Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кузнецов_математика

.pdf

Скачиваний:

408

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 273 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

15.25.

lim

lg x −1

15.26. lim

3x+1 − 3

x → 10

x − 9 −1

x → 0 ln(1+ x 1+ xex )

sinbx − sinax

15.27. lim

cos x −1

15.28. lim

x → 0

sin2 2x

x → 0 ln(tg(π 4 + ax))

1−sin3 x

log

x −1

15.29.

lim

15.30. lim

cos2

x → π 2

x → 3

tgπ x

15.31. lim

ex − e

(

−1

x → 1 sin

)

Задача 16. Вычислить пределы функций.

16.1. lim (1− ln(1+ x3 ))3 (x2 arcsin x).

(cos

)1 x .

16.2. lim

x → 0

16.3. lim

1+ x 2x

1 x2 .

(2 − 3arctg2

)2 sin x .

16.4. lim

x → 0

1+ x 3x

x → 0

1+ sin xcosα x ctg3x

5 −

1 sin2 3x

16.5. lim

16.6. lim

x → 0

1+ sin xcosβ x

x → 0

cos x

16.7. xlim→ 0(1− ln(1+ 3

))x sin4 3

16.8. xlim→ 0(2 − earcsin2

)3 x .

x → 0

(

)

x → 0

(

)

cosπ x 1 (xsinπ x) .

1+ sin2 3x

1 lncos x

16.9. lim

16.10. lim

ctgx

1 ln(1+π x3)

16.11. lim

− x

16.12. lim (1− xsin2 x)

x → 0

16.13. lim

(2 − 5arcsin x3 )(cosec2x) x .

16.14. lim (

2 − cos3x)1 ln(1+x2 ).

x → 0

(

)

x → 0

(

)

x →

ctgπ x .

x → 0

16.15. lim

− esin x

16.16. lim

cos x 1 ln(1+sin2 x).

16.17. lim

(2 − ex2 )1 ln(1+tg2(π x

3)).

16.18. lim (

3− 2cos x)−cosec2x .

x → 0

16.19. xlim→ 0(2 − 3sin2 x )1lncos x .

		−	5 ctg2x
16.21. lim	6			.

x → 0			cos x

1+ sin xcos2x 1sin x3

16.23. lim . x → 0 1+ sin xcos3x

						1 x3
		1
		1
16.25. lim	1+ ln		arctg6		x .
16.25. lim	1+ ln		arctg6		x .
x → 0		3
			x 1 tg2x
16.27. lim		1+ x 3		.
16.27. lim		x		.
x → 0		1+ x 7

16.29. lim (1− lncos x)1tg2x .

x → 0

1+ x2 2x 1sin3 x

16.31. lim .

x → 0 1+ x2 5x

16.20.lim x22 − cos x.

x → 0

		3−		2		cosec2x
16.22. lim							.
16.22. lim							.
x → 0			cos x
16.24. lim	(2 − ex2 )1 (1−cosπ x) .
x → 0
							1 x3
		1+ tgxcos2x
16.26. lim		1+ tgxcos2x					.
16.26. lim							.
x → 0	1+ tgxcos5x
16.28. lim	1+ tg2 x				1 ln(1+3x2 ).
x → 0	(				)
							x 1 ln(1+tg23x)
16.30. lim				1− sin2				.
16.30. lim				1− sin2				.
		x → 0					2

Задача 17. Вычислить пределы функций.

	sin2x 1+x
17.1. lim			.

x → 0		x
17.3. lim	sin4x 2 (x+2)			.


x → 0		x

17.5.lim (cos x)x+3 .

x → 0

	ln	(1+ x)			x (x+2)
17.7. lim						.
17.7. lim						.
x → 0		6x
	ex3 −1			(8x+3) (1+x)
17.9. lim						.
17.9. lim						.
x → 0		x	2
		x

+ x x

17.2. lim

x → 0

− x

−1

cos2

(π

+x)

17.4. lim

x → 0

+ 4

17.6. lim

x + 2

x → 0

tg4x 2+x

17.8. lim

x → 0

x + 2 cos x

17.10. lim .

