- •1. Элементы теории игр
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Матричные игры
- •1.3. Принцип минимакса. Седловые точки
- •1.4. Смешанные стратегии
- •1.5. Пример полного решения матричной игры
- •1.6. Задания для самостоятельной работы}
- •2.Задача о назначениях
- •2.1. Содержательная постановка
- •2.2. Математическая модель
- •2.3. Венгерский метод
- •2.4. Алгоритм венгерского метода
- •2.5. Пример
- •2.6. Задания для самостоятельной работы
- •3.Задача коммивояжера
- •Постановка задачи
- •Метод ветвей и границ
- •Метод ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.
- •3.4 Пример
- •3.5. Задания для самостоятельной работы
- •4.Динамическое программирование
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Построение модели дп
- •4.3. Построение вычислительной схемы дп
- •4.4. Несколько замечаний к методу дп
- •4.5. Задачи распределения ресурсов
- •5.6. Пример решения задачи распределения ресурсов
- •4.7. Задачи о замене оборудования.
- •4.8. Пример решения задачи о замене оборудования
- •5.9. Задания для самостоятельной работы
5.6. Пример решения задачи распределения ресурсов
Решим задачу распределения ресурсов по следующим данным :
1) = 200 млн. руб.;
2) = 4;
3) средства выделяются только в размерах, кратных 40 млн. руб.;
4) функции дохода заданы в таблице:
40 |
8 |
6 |
3 |
4 |
80 |
10 |
9 |
4 |
6 |
120 |
11 |
11 |
7 |
8 |
160 |
12 |
13 |
11 |
13 |
200 |
18 |
15 |
18 |
16 |
Этап . Условная оптимизация.
Последовательно вычисляем ; ;;.
Считать начинаем с последнего шага . Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид (25):
,
где - это количество средств, остающихся после выделения средств предприятиям. Вычисления оформляем в таблице
= 4
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
40 |
80 |
6 |
80 |
120 |
8 |
120 |
160 |
13 |
160 |
200 |
16 |
200 |
Вычисления на последующих шагах осложняются тем, что необходимо учитывать найденную из предыдущего шага функцию .
Рассмотрим подробно вычисления для шага =3. Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид:
.
Запишем вычисление для всех допустимых значений.
, ;
, .
,
,
,
,
Эти вычисления оформляем в таблицу для шага =3:
= 3
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
0 |
80 |
7 |
40 |
120 |
9 |
40 |
160 |
13 |
0 |
200 |
18 |
200 |
Вычисления для шага =2 проводятся аналогично. В результате получается таблица:
= 2
0 |
0 |
0 |
40 |
6 |
40 |
80 |
10 |
40 |
120 |
13 |
80 |
160 |
16 |
80 |
200 |
13 |
40 |
Поскольку начальное состояние фикировано (общее количество выделяемых средств), то для шага=1 вычисления проводятся только для значения=200.
, .
Этап . Безусловная оптимизация.
Находим безусловные оптимальные управления, используя уравнения состояний ,:
.
.
Ответ. Оптимальные вложения: ,,,. Максимальный суммарный доход.
Следует отметить, что таблицу 1-го шага достаточно было заполнить для начального состояния =200 млн. руб. Полная таблица шага 1 дает решение не одной задачи, а множества задач с любыми значениямиот 40 до 200. При увеличении начальных средств до 240 необходимо в каждой-ой таблице добавить еще одну строку, соответствующую начальному состоянию=240$.
4.7. Задачи о замене оборудования.
Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими
словами, старого оборудования - на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.
Построим модель ДП для следующей задачи о замене оборудования [6].
Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны:- начальная стоимость оборудования;- стоимость производимой продукции на оборудовании возрасталет;- ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возрасталет;- ликвидная стоимость оборудования возрасталет.
При составлении модели ДП процесс замены рассматриваем как -шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца и т.д.) принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, поэтому управление на-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (и/или условные затраты) при сохранении оборудования, другая - тот же показатель при замене оборудования.
Состояние системы в начале -го шага- возраст оборудования. В конце-го шага под влиянием управлениясистема перейдет в состояние(возраст оборудования увеличится на один год). Под влиянием управлениясистема из состоянияперейдет в состояние(замену произвели в начале-го года, возраст нового оборудования равен одному году).
Уравнение состояний имеет вид
Используя обратную вычислительную схему, получим рекуррентные соотношения Беллмана:
Полученное в результате решения задачи оптимальное управление представляет собой набор управленийи.