3 Обоснование вычислительной процедуры

Все ограничения в данной задаче линейны, поэтому для ее решения можно использовать симплекс-метод.

В математической модели задачи имеются ограничения «больше или равно» и «меньше или равно». После приведения задачи к стандартной форме необходимо, чтобы в каждом ограничении присутствовала базисная переменная, т.е. переменная, входящая в ограничение с коэффициентом равным единице, и не входящая ни в одно из других ограничений. В ограничении «меньше или равно» в качестве таких переменных используются остаточные переменные, добавляемые в ограничение при приведении к стандартной форме. Для приведения к стандартной форме ограничений «больше или равно» вводится избыточная переменная со знаком «минус». Поэтому в задачах, имеющих ограничения «больше или равно» после приведения к стандартной форме невозможно построить базис, так как базисные переменные есть не во всех ограничениях. Поэтому для решения задачи потребуется использовать один из методов искусственного базиса. Метод реализуется с помощью введения искусственных переменных в ограничения, где их нет.

4 Решение задачи оптимизации на основе симплекс-таблиц

Приведём математическую модель задачи к стандартной форме. Для этого в ограничения “меньше или равно” потребуется ввести остаточные переменные, а в ограничения “больше или равно” потребуется ввести избыточные переменные:

Х₁-Х₄=40 (1)

0,8Х₁+0,5Х₂+0,6Х₃+Х₅=800

0,2Х₁+0,4Х₂+0,3Х₃+Х₆=600 0Х₁+0,1Х₂+0,1Х₃+Х₇=120

i ≥ 0, i = 1,…,3,

Е=314Х₁+120Х₂+128Х₃ –>max.

В ограничениях (1) отсутствует базисная переменная, т.е. переменная, которая входила бы только в одно из уравнений, причем с коэффициентом равным 1.

Поэтому требуется ввести искусственную базисную переменную. Система ограничений с искусственными базисными переменными будет иметь вид:

Х₁-Х₄+Х₈=40 (1)

0,8Х₁+0,5Х₂+0,6Х₃+Х₅=800

0,2Х₁+0,4Х₂+0,3Х₃+Х₆=600 0Х₁+0,1Х₂+0,1Х₃+Х₇=120

i ≥ 0, i = 1,…,3,

Составляется искусственная целевая функция – сумма искусственных переменных:

W= Х₈→ min.

Искусственная целевая функция выражается через небазисные переменные. Для этого сначала выразим искусственные переменные через небазисные переменные:

Х₈=40-Х₁+Х₄,

и подставим их в искусственную целевую функцию:

W = 40-Х₁+Х₄,→ min.

Для приведения всей задаче к стандартной форме требуется перейти к искусственной целевой функции, подлежащей максимизации. Для этого она умножается на -1:

-W = -40+Х₁-Х₄,→ max.

Приведем полную математическую модель задачи в стандартной форме:

Х₁-Х₄+Х₈=40 (1)

0,8Х₁+0,5Х₂+0,6Х₃+Х₅=800

0,2Х₁+0,4Х₂+0,3Х₃+Х₆=600 0Х₁+0,1Х₂+0,1Х₃+Х₇=120

i ≥ 0, i = 1,…,8,

Е=314Х₁+120Х₂+128Х₃ –>max,

-W = -40+Х₁-Х₄,→ max.

Составим первую симплекс таблицу (таблица 1):

Таблица 1

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	X 8	БР
E	-314	-120	-128	0	0	0	0	0	0
-W	-1	0	1	0	0	0	0	0	-40
X8	1	0	0	-1	0	0	0	1	40
X5	0,8	0,5	0,6	0	1	0	0	0	800
X6	0,2	0,4	0,3	0	0	1	0	0	600
X7	0	0,1	0,1	0	0	0	1	0	120

Приведённое в таблице 1 начальное решение является недопустимым: в базисе есть искусственные переменные, и искусственная целевая функция не равна нулю. В случае, когда строка искусственной целевой функции (-W) не будет содержать отрицательных значений, данное решение будет оптимальным. Иначе необходимо составлять следующую симплекс-таблицу.

Определим переменную для включения в базис. Она имеет максимальный по модулю отрицательный коэффициент в строке искусственной целевой функции. Смысл такого выбора заключен в следующем. При включении переменной в базис мы тем самым увеличиваем её значение, что, приводим к росту целевую функцию. Очевидно, что при увеличении переменной с наибольшим коэффициентом целевая функция будет увеличиваться быстрее.Внашем случае это будет Х₁.

