Теория и разбор типовых задач

Размещениями Anm из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр 1; 2; 3; 4 , причем так, чтобы цифры числа были различны?

Решение. Искомое число чисел

Сочетаниями Cnm из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом элементов, порядок соединения элементов не важен.

Пример. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить три бесплатные путевки?

Решение. Искомое число способов

Следует отметить, что число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Anm PmCnm .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Пр а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект а может быть выбран из совокупности объектов r способами, а другой объект в может быть выбран s способами, то выбрать либо а, либо в можно r + s способами.

Пр а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект а можно выбрать из совокупности объектов r способами и после каждого такого выбора объект в можно выбрать s спосо-

11

бами, то пара объектов (а, в) в указанном порядке может быть выбрана rs способами.

Относительная частота. Статистические определения вероятности

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отно-

шение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная чистота события A определяется формулой

W A mn ,

где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительности частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример. Отдел технического контроля обнаружил три нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

W A 803 .

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная

12

частота обнаруживает свойства устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Статистической вероятностью события A называет-

ся число, около которого группируются относительные чистоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример. По данным государственной статистики РФ, относительная частота рождения девочек за последние десять лет характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования начиная с 1990 г.):

0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,490; 0,482.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Решение типовых задач Задача 1. Имеется 100 одинаковых деталей, среди ко-

торых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания

13

равно 100, т. к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, n 100. Событие A - появилась деталь без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению

события А равно 97 . Итак, m 97. Тогда P A 10097 0,97. Задача 2. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр.

Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры?

Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном шифре может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров по правилу произведения будет n 10 10 10 10 10 10 106 . Номера, в которых все цифры различны, - это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 6. Поэтому число благоприятствующих исходов m A106 . Искомая вероятность равна

Задача 3. Между шестью фирмами (А, Б, В, Г, Д, Е), занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности предъявления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т. е. А, Б, В, Г, Д, Е?

Решение. Исход испытания случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е. n P6 6!. Число исходов, благоприятствующих событию А : m=1, если очередь выстроена по порядку. Тогда

Задача 4. В компании 10 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание акционеров

14

явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:

а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют;

б) двое присутствуют и один не явился. Решение

а) испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по 6, т. е.

Пусть событие A - среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию A ,- отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих событию А, будет

б) пусть событие B - среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре

15

Задачи (1 – 10)

1.В двух из 14 составленных кассиром счетов имеются ошибки. Ревизор решил проверить наудачу 5 счетов. Какова вероятность, что а) ошибки не будут обнаружены; б) будет обнаружена хотя бы одна ошибка.

2.Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствуют стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектом. Найти вероятность того, что товар поступит на реализацию.

3.В ящике 20 деталей, 5 из них с дефектом. Наудачу извлекают три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) две дефектных; б) хотя бы одна с дефектом.

4.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

5.На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность оформления накладной. Для проверки преподаватель предлагает проверить 12 накладных, 5 из которых содержат ошибки. Наудачу выбирают три накладных. Найти вероятность того, что а) из трех накладных одна с ошибками; б) хотя бы одна с ошибками.

6.Данное предприятие в среднем выпускает 20 % продукции высшего сорта и 70% первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

16

7.Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и 2 инженеров. Планируется создать подкомитет из трех его членов. Найти вероятность того, что в подкомитет войдут: а) два бухгалтера и менеджер; б) бухгалтер, менеджер и инженер; в) хотя бы один бухгалтер.

8.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

9.Среди 20 компьютеров, поступивших в ремонт в мастерскую, 12 на гарантийном обслуживании. Мастер наудачу берет 2 компьютера для ремонта. Найти вероятность того, что а) оба компьютера находятся на гарантийном обслуживании; б) хотя бы один на гарантии.

10.В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найтивероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.

1.2. Классические теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения вероятностей

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, если из колоды карт наудачу извлекается одна, то событие А - появился король; событие В - появилась дама; событие С - появился туз несовместны.

17

Два события A и A называются противоположными, если они несовместны и одно из них обязательно должно произойти в испытании.

Например, если брошена монета, то событие А - появился «герб» и противоположное ему событие A - появилось «число».

События A1, A2 , , An образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными.

Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Суммой несовместных событий A1, A2 , , An называется такое событие, которое состоит в наступлении какоголибо одного из событий A1, A2 , , An .

Пример. Испытание: Подбрасываем игральную кость. Событие A выпала «пятерка»

Событие B выпало четное число

Событие A B выпала «пятерка» или четное число. Теорема. Вероятность суммы конечного числа несо-

вместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P A1 A2 An P A1 P A2 P An .

возможных элементарных исходов испытания; m1 - число исходов, благоприятствующих событию A; m2 - число исходов, благоприятствующих события B. Число элемен-

18

тарных исходов, благоприятствующих наступлению либо

получим

P A B P A P B .

2. Методом математической индукции докажем теорему для любого конечного числа событий. Предположим, что для n событий утверждение верно, т.е.

P A1 A2 An P A1 P A2 P An ,

и докажем для n 1 события. Тогда

P A1 A2 An P An 1 .

Сучетом нашего предположения, имеем

Следствие 1. Сумма вероятностей событий A1, A2,…, An, образующих полную группу, равна единице:

P A1 P A2 P An 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P A P A 1.

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q.Таким образом, следствие 2 примет вид:

p q 1.

Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, p 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

19

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q 1 p 1 0,7 0,3.

События А1, А2, …, Аn называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: Выполняется метеорологический прогноз.

Событие А ожидается дождь. Событие В ожидается ветер. События А и В совместны.

Суммой n совместных событий А1, А2, …, An называется такое событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

P A B P A P B P AB .

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: AB , AB или AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

P A B P AB P AB P AB .

(*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: AB или AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

P A P AB P AB .

Отсюда

P AB P А P AB .

(**)

20