Численное решение интегрального уравнения Сведение интегрального уравнения для тока в проводнике к системе линейных алгебраических уравнений

Одним из эффективных методов численного решения интегральных уравнений является метод Бубнова-Галеркина [5]. Рассмотрим его применительно к интегральному уравнению Поклингтона для тока в тонком проводнике

, (2.1)

где в соответствии с (1.27) ядро интегрального уравнения определяется выражением:. (2.2)

Правая часть зависит от распределения стороннего поля, возбуждающего проводник:

. (2.3)

Функция Грина определяется выражением:

. (2.4)

величины, входящие в (2.1) – (2.4), показаны на рис.2.1.

Рис.2.1. Тонкопроволочная модель проводника

Ток ищется в виде разложения по системе известных ортогональных функций, гдеm – номер функции. Аналогом такого разложения, например, является ряд Фурье, в котором известными ортогональными функциями являются синусоидальная или косинусоидальная. При этом искомыми будут коэффициенты разложения. В отличие от разложения Фурье ток в проводнике ищется в виде ряда с конечным числом членов, что приводит к погрешности в решении. Таким образом, ищется решение уравнения (2.1) в виде: . (2.5)

В (2.5) коэффициенты разложения необходимо определить так, чтобы найденное решение в виде (2.5) наиболее точно описывало решение интегрального уравнения. Для того, чтобы задача была реализуемой, число членов ряда в (2.5) ограничивают некоторым значением М. Найденное таким образом решение будет лишь приближенно описывать действительное распределение тока в проводнике. Это приближенное решение обозначим символом:

. 2.6)

Ортогональность функций понимается в смысле выполнения условия

, (2.7)

где - константа, причем

0 при m=n, (2.8)

=0 при mn. (2.9)

Если условия (2.7) - (2.9) выполняются на всем интервале интегрирования (), функцииназываются базисными функциями полной области. Еслисоставляет часть интервала интегрирования L, функцииназываются базисными функциями подобластей.

Интеграл называется внутренним произведением функцийина интервалеили их скалярным произведением на этом интервале. Примером таких функций являются,на интервале 0 x  2. Действительно,

(2.10)

Как видно, =1, еслиm=n , и =0, еслиmn.

При решении уравнения Поклингтона в качестве базисных функций используются как функции полной области, так и функции подобластей.

Подставляя (2.7) в (2.1), вынося коэффициенты разложения I_m за знак интеграла, получаем:

. (2.11)

Уравнение (2.11) является линейным алгебраическим уравнением относительно неизвестных коэффициентов разложения . Обозначим известные коэффициенты этого уравнения символом:

. (2.12)

С учетом этого уравнение (2.11) запишется в виде

(2.13)

В уравнении (2.13) число неизвестных коэффициентов равно М. Естественно, оно не может быть решено. Число уравнений должно быть также равно М. Для их получения используется система так называемых весовых функций, также ортогональных на интервале L. Обозначим эти функции символом . Условие их ортогональности записывается в виде:

, (2.14)

где B- константа, причем

0 при m=n, (2.15)

=0 при mn. (2.16)

Если условия (2.14) – (2.16) выполняются на всем интервале интегрирования (), функцииназываются весовыми функциями полной области. Еслисоставляет часть интервала интегрирования L, функцииназываются весовыми функциями подобластей.

Базисные и весовые функции называются ортонормированными, если при m=n выполняются условия:

при m=n, (2.17)

при mn. (2.18)

Обычно используются именно такие базисные и весовые функции.

Система из М линейных алгебраических уравнений получается из (2.13) в результате следующих операций, называемых процессом Бубнова-Галеркина. Уравнение (2.13) последовательно умножается на весовые функции , гдеn=1, 2, 3,…M, и интегрируется по интервалу L. В результате получается система уравнений вида:

, (2.19)

где , (2.20)

. (2.21)

В (2.21) n=1, 2, 3,…M; m=1, 2, 3, …M. Система (2.19) в развернутой форме имеет вид:

(2.22)

Систему (2.22) можно записать в матричной форме:

, (2.23)

где I – матрица-столбец искомых коэффициентов ;

K – квадратная матрица коэффициентов ;

U – матрица-столбец коэффициентов .

Система линейных алгебраических уравнений (2.23) – сокращенно СЛАУ решается численно методами линейной алгебры. Например, решение можно записать в виде:

, (2.24)

где - квадратная матрица, обратная матрицеK.

Смысл процесса Бубнова-Галеркина более наглядно представлен lдалее при решении конкретных примеров отыскания тока в тонкопроволочных антеннах методом интегральных уравнений.