Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СГЛАЖИВАНИЯ
Цель работы – исследовать алгоритм скользящего усреднения, сглаживания параболой четвертой степени, алгоритм медианной фильтрации.
Теоретическая часть
При разработке способов определения параметров физических процессов, медленно изменяющихся во времени, важной задачей является устранение влияния шумовых эффектов или случайных помех, которые накладываются на обрабатываемый сигнал, получаемый на выходе первичного преобразователя.
Для устранения такого эффекта можно применить сглаживание данных. Одним из наиболее простых способов такого сглаживания является арифметическое усреднение. При его применении каждое i -ое значение дискретной функции (обрабатываемого массива данных) вычисляется в соответствии с выражением:
|
1 |
j=i+m |
|
|
xi = |
∑x j , |
(4.1) |
||
|
||||
|
K j=i−m |
|
||
где K - количество точек (отсчетов) для арифметического усреднения (нечетное целое число);
x j - j -ое значение функции до обработки;
m = K 2− 1 .
Известны и другие, достаточно эффективные способы сглаживания, например, параболами второй степени по пяти, семи, девяти и одиннадцати точкам в соответствии с выражениями:
xi = |
1 |
(− 3xi−2 +12xi−1 +17xi +12xi+1 − 3xi+2 ); |
|
|
(4.2) |
|||
35 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
xi = |
|
1 |
(− 2xi−3 + 3xi−2 + 6xi−1 + 7xi + 6xi+1 + 3xi+2 |
− 2xi+3 ); |
(4.3) |
|||
|
21 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
xi = |
|
1 |
(−21xi−4 +14xi−3 +39xi−2 +54xi−1 +59xi |
+ |
|
|
||
|
|
; |
(4.4) |
|||||
|
|
231 |
|
|||||
+54xi+1 +39xi+2 +14xi+3 −21xi+4 )
22
xi = |
1 |
(−36xi−5 +9xi−4 |
+ 44xi−3 + 69xi−2 |
+84xi−1 |
+89xi + |
|
|
|
429 |
; |
(4.5) |
||||||
|
|
|
|
|
+84xi+1 +69xi+2 + 44xi+3 +9xi+4 −36xi+5 )
или параболами четвертой степени по семи, девяти, одиннадцати и тринадцати точкам:
|
xi = |
|
1 |
|
(5xi−3 − 30xi−2 + 75xi−1 +131xi + 75xi+1 − 30xi+2 + 5xi+3 ); |
|
(4.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
231 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xi = |
1 |
(15xi−4 −55xi−3 +30xi−2 +135xi−1 +179xi + |
|
|
|
|
||||
|
|
|
429 |
; |
|
|
(4.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
+135xi+1 +30xi+2 −55xi+3 +15xi+4 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xi = |
|
|
1 |
(18xi−5 −45xi−4 −10xi−3 + 60xi−2 +120xi−1 +143xi + |
|
|
|
|||||
|
|
429 |
; |
|
(4.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+120xi+1 + 60xi+2 −10xi+3 − 45xi+4 +18xi+5 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi = |
1 |
|
(110xi−6 |
−198xi−5 −135xi−4 +110xi−3 +390xi−2 +600xi−1 +677xi + |
|
|
|||||||
2431 |
. |
(4.9) |
|||||||||||
|
|
|
|
+ 600xi+1 +390xi+2 +110xi+3 −135xi+4 −198xi+5 +110xi+6 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В практических применениях дают хорошие результаты другие эффективные способы, например, 15-точечное сглаживание Спенсера:
xi = |
1 |
(−3xi−7 − 6xi−6 −5xi−5 + 3xi−4 + 21xi−3 + 46xi−2 + 67xi−1 + 74xi + |
||
320 |
||||
|
−3xi+7 −6xi+6 −5xi+5 +3xi+4 + 21xi+3 + 46xi+2 + 67xi+1 ) . |
(4.10) |
||
|
|
|||
Также достаточно эффективно для сглаживания данных применение, так называемых, эвристических алгоритмов.
Одним из них является медианная фильтрация. В ходе ее реализации в скользящем временном окне размерностью N , где N - целое нечетное число, центральный элемент заменяется средним элементом последовательности, представляющих собой упорядоченные, в порядке возрастания значений, элементы массива данных сглаживаемого сигнала, попавших во временное окно. Достоинством медианной фильтрации является способность удалять импульсные помехи, длительность которых не превышает N / 2 , практически без искажения плавно изменяющихся сигналов. Данный способ подавления шумов не имеет строгого математического обоснования, однако простота вычислений и эффективность получаемых результатов обусловили широкое его распространение.
23