Определим переменную для исключения из базиса. Для этого необходимо поделить коэффициенты столбца решения на коэффициенты ведущего столбца (при этом необходимо помнить, чтобы коэффициенты ведущего столбца были положительны). В результате получатся симплексные отношения. Смысл поиска переменной, исключаемой из базиса в следующем. При включении новой переменной в базис, её значение увеличивается.

При этом чтобы соблюдать исходные ограничения задачи необходимо уменьшать базисные переменные. Уменьшение переменных возможно только до 0. Симплексное отношение показывает, через сколько увеличений переменой, включаемой в базис, данная базисная переменная приблизится к нулю. Поэтому переменная, имеющая минимальное симплексное отношение, исключается из базиса. Из базиса исключаем X₈. Строка с переменной, исключаемой из базиса, называется ведущей строкой.

Элемент, находящийся на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом. Для данной таблицы ведущий элемент равен 1.

Строим новую симплекс-таблицу. При её построении необходимо руководствоваться следующим. Все элементы ведущей строки делятся на ведущий элемент. Ведущий столбец заполняется нулями. Все остальные элементы высчитываются по правилу прямоугольника.

Согласно правилу прямоугольника пересчитываемый элемент и ведущий составляют одну из диагоналей прямоугольника. На второй диагонали находим еще два элемента. Отношение разности произведений элементов диагонали к ведущему элементу и дадут искомую величину.

Аналогично пересчитаем все элементы таблицы и получим новую (Таблица2):

Таблица 2

БП	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	БР
E	0	-120	-128	-314	0	0	0	314	12560
-W	0	0	0	0	0	0	0	1	0
X1	1	0	0	-1	0	0	0	1	40
X5	0	0,5	0,6	0,8	1	0	0	-0,8	768
X6	0	0,4	0,3	0,2	0	1	0	-0,2	592
X7	0	0,1	0,1	0	0	0	1	0	120

Как видим, в строке искусственной целевой функции нет отрицательных переменных, сама целевая функция равна нулю, а все искусственные переменные исключены из базиса. Следовательно, найдено начальное допустимое базисное решение. Оно состоит в следующем:

Х₂=Х₃=Х₄=Х₈=0, Х₁=40, Х₅=768, Х₆=592, Х₇=120, E=12560 (в этом легко убедиться, подставив значения исходных переменных задачи в математическую модель).

Т.о. строку с искусственной целевой функцией и столбцы с искусственными переменными можно исключить из таблицы.

Получаем следующую симплекс-таблицу (Таблица 3):

Таблица 3

БП	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	БР
E	0	-120	-128	-314	0	0	0	12560
X1	1	0	0	-1	0	0	0	40
X5	0	0,5	0,6	0,8	1	0	0	768
X6	0	0,4	0,3	0,2	0	1	0	592
X7	0	0,1	0,1	0	0	0	1	120

Полученное решение является допустимым, но не оптимальным, признак неоптимального решения – наличие в строке целевой функции отрицательных значений. Поэтому реализуется второй этап двухэтапного метода: максимизация основной целевой функции E.

Определим переменную для включения в базис. Такой переменной станет X4. Определим переменную для исключения из базиса. Составляем симплексные отношения:

40/(-1)= -40,

768/0,8= 960,

592/0,2=2960.

Переменная с минимальным симплексным отношением исключается из базиса, т.е. переменная Х₅.

Т.о. ведущий столбец X₄, ведущая строка X₅, ведущий элемент 0,8.

Строим новую симплекс-таблицу (Таблица 4).

Таблица 4

БП	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	БР
E	0	76,25	107,5	0	392,5	0	0	314000
X1	1	0,63	0,75	0	1,25	0	0	1000
X4	0	0,63	0,75	1	1,25	0	0	960
X6	0	0,28	0,15	0	-0,25	1	0	400
X7	0	0,1	0,1	0	0	0	1	120

Последняя симплекс-таблица не содержит отрицательных элементов в строке целевой функции. Это указывает на оптимальность найденного решения. Проанализируем получившийся результат:

X₁=1000, т.е. 1000 т следует выпустить карамели «Мечта».

X₂=0, т.е. не нужно выпускать карамель «Заря».

X₃=0, т.е. не нужно выпускать карамель «Полёт».

X₄=960, т.е. карамели «Мечта» выпустят на 960 тон больше, чем минимально необходимо.

X₆=400, остаточная переменная закупки потока, т.е. из возможных 600 тонн, закупят только 200 тонн.

X₇=120,остаточная переменная закупки фруктового пюре.

Расчёты базовой задачи на программе Simplex-M приведены в “Приложении А”, а проверка расчетов при помощи Excel приведена в “Приложении Б”.