x → 0 x + 4

sin6x 2+x

17.11. lim

x → 0

sin2x x2

17.13. lim

x → 0

sin3x

+ 8

x+2

17.15. lim

+10

x → 0

−1

x+1

17.17. lim

x → 0

11x + 8 cos2 x

17.19. lim

x → 0

12x +1

17.21. lim

ln(1+ x2 )

3 (x+8) .

x → 0

17.23. lim

arcsin x 2 (x+5)

x → 0

17.25.lim (ex + x)cos x4 .

x → 0

17.27. lim				π	− x	(ex−1) x	.
	tg
x → 0				4
	1+ 8x 1 (x2+1)
17.29. lim						.

x → 0	2		+11x
			3		1 (x+2)
17.31. lim		x	+ 4			.
			3
x → 0	x		+ 9


	ex2 −1			6 (1+x)
17.12. lim					.
17.12. lim					.
x → 0		x	2
		x
17.14. lim				π x+2
17.14. lim	tg	x +		.
x → 0				3

17.16.lim (sin(x + 2))3(3+x) .

x → 0

x4 + 5 4 (x+2)

17.18. lim

x → 0

x +

2 (x+1)

17.20. lim

x → 0

x 1+x

17.22. lim

cos

x → 0

arctg3x x+2

17.24. lim

x → 0

sin5x

1 (x+6)

17.26. lim

x → 0

sin x

6 −

tg2x

17.28. lim

x → 0

cos x

arcsin2 x 2x+1

17.30. lim

x → 0

arcsin

Задача 18. Вычислить пределы функций.

3x −1 1 (3

−1)

18.1. lim

x → 1

x +1

2x −1 1 (3

−1)

18.3. lim

x → 1

−2)

18.5. lim

2x − 7

x +

x → 8

2x −1 1 (5

−1)

18.7. lim

x → 1

18.9. lim

(cos x)ctg2x sin3x .

x → 2π

6 − x tg

π x

18.11. lim

x → 3

πx

18.13.lim (3− 2x)tg 2 .

x → 1

sin x 1 (x−a)			.
18.2. lim

x → a sina

cos x 1(x−2)

18.4. lim .

x → 2 cos2

18.6. lim (tgx)1cos(3π4−x) .

x → π4


			x tg		π x
		−	x tg		2a
18.8. lim	2			.
18.8. lim	2			.
x → a			a

18.10.lim (cos x)1sin2 2x .

x → 2π

18.12.lim (cos x)ctgxsin4x .

x → 4π

18.14.lim (cos x)tg5xsin2x .

x → 4π


	9 − 2x tg		π x
			6
18.15. lim		.

x → 3	3

18.17.lim (2ex−1 −1)x(x−1) .

x → 1

18.19.lim (2ex−1 −1)(3x−1)(x−1) .

x → 1

18.21.lim (2ex−2 −1)(3x+2)(x−2) .

x → 2

18.23. lim	2 − x 1 ln(2−x)		.


x → 1	x
		sin(π x 2)

18.25.lim (2 − x) ln(2−x) .

x → 1

18.16.	lim		(sin x)6tgx tg3x .
	x → π	2
				x 1 (x−π 2)
18.18.	lim		tg		.
18.18.	lim		tg		.
	x → π	2		2

18.20.

lim

(1+ cos3x)sec x .

x → π 2

(

)

sin(x −1)

sin

x−1

x−1−sin(x−1)

18.22. lim

x −1

x → 1

x 1 cos x

18.24.

lim

ctg

x → π 2

sin x

1 (x−3)

18.26. lim

x → 3

sin3

x +1

ln(x+2)

18.27. lim

ln(2−x)

x → 1

x+1

(

)

ln(2−x)

18.29. lim

x → 1

2x −1

ln(3+2x)

ln(2−x)

18.31. lim

x → 1

	(sin x)		18sin x

18.28. lim			ctgx .
x → π	2
		x 1 cos(x 2)
18.30. lim	ctg		.

x → π		4

Задача 19. Вычислить пределы функций.

