Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Контрольная работа 1,2 по ВМ для зачников вариант 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

629.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Задача 44. Составить уравнение линии, каждая точка которой

тов

ан ходи ся вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-2,0).

аРешение:

Каждзя точка

искомой прямой должна удовлетворять условию

=иy + (1− x)

ек

http://wwwс другойнстороны, она должна также удовлетворять условию

(2r)

= y

+ (2 + x)

ра

следовательно, искомая прямая есть решение системы

= y

+ (1− x)

нт

бот

= y

+ (2

+ x)

(2r)

р2

+ 4

−8x = y

+ 4

+ x

+ 4x

+3x

−12x = 0

+ x2 − 4x = 0		-	ль
na4
	.		ны
		na4

	y
by/		. е
		. е
		by		р
	-			р
	лу			або
		Х
2r			r
2r		ч		т
		y		т
		ш		ы
В		xи
В				А	x
			е		x
			е

це н

ка ч е ств о

Г
		Задача 54. Доказать совместность данной системы линейных
уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса;																																										2) средствами
	о
мтричн			го исчисления.
	тов
а				+5x3 =4,
	2x1−x2			+5x3 =4,
газ
5x1+2x2				+13x3						=2,
			ы
	3x −x			+5x				=0.
	ие
	1		2			3
http://wwwРешение
	нра
						к
	Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу
								о									5										2 −1 5									4
								о
										2			−1

системы В:				А−								нт																		2		13				2 .
системы В:				А−						5				2			13 , В = 5													2		13				2 .
				бот											о												3 −1 5									0
										3			−1				5										3 −1 5									0

Вертикальной.														р
Вертикальной.							чер ой мы												тделили элементы матрицы системы от
свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В.
									-								ль
		Для этого проведём преобразования матрицы В:
	na4
		1) Отнимем от элементов второй строки элементы третьей строки,
	2)			.																							а (-1) и прибавим третью строку;
	2)		Первую строку умножим																								а (-1) и прибавим третью строку;
	3)		Вторую строку сложимныс первой строкой, умноженной на (-2);
								na4
			Третью строку сложим с первой строкой, умноженной на (-3);
			by/														.										е
																	.										е
		4) Третью строку умножаем на 3, прибавляем к ней вторую.
								2					−1 5						4								2	−1 5 4								1 0 0					4
																		by											р
												-																	р
				В ~								-						2				~1					2 3 8 2							~2			2 3 8
				В ~					5 2 13									2				~1					2 3 8 2							~2			2 3 8				2 . ~

								1					0лу0 4													1 0				0або4									1 5		0
									3				−1 5						0								3	−1 5 0									3	−	1 5		0

						3																	4
				~				0 3 8								ч															10 .
				~				0 3 8								10					~					0 3 8					10 .
																																	т
								0					−1	5																	46
								0					−1	5			ш12 0 0 23														46				ы


	Отсюда следует, что r(В)=3, м нор третьего порядка матрицы А
																					и
М3 =		2	−1	5								2		13						5 13					е5 2
		2	−1	5
		5	2	13			2										1															= 2			(10 +13) +1 (25 −39) +5 (−5 −6) =
		5	2	13	=		2				−		1	5	+		1			3			5			+5		3		−1		= 2			(10 +13) +1 (25 −39) +5 (−5 −6) =
		3	−1	5							−		1	5						3			5					3		−1
		3	−1	5																							це
= 46 −14 −55 = −23 ≠ 0.																											це
= 46 −14 −55 = −23 ≠ 0.
	Следовательно, r(B) = r(A) = 3, т.е. да																															ая система совместна.
																													н											1	0	0	− 4
																													н											1	0	0	− 4
																														ы
	Но		последняя											преобразованная																ы								В		0	3	8	10 - это
	Но		последняя											преобразованная																матрица								В		0	3	8	10 - это

																						х					= −4					и								0	0	23	46
																																								0	0	23	46


																								1						=10					ка
расширенная матрица системы 3х2 +8х3																														=10
																						23х3 = 46
																																						ч
																																						ч
"Обратным ходом" метода Гаусса из последнего уравнения системы находим
х3 = 2; из второго х2 = – 2; из первого х1 = – 4																																						е
					х1		= −4																																ств
					х1		= −4
	Ответ:				х2 = −2
				х3			= 2																																		о
																																									о

о2) Решение матричным методом:

-1

, обратную матрице А.

