Точечные оценки

Пусть наблюдавшиеся значения признака (т.е. выборка), которая имеет следующее статистическое распределение: ,

где - частота варианты и - объем выборки.

Несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности служит выборочная средняя:

.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

.

Эта оценка является смещенной, так как , где D_Г - дисперсия генеральной совокупности.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит «исправленная дисперсия»:

,

Эта оценка является несмещенной, так как .

При вычислении выборочной дисперсии удобно пользоваться формулой: .

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: . Аналогично определяется исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение: .

В качестве выборочной оценки моды генеральной совокупности используется выборочная мода, которая определяется как наиболее часто встречающаяся варианта в выборке, т.е.:

.

В качестве выборочной оценки медианы генеральной совокупности используется выборочная медиана, которая определяется как средний элемент вариационного ряда , т.е.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами: .

Генеральная доля равна частному от деления М элементов генеральной совокупности, обладающих интересующим нас признаком, на N - общее число элементов в генеральной совокупности: .

Точечной оценкой генеральной доли служит - выборочная доля, т.е. отношение числа элементов выборки m, обладающих интересующим нас признаком, к объему выборки n: ,

Выборочное распределение выборочных средних. Из закона больших чисел и центральной предельной теоремы следует, что если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения, то выборочное среднее также подчиняется закону нормального распределения. При достаточно большом объеме выборки распределение выборочного среднего также будет подчинятся нормальному закону распределения независимо от того, какой закон распределения имеет генеральная совокупность. Таким образом, если генеральная совокупность имеет математическое ожидание равное а и дисперсию равную , то выборочное среднее . Следовательно,

и .

Решение типовых примеров:

Пример 1. Дана выборка: 5,4,4,2,5,5,4,2,4,6,5,2,4,2,6,5,2,4,5,5,4,4,5,2, 2,5,5,4,2,6. Найти статистическое распределение выборки, ее среднее значение, выборочную и исправленную дисперсии, выборочное и исправленное средние квадратические отклонения, выборочные моду, медиану и размах варьирования.

Решение: Найдем статистическое распределение:

= .

Объем выборки равен .

Среднее значение выборки равно:

Найдем выборочную дисперсию :

Следовательно, исправленная дисперсия равна:

.

Найдем выборочное и исправленное среднее квадратическое отклонение:

и .

Так как варианта наиболее часто встречается () , то . Объем выборки n=30 - четное число, поэтому средними элементами вариационного ряда являются . Следовательно, выборочная медиана равна

.

Размах варьирования равен разности между наибольшей и наименьшей вариантами, т.е.: .

Ответ:;;;;;

;; .

Пример 2. Производитель разливает пиво в жестяные банки емкостью 200 мл. Автомат по разливу настроен так , что погрешность наполнения составляет мл. Банки упаковываются в картонные коробки по 25 шт.; покупатель требует, чтобы средняя масса упаковки была не меньше указанной на маркировке. Чтобы быть уверенным, что покупатель примет партию, производитель установил разливочный аппарат на 205 мл. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная упаковка не пройдет контроль массы?

Решение: Среднее наполнение банки составляет 205 мл. Со средним квадратическим отклонением 10 мл. Мы имеем случайную выборку объемом n=25 банок. Распределение средних всех возможных выборок равного объема n:

• подчиняется нормальному закону;

• средняя наполняемость равна 205 мл.;

• среднее квадратическое отклонение равно: мл.

Коробки с пивом не пройдут контроля качества, если средняя наполняемость банок в упаковке будет меньше 200 мл. Следовательно, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,0062.