- •«Омский государственный технический университет» Векторная алгебра Омск - 2011
- •Содержание
- •Предисловие
- •1. Векторы и линейные операции над ними
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над геометрическими векторами
- •1.3. Свойства линейных операций
- •1.4. Линейная зависимость между векторами
- •2. Линейные операции над геометрическими векторами в координатной форме
- •2.2