			π
ln x −1		sin		x
			2e
19.1. lim			.
	x − e
x → e

		ln tgx 1 (x+π 4)
19.3. lim						.

x → π 4 1− ctgx
19.5. lim	sin3π x sin2(x−2)					.


x → 2		sinπ x
		2 −	x	sinπ x
19.7. lim					.

x → 3			3

sinπ x

19.9. lim (1+ ex ) 1−x .

x → 1

	arcsin(x −3)				x2−8
19.11. lim					.
		sin3π x
x → 3
			x − 3 4		x+1
19.13. lim arctg					.

x → 1			(x −1)	2

	sin x − sin a x2 a2
19.15. lim					.

x → a		x − a
19.17. lim		(sin x + cos x)1 tgx .
x → π 4

19.2. lim	(tgx)ctg x .
x → π	4

19.4. lim (sin x)3(1+x) .

x → 2

19.6. lim	(sin x)6x π .
x → π	6

1+ x (1−x2 )(1−x)

19.8. lim .

x → 1 2 + x

tg9π x x (x+1)

19.10. lim

x → 1

sin4π x

(sin2x)

x2−π 2 16

19.12. lim

x−π 4 .

x → π 4

sin(x−π )

19.14. lim

ctg

x → π

− 2 1 x

x + 2

19.16. lim

x2 − 4

x → 2

19.18.lim (tg2x)sin(π8+x) .

x → π8

19.19.lim (arcsin x)tgπ x .

x → 1

19.21.lim (ln2 ex)1 (x2+1) .

x → 1

x3 −1 1x2

19.23. lim . x → 1 x −1

19.25.lim (cosπ x)tg(x−2) .

x → 2


19.27. lim		(cos x +1)sin x .
x → π 2
			2	+ 2x − 3			1 (2−x)
19.29. lim	x							.
			2	+ 4x − 5
x → 1 x
			2x	− e	2	x+1
19.31. lim	e					.
			x −1
x → 1

19.20.lim (x + sin x)sin x+x .

x → π

19.22. xlim→ 1(x +1)π

		sinπ x	−1
19.24. lim	e
		x −1
x → 1

19.26.lim (arcsin x

x → 12

arctgx

x2+1

+arccos x)1x .

19.28. xlim→ 1(3x + x −1)sin(π x4) .

	1+ cosπ x x2
19.30. lim		.
	2
x → 1	tg π x

Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.

20.1. lim

4cos3x + xarctg(1 x)

x → 0

20.3. lim

2n −

sinn

n → ∞

n − 3 n3 − 7

e1 n + sin

cosn

20.5. lim

n2 +1

1+ cos(1 n)

n → ∞

+ (4x −π )cos

tgx

20.7.

lim

−π

lg(2 + tgx)

x → π 4

20.9.

lim

n2 − 3n5 − 7

(

)

n → ∞

n2 − ncosn +1 n

20.2. lim

3sin x + (2x −π )sin

2x −π

x → π 2

20.4. lim

tgxcos(1 x)+ lg(2 + x)

x → 0

lg(4 + x)

2 + n5 − 2n3 + 3

20.6. lim

n → ∞

(n + sin n) 7n

20.8. lim

sin n2 +1 arctg

n → ∞

20.10. lim

3sin n +

n −1

n → ∞

n + n +1

20.11. lim (

1− cosn

)

3 n

arctg x sin

20.12. lim ln 2

n → ∞

2n +1 −1

x → 0

1+ cosπ x

20.13. lim

20.14. lim

x → -2

4 + (x +

2)sin

n → ∞ 3 n4 − 3 + sinn

x + 2

20.15. lim

n → ∞

20.17.lim

x → 0

20.19.lim

x → 0

3n2 + cosn + 3n2 + 2 .

5n6 +1

arctg x sin2 1 + 5cos x. x

2cos2 x + (ex −1)sin 1x.

arctg

+ 3

tgx

20.16. lim

− lg(1+ sin x)

x → 0 2

20.18. lim

4cos x + sin

ln(1+ x).

x → 0

2 + ln e + xsin

20.20. lim

cos x + sin x

x → 0

20.21. lim ln (ex

− cos x)cos

+ tg x +

x → 0

cos x + ln(1+ x)

2 + cos

20.22. lim

20.23. lim

cos2π x

x + 2

x → 0

2 + e

x → 1

+ (e

x−1 −1)arctg

x −1

x → 0	(	)	x
20.24. lim		esin x −1 cos	1	+ 4cos x.
20.24. lim		esin x −1 cos		+ 4cos x.

