-
Отношения порядка. Диаграмма Хассе.
Отношение нестрогого порядка – это отношение, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
Отношение строго порядка – это отношение, обладающее свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
Для обоих типов отношений порядка, элементы и сравниваются по отношению порядка , если выполняется или.
Множество, на котором задано отношение порядка, называется линейно (полностью) упорядоченным, если любые два элемента множества сравнимы, а в в противном случае - частично упорядоченным.
Пример
Отношения идля чисел являются отношениями нестрого порядка, отношения < и > – отношениями строгого порядка.
Диаграмма Хассе – это графическое изображение частично или линейно упорядоченных множеств.
Диаграмма Хассе строится следующим образом. Меньшие по порядку элементы располагают ниже, а большие – выше; и проводят линии, показывающие, какой из двух элементов больше, а какой меньше другого.
-
Алгебра. Тип алгебры, сигнатура. Примеры.
Сигнатура алгебры – это множество операций.
Тип алгебры – последовательность рангов операций входящих в сигнатуру.
Ранг операции – к-во операндов.
-
Замыкания и подалгебры.
Про подалгебры:
Алгебра Вета – подалгебра однотипной ей алгебры Альфа, если B – подмножество А и тождественное отображение множества В в А является мономорфизмом, то есть каждая главная операция алгебры Вета является ограничением соответствующей операции алгебры Альфа множеством В.
Про замыкания:
Замыкание в общей алгебре — минимально возможное расширение заданного множества относительно заданного набора алгебраических операций, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы.
16. Свойства бинарных операций. Примеры.
Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции при котором выполняется условие: где — некоторое рассматриваемое множество.
Примеры:
-
Сумма и произведение действительных чисел
-
Конъюнкция и дизъюнкция
-
объединение, пересечение и симметрическая разность множеств
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции при котором выполняется условие: где — некоторое рассматриваемое множество.
Примерами ассоциативных операций являются:
-
сложение действительных чисел:
-
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}умножение действительных чисел:
-
{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}композиция функций
Дистрибутивность (распределительный закон ) — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.
Говорят, что две бинарные операции «+» и «×» удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трёх элементов:,
дистрибутивность слева;
дистрибутивность справа.
17. Комбинаторные задачи. Модели комбинаторных задач
Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.
-
Правила суммы и произведения. Формула включения и исключения.
Правило суммы. Пусть некоторый объект A можно выбрать n различными способами, а другой объект B можно выбрать m способами. Тогда существует n+m способов выбрать либо объект A, либо объект B.
Правило произведения. Пусть объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами. Тогда выбор пары (A,B) можно осуществить n*m способами.
Формула включения-исключения — комбинаторная формула, выражающая мощность объединения конечных множеств через мощности всех множеств и мощности всех их возможных пересечений.
Для случая из двух множеств формула включения-исключения имеет следующий вид:
-
Основные типы наборов комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки.
-
Подсчет разбиений в комбинаторике.