Прежде всего, найдем матрицу А

тов

аОпредели ель основной матрицы системы:

газ

−1

= 2 23 +1 (−14) +5 (−11) = −23 .

= 2

−1

Алгебра ческие дополнения всех элементов:

http://www

−1

= 23, А21 = −

= 0, А31 =

= −23

А11

−1

о−1 5

ра

нт=14, А =

= −5, А

= −

= −1

А = −

бот5

−1

-3 −1

= −11, А

= −

−1

= −1,

na413

ль

−1

−

−1

na4

Отсюда

−

−1

−14 / 23 5 / 23

1/ 23

by/− 23

−1

ны

1/ 23

−9 / 23

−

11/ 23

Тогда

Х = х2

−1

або−1 4 + 0 2 +1 0

− 4

лу

х3

−1

В = −14 / 23 5 / 23

1/ 23

= −14 / 23 4 +т5 / 23 2 +1/ 23 0 = − 2

11/ 23 1/ 23

−

9 / 23ш0 11/ 23 4 +1/ы23 2 −9 / 23 0

и, следовательно х1=-4; х2=-2; х3=2.

це

ка

ств

Г
Задача 64. Найти размерность и базис пространства решений однородной
системы линейных уравнений
	о
м
5x1−5x2 +10x3 −x4 =0,
а			тов
		3x +x +7x +x =0,
газ1 2								3							4
			1	2				3							4
x +7xы+4x +3x =0.
			Решениее:
	и
http://wwwнДа ая сист ма имеет размер 2×3. Она однородна, т.к. свободный член
								к
в каждом у авнении равен нулю. Число уравнений меньше числа
			р
неизвестных. Следвательно, множество решений системы бесконечно.
				а									нт
						5		−5					нт
						5		−5							10				−1

			А		бот												о
			А	=		3			1						7					1				Проведем преобразования:
						1			7							р
						1			7						4					3
			.
			Для этого проведём пре бразования матрицы А:
											-								ль
			1) Отнимем от элементов первой строки элементы второй строки,
		na4
				умноженные на 2;
						.																ны
			2) К первой строке добавим третью;
										na4
			3) Третью строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую строку;
				by/
				5			−5 10								−1						−1			−7		− 4			−3				0		0 0 0					0			0 0 0
					3 1						7						~1		.							е								3	1 7 1						3		1 7 1
			А ~		3 1						7				1		~1				3			1			7			1	. ~2			3	1 7 1			~3			3		1 7 1	.

					1 7						4						by										4р3							1 7 4 3							0 20 5 8
					1 7						4	-3									1			7			4р3							1 7 4 3							0 20 5 8
																																									1		7
																												або													1		7
			Ранг матрицы системы равен двум, т к к к только среди ее миноров
															лу																											3	1
			второго порядка есть отличный от нуля, например минор																																							3	1
																		ч
																		ч
			Следовательно, данная система эквивалентна системе
			3х + х					= −7х						+ х			,		ш													ы
				1			2					3				4	,				и
			х1	+ 7х2 = −4х3 −3х4																	и
																								е												х3 + 2х4
								−12х							−9х			− 21х						е						+	х		х2		=
			Отсюда					−12х						3	−9х		4	− 21х				2	+ х		2	= −7х		3		+	х	4	х2		=		4
			Отсюда											3			4					2			2			3				4					4
								х1		= −4х3 −3х4 −7х2																це							х = − 23х3 − 26х4
																										це							1				4
																																					4
			Следовательно, множество решений системы имеет вид
			−	23с −				26с							с + 2с												н
											;										;		с1;			с2	для	ылюб х с1							,с2

					1	4				2						1	4			2																	R .
						4											4
																																и
																																	ка
																																			ч
																																					е
																																					ств
																																							о

Задача 74. Даны два линейных преобразования. Средствами

м тричн го исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x2′′,x3′′

тов

через

x1,x2,x3.

