Вопрос 19

Моменты распределения. При решении многих практических задач нет особой необходимости в полной вероятностной характеристике каких-либо случайных величин, которую дает функция плотности распределения вероятностей. Очень часто приходится также иметь дело с анализом случайных величин, плотности вероятностей которых не отображаются аналитическими функциями либо вообще неизвестны. В этих случаях достаточно общее представление о характере и основных особенностях распределения случайных величин можно получить на основании усредненных числовых характеристик распределений.

Числовыми характеристиками случайных величин, которые однозначно определяются функциями распределения их вероятностей, являются моменты.

Начальные моментыn-го порядка случайной величины X (или просто моменты) представляют собой усредненные значения n-й степени случайной переменной: m_nМ{Xⁿ}=xⁿp(x) dx, где M{Xⁿ} и- символические обозначенияматематического ожиданияи усреднения величины Хⁿ, которые вычисляются по пространству состояний случайной величины Х.

Соответственно, для случайных дискретных величин: m_nМ{Xⁿ}=x_iⁿp_i.

Центральные моменты n-го порядка, это моменты относительно центров распределения (средних значений) случайных величин:

_nM{(X-)ⁿ}=(x-m₁)ⁿp(x) dx

_nM{(X-)ⁿ}=(x_i-m₁)ⁿp_i, где- начальный момент 1-го порядка (среднее значение величины Х), X₀= X-- центрированные значения величины Х.

Связь между центральными и начальными моментами достаточно проста:

₁=0,₂=m₂-m₁²,₃=m₃-3m₂m₁+2m₁³,₄=m₄-4m₁m₃+6m₁²m₂-3m₁⁴, и т.д.

Соответственно, для случайных величин с нулевыми средними значениями начальные моменты равны центральным моментам.

По результатам реализации случайных величин может производиться только оценкамоментов, т.к. количество измерений всегда конечно и не может с абсолютной точностью отражать все пространство состояний случайных величин. Результаты измерений -выборкаиз всех возможных значений случайной величины (генеральной совокупности). Оценка моментов, т.е. определение средних значений n-й степени по выборке из N зарегистрированных значений, производится по формулам: = (1/N)x_iⁿ, = (1/N)(x_i-)ⁿ

Вопрос 20

Равномерным называют распределение вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности р(х)dx=1. Для С.В., имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала (х,х+дельта) прин. [a,b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{x<X<x+дельта}=интеграл от х до х+дельта 1/b-adt=дельта/b-a. Функция распределения Х имеет вид: F(x)=0, при х<=a, x-a/b-a,при a<x<=b,1при х>b.

Вопрос 21

Случайная величина Х с функцией распределения

F(x)= {0,x<0,

{1- e^–μxx0

называется распределённой по показательному закону с параметром μ. Плотность распределения этой случайной величины получается путём дифференцирования:

f(x)={0,x<0,

{μe^–μxx0.

Интервал времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределённой по показательному закону.

MX=1/μDX=1/μ²