20.26. lim 3 lg(x + 2)+ sin

cos

x + 2

4 − x2

x → 2

x − 2

x −1

x +1

20.28. lim tg cos x + sin

cos

x +1

x −1

x → 1

sin x + sinπ x arctg

+ x

− x

20.30. lim

1+ cos x

x → 1

20.25. lim

cos(1+ x)

x → 0

2 + sin

ln(1+ x)+ 2

2 + cos xsin

20.27.

lim

−π

3+ 2xsin x

x → π 2

20.29. lim x

2 + sin

4cos x.

x → 0

+ 3n −1 + 3 2n2 +1

20.31. lim

n → ∞

n + 2sinn

II.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Теоретические вопросы

1.Понятие производной. Производная функции xn .

2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3.Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.

4.Геометрический смысл дифференциала.

5.Непрерывность дифференцируемой функции.

6.Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.

7.Производная сложной функции.

8.Инвариантность формы дифференциала.

9.Производная обратной функции.

10.Производные обратных тригонометрических функций.

11.Гиперболические функции, их производные.

12.Производные высших порядков, формула Лейбница.

13.Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.

14.Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Теоретические упражнения

1.Исходя из определения производной, доказать, что

a.а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;

b.б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;

c.в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.


2.	Доказать, что если функция			f (x)	дифференцируема в точке x = 0 и f (0) = 0, то
f ′(0) = lim		f (x)	.
f ′(0) = lim			.
	x→0 x
3.	Доказать, что производная			f ′(0)	не существует, если

4. f (x) = xsin(1 x), x ≠ 0,
0,	x = 0.

5.Доказать, что производная от функции

6.f (x) = x2 sin(1x), x ≠ 0,0, x = 0.

7.разрывна в точке x = 0.

8.Доказать приближенную формулу

a. a2 + z ≈ a + z(2a), a > 0, z a.

9. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x)+ g(x) в точке x = x0

если, в этой точке:

10.а) функция f (x) дифференцируема, а функция g(x) не дифференцируема;

11.б) обе функции f (x) и g(x) не дифференцируемы.

12.Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) ≠ 0, а функция g(x)

не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x)g(x) является

недифференцируемым в точке x0 .

13.Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x)g(x) в предположениях задачи?

a.Рассмотреть примеры:

b.а) f (x) = x, g(x) = x , x0 = 0;

c.	f (x) = x, g(x) = sin(1 x), x ≠ 0,		x0 = 0;
	0,	x = 0,

d. б) f (x) = x , g(x) = x , x0 = 0;

e.f (x) = x , g(x) = x +1, x0 = 0.

14.Найти f ′(0), если f (x) = x(x +1)...(x +1234567).

15.Выразить дифференциал	d3 y от сложной функции y u(x)		через производные

от функции y(u) и дифференциалы от функции u(x).

16.Пусть y(x) и x( y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить x′′ через y′ и y′′.

Расчетные задания

Задача 1. Исходя из определения производной, найти f ′(0).

		3	+ x	2	2			x ≠ 0;
tg x					sin		,
tg x					sin		,
1.1. f (x) =						x
	x		= 0.
0,	x		= 0.

		1
arctg xcos			,
arctg xcos			,
1.3. f (x) =		5x
	x = 0.
0,	x = 0.

		2		1	+	2		x ≠ 0;
arcsin x			cos				x,
arcsin x			cos				x,
1.2. f (x) =				9x		3
	x = 0.
0,	x = 0.

x ≠ 0;

		− sin		3		1		x ≠ 0;
ln 1			x		sin		,
ln 1			x		sin		,
1.4. f (x) =						x
	x = 0.
0,	x = 0.

		3	, x ≠ 0;
sin xsin
sin xsin
1.5. f (x) =		x
	x = 0.
0,	x = 0.


			+ x	2		1	−1,	x ≠ 0;
1+ln
		1			sin

1.6. f (x) =						x
	x = 0.
0,

		x2 sin	5
					+ x, x ≠ 0;
sin e			x	−1
1.7. f (x) =
	x	= 0.
0,

		4	+	x2	, x ≠ 0;
1.8. f (x) = x2 cos
1.8. f (x) = x2 cos		3x		2
	x = 0.
0,	x = 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 273 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб408Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб526Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб175ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб64ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб56ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc