2. Описание применения

1. Назначение программы

Программа предназначена для нахождения минимального значения функции на заданном отрезке. Ограничениями для работы программы являются требования к техническим и программным средствам, а также наличие у пользователя элементарных математических понятий. Других ограничений на область применения не накладывается.

2. Условия применения

1. Условия, необходимые для применения программы

К таковым относится наличие полиномиального уравнения, один из корней которого необходимо вычислить с некоторой степенью точности, должных технических – программных и аппаратных – средств, а также соблюдение требований и условий организационного, технического и технологического характера.

2. Требования к техническим средствам

Необходимо наличие ЭВМ с установленной на ней операционной системой семейства Windows.

2.2.3 Общие характеристики входных и выходных данных.

Необходимо наличие значений коэффициентов перед членами полиномиального уравнения, а также знание необходимого уровня точности расчётов.

3. Требования и условия организационного, технического и технологического характера.

Для работы с программой требуется наличие человека – пользователя, владеющего навыками работы с клавиатурой и мышью. Пользователь вводит коэффициенты уравнения и другие входные данные, после чего получает значение минимума и максимума либо сообщение об ошибке.

3. Описание задачи

Для решения прикладной задачи с помощью ЭВМ для реального объекта, процесса или системы должна быть построена математическая модель. Математическая модель в количественной форме с помощью математических соотношений описывает свойства объекта, его параметры и внутренние и внешние связи.

Рассмотрим простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации – метод дихотомии. Этот метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Алгоритм метода дихотомии:

1. Положить , вычислить.

2. Принять , вычислитьи.

3. Если <, то исключить интервал, перейти на5, иначе – 4.

4. Если <, то исключить интервал, перейти на5, иначе – исключить .

5. Вычислить , если, где– точность вычислений, определяемая как требуемая минимальная длина интервала, то конец, иначе –2.

Окончание алгоритма включает в себя .

Алгоритм

На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра, точками и рассчитываются значения в этих точках. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Формализация

1) На каждом шаге процесса поиска делим отрезок [a,b] пополам, x=(a+b)/2 - координата середины отрезка [a,b].

2) Вычисляем значение функции F(x) в окрестности вычисленной точкиx, т.е.

3) Сравниваем F1 и F2 и отбрасываем одну из половинок отрезка [a,b]

При поиске минимума:

Если F1<F2, то отбрасываем отрезок [x,b], тогда b=x.

Иначе отбрасываем отрезок [a,x], тогда a=x.

4) Деление отрезка [a,b] продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е.

Рис. 2. Поиск минимума функции методом дихотомии

Рис.3. Схема алгоритма метода дихотомии

4. Входные и выходные данные

Входными данными можно считать коэффициенты полиномиального уравнения, границы интервала поиска, точность. Задаются в самой программе.

Выходные результаты представляются в компоненте TextBox10.