для любых двух точек x1,x2 принадлежащих [a,b] выполняется соотношение:

-из неравенств x1<x2<=x* следует f(x1)>f(x2);

-из неравенств x2>x1=>x* следует f(x1)<f(x2).

Необходимые условия того, что x* является точкой локального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции f на открытом интервале (a,b) выражаются следующими соотношениями:

1) df 2) d²f

=0 =>0 (<=0)

dx x=x* dx² x=x*

Достаточные условия экстремума

Пусть в точке x* первые (n-1) производные функции обращаются в нуль, а производная порядка n отлична от нуля.

1) Если n-нечетное, то x*-точка перегиба.

2) Если n-четное, то x*-точка локального оптимума.

Кроме того,

а) если эта производная положительная, то x*-точка локального минимума;

б) если эта производная отрицательная, то x*-точка локального максимума

Правила исключения интервалов

Пусть функция f унимодальна на интервале axb, а ее минимум достигается в точке x*.

Рассмотрим точки x₁ и x₂, расположенные в интервале таким образом, что a<x₁<x₂<b. Сравнивая значения функции в точках x₁ и x₂, можно сделать следующие выводы:

1.Если f(x₁)>f(x₂), то точка минимума f(x) не лежит в интервале (a,x₁), т.е. x*(x₁,b) (см. рис.3)

f(x)

f(x₁)

f(x₂)

a x₁ x* x₂ b x

Рис.3. Первый вариант расположения точки минимума

2.Если f(x₁)<f(x₂), то точка минимума не лежит в интервале (x₂,b), т.е. x*(a,x₂) (см. рис.4)

f(x)

f(x₁)

f(x₂)

a x₁ x* x₂ b x

Рис.4. Второй вариант расположения точки минимума

3.Если f(x₁)=f(x₂), то можно исключить оба крайних интервала (a,x₁) и (x₂,b), при этом x*(x₁,x₂).

Согласно правилам исключения интервалов можно реализовать процедуру поиска, позволяющую найти точку оптимума путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся интервал уменьшается до достаточно малых размеров.

2.4. Входные данные

_{6 вещественных чисел – коэффициентов при соответствующих степенях оптимизируемой функции, границы интервала поиска минимума функции, точность вычисления, которые также относятся к классу вещественных чисел.}

_{2.5 Выходные данные}

_{Точка для минимума заданной пользователем функции и значение функции в этой точке.}

_{3.РУКОВОДСТВО ПРОГРАММИСТА}

3.1. Назначение и условия применения

3.1.1 Назначение программы

Программа предназначена для нахождения экстремумов функции при задаваемых коэффициентах, точности и интервале. Программа имеет некоторые ограничения, которые необходимо учитывать пользователю при вводе тех или иных параметров. В любом случае параметры проверяются перед расчетом.

Работу облегчает простой, элегантный и интуитивно понятный интерфейс. Автор стремился сделать программу дружественной к пользователю. Окна не насыщены графикой и ненужными элементами.

3.1.2 Условия применения программы

- IBM PC совместимый компьютер;

- 32-разрядная среда операционной системы;

- графическая оболочка ОС;

- обработчик hlp-файлов в системе;

- достаточный объем свободной оперативной памяти (около 5Мб при работе в Windows XP с улучшенным оформлением окна);

- достаточное место на жестком, гибком, сетевом, оптическом или RAM-диске объемом около 50 Кб (программа занимает 6020Кб);

- устройства ввода информации (клавиатура и оптическая мышь);

- устройство вывода графической информации с видеоадаптера (монитор, проектор).

3.2 Характеристики программы

В случае создания неправильной ситуации пользователем ему выдается сообщение, поясняющее его действия. Проверка данных перед их использованием для нахождения минимума или максимума позволяет не допустить серьезных ошибок в программе.

3.3 Обращение к программе

Работа программы начинается с подачи пользователем ее двоичного кода операционной системе на выполнение (запуска файла Project1.exe).

Интерфейс программы соответствует общепринятым стандартам и исторически сложившимся традициям эргономики программ, так как имеет такие понятные пользователю элементы как меню, справочная система, кнопки, окружение и элементы окна.