газ

+5x

x′′=−x′+5x′

−3x′,

x′=4x

+3x

′′

′

http://www′

=6x

+7x

−x −x ,

н2 1

x′=9x

x′′=7x′+4x′

+8x ;

ра

о2 3

Решение:

нт

бот

.Составим две матрицыо:

na4

−1

− 3

А =

7 1

ль

−1

В =

ны

.1 8

na4

найдем их произведение:

by/

. е

−1 5

−3

3 5

−1

4 +5

6р−3 9 −1 3 +5 7 −3 1 −1 5 +5 1−3 8

або

ВА = 1 −1

−1

лу

1−1 8

7 1

1 4 −1

−1 9

1 3 −1 7 −1 1 1 5 −1

1 8

7 4 + 0 6 + 4 9 7 3 + 0 7 + 4 1 7 5 + 0 1+ 4 8

−1

− 24

−11

−5

− 4

Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:

х ″ = −х					+	29х	2	− 24х		3
	1		1
	х2	″	= −11х1			−5х2			− 4х3

	х3	″	= 64	х1 + 25х2					+ 67х3

це н

ка ч е ств о

Задача 84. Найти собственные значения и собственные векторы

линейнгопреобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

тов

−7

газ

−3

0 .

ие

−3

http://www

Решение:

Характе истическое уравнение данного преобразования имеет вид:

−3

1−λ

нт0

5 −λ

−7а0

.бот

6 −3 −λ

Корни этого уравнения следующие: λ1

= −3; λ2 = 8 ; λ3 = −2

na4

Все корни являются собственнымиль

числами.

ны

λ1 = −3

Чтобы найти собственный вектор с собственным числом

na4

полагаем в системе

= −3. Получим

by/

. е

8х −7х

= 0

−3х1 + 4х2 =

х2 = 0

12х1 + 6

лу

Решение этой системы можно запис ть в виде

х1 = s1 ; х2 = −2s1 ; х3

= s2

бо

Вектор

−

sш) , где s

— люб е числа, удовлетворяющие

условию

данного

2 + s2

≠ 0 ,

является

собственн м вектором

преобразования с собственным числом λ1 = −3.

Аналогично находим собственный вектор с собственным числом λ2 = 8

−3х1 −7х2 = 0

це

−3х1 −7х2 =

х2 −11х3 = 0

12х1 + 6

х1 = t ; х2 = −

3 t ;

= 6 t

х3

Вектор

−

где

— любое число, удовлетворяющее

y(t,

7 t,

7 t) ,

ка

условию t ≠ 0 , является собственным вектором д нного преобразования

с собственным числом λ2 = 8 .

ств

Г							находим		собственный вектор с собственным числом
5.	Аналогично						находим		собственный вектор с собственным числом
λ3 о= −2 :
м	тов12х + 6х −				х		= 0
а	7	х −	7х	= 0
а		1	2
	−3х1 +3х2 = 0
газ

		1		2	3
	х1 =ыq ; х2 = x1 = q ; х3 =18q
ие
	Вектор z(q,					q, 18q), где q — любое число, удовлетворяющее условию
http://www
нра										вектором данного преобразования с
	q ≠ 0 ,		являетсяксобственным							вектором данного преобразования с
	собственнымчислом λ3								= −2 .
							нт
	.бото
							р
na4					-			ль
na4
			.						ны
					na4
		by/						. е
								. е
							by			р
							-			р
							лу			або
							ч			т
								ш		ы
									и
									е
									це
										н
										ы
										и
										ка
										ч
										е
										ств
										о

Задача 94. Привести к каноническому виду уравнение линии второго

порядка, используя теорию квадратичных форм.

