Теория и разбор типовых задач

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D( X Y ) M X 2 2XY Y 2 M ( X ) M (Y ) 2

M ( X 2 ) 2M ( X ) M (Y ) M (Y 2 ) M 2 ( X ) 2M ( X ) M (Y ) M 2 (Y )

M ( X 2 ) M ( X ) 2 M (Y 2 ) M (Y ) 2 D( X ) D(Y ).

Итак,

D( X Y ) D( X ) D(Y ).

2. Доказательство равенства D(X Y ) D( X ) D(Y ) предлагается провести самостоятельно.

Следствие 1. Дисперсия суммы (разности) нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C X ) D( X ).

Доказательство. Величины С и X независимы, поэтому, по третьему свойству

D(C X ) D(C) D( X ).

В силу первого свойства D(C)=0. Следовательно,

D(C X ) D( X ).

С в о й с т в о 4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X и Y вычисляется по формуле

D(XY) D(X )D(Y ) M 2 (X )D(Y ) M 2 (Y )D(X ).

Доказательство. Предлагается провести самостоятельно.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения, кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

71

Доказательство. Пусть случайная величина X распределения равномерно, тогда ее закон распределения имеет вид

Найдем числовые характеристики этой случайной величины.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределения по биноминальному закону вычисляется по формулам

M ( X ) n p; D( X ) n p q.

Доказательство. Пусть случайная величина X i - число появления события А в i-том испытании, i 1, n . Тогда случайная величина X X1 X 2 X n - число появлений события А во всех n испытаниях.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии

M ( X ) M ( X1 X 2 X n ) M ( X1) M ( X 2 ) M ( X n ); D( X ) D( X1 X 2 X n ) D( X1) D( X 2 ) D( X n ).

Каждая из случайных величин X i имеет один и тот же закон распределения

Тогда M ( X i ) 0 q 1 p p ;

73

D( X i ) M ( X i 2 ) M ( X i ) 2 02 q 12 p p2 p p2 p(1 p) pq.

Таким образом искомые числовые характеристики

M ( X ) p p p np; D( X ) pq pq pq npq.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона вычисляются по формуле

M (X ) D( X ) .

Доказательство. Согласно определениям распределения Пуассона, и математического ожидания имеем, что

Равенство D( X ) предлагается доказать самостоятельно.

Замечание. Из курса высшей математики известно, что ряд вида

представляет собой сходящийся на всей числовой оси ряд Маклорена.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, вычисляются по формулам

Доказательство. По определению геометрического закона случайная величина имеет следующий закон распределения:

Тогда

74

Теорема. Если случайная величина X имеет гипергеометрический закон распределения, то

Примем данную теорему без доказательства.

Решение типовых задач Задача 1. Дискретная случайная величина задана зако-

ном распределения

Найти: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение ( X ) .

дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

75

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

M (Z ) 1 0,02 3 0,1 4 0,16 5 0,12 6 0,36 7 0,24 5,4;

M ( X ) 1 0,1 3 0,3 4 0,6 3,4; M (Y ) 0 0,2 2 0,4 3 0,4 2; M ( X ) M (Y ) 3,4 2 5,4.

Итак, M ( X Y ) M ( X ) M (Y );

M (Z 2 ) 1 0,02 9 0,1 16 0,16 25 0,12 36 0,36 43 0,24 31,2; D(Z ) M (Z 2 ) M (Z ) 2 31,2 5,4 2 2,04;

M ( X 2 ) 1 0,1 9 0,3 16 0,6 12,4; D(X) 12,4- (3,4)2 0,84; M (Y 2 ) 0 0,2 4 0,4 9 0,4 5,2; D(Y ) 5,2 22 1,2;

D( X ) D(Y ) 0,84 1,2 2,04.

Итак : D( X Y ) D( X ) D(Y ).

в) Составим закон распределения V X Y . Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина V X Y , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений равны произведениям вероятностей сомножителей:

77

Одинаковые значения величины V X Y объединяем, складывая их вероятности.

Закон распределения V X Y записываем так:

M ( X ) M (Y ) 3,4 2 6,8.

Таким образом, M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

Задачи (41 – 50)

41. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y.

1. Составить закон распределения случайной величины

2. Найти числовые характеристики случайной величины

Z.

Z 13 X 15 Y .

42. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y .

1.Составить закон распределения случайной величины

Z.

2.Найти числовые характеристики случайной величины

Z.

78