2xy +3y2 =14.

5x2

тов

газ

Решение:

ВведемыобозначениеL(x, y) = 5x2

+ 4

x +3y2 . Тогда матрица данной

квадрат чной формы

ек

http://www5 2

нA =

Найдем собстве

ые значения этой матрицы. Ее характеристическое

уравнениеримеетавид

.бото

−λ

2 2

= λ2

−8λ + 7 = 0

3 −λ

откуда λ1 = 7 ; λ2

=1. Т гда квадратичная форма имеет следующий

′2

ль

канонический вид:-L (x , y ) =

+ y

. Переходя к исходному уравнению,

na4

′

′ ′

′2

получаем 7x

+ y

=14 . Т.е. имеем эллипс

+ 14

ны

x′

y.′

na4

by/

. е

лу

або

це

ка

ств

y = f (x) преобразованием

Задачао104. Построить график функции

y = sinx.

гр фика функции

товy = 2sin

x+2 .

ы3

газ

Решение:

ие

http://www

функции

y = sinx:

Построим

график

Т=π

ра

нт

р1

бот

na4

ль

2π

3π x

-2π

-π

.na4-1

by/

ны

График общей синусоиды.у =еAsin(ωx +ϕ0 ) с амплитудой А = 2 ,

круговой частотой

by4

= 2 получим синусоиды

ω =

и фазой ϕ0

- 3

последствием преобразований:

растяжением в А = 2 раз в направлении оси X ,

растяжением в

3лу

або

4 раз в направлении оси Х

= −6

и последующим параллельным переносом по оси Х

на −ϕ0

Т=3/ 4π

це

3/ 4π

6/ 4

-2

ка

ств

r = f (ϕ) на отрезке 0 ≤ϕ ≤ 2π . Требуется:

Задача 114. Дана функция

1) п с р и ь график функции в полярной системе координат по точкам,

д вая

значения через промежуток π/8, начиная от ϕ=0;

2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе

координатов, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось

абсцисс– с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет

лин я.

ек

http://www

r =

1−sinϕ

Решение:

ра

1) построим г

фик фу кции в полярной системе координат по точкам, давая

ϕ значения через промежу ок π/8, начиная от ϕ=0;

бо4 т8 2

о8 4

3π

7π

9π

5π

11π

3π

13π

7π

15π

2π

5π

3,24

6,83

26,27

─

26,27

6,83

3,24

1,45

1,17

1,04

1,17

1,45

na4

ль

ны

na4

by/

. е

або

лу

це

ыr

2) найдем уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе

координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось

абсцисс – с полярной осью.

ка

Из условия 1−sinϕ =

sinϕ =1−

2 , с другой стороныч,

sinϕ =

, отсюда

1− 2 =

y = r − 2; но r 2

= x2

+ y2 r =

+ y2

, следоват льно,

8x2 +16

x2 − 4

ств

−

y = x

+ y

− 2 y

y =

−1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.06.20146.75 Mб103 семестр ФКСиС ПОИТ, 3ий семестр (Лущакова).pdf
#
15.06.201453.25 Кб1174 экзаменационных вопроса по высшей математике.doc
#
15.06.2014109.57 Кб11Аналитическая геометрия [1931 вопросов].doc
#
15.06.20141.6 Mб10ВМ Контрольная работа 1 (7 вариант).doc
#
15.06.2014505.44 Кб24Высшая математика, 2ой семестр (Романчук) [2121 вопросов].docx
#
15.06.2014629.45 Кб21Контрольная работа 1,2 по ВМ для зачников вариант 4.pdf
#
15.06.2014529.92 Кб15КР 1 вар 4.doc
#
15.06.2014348.67 Кб12КР 2 вар 4.doc
#
15.06.2014259.58 Кб23Математический анализ (Мет пособие).doc
#
15.06.2014794.18 Кб56Методические указания и контрольные работы по высшей математике ЖА Черняк, Минск 2004 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014175.1 Кб54Примеры решения дифференциальных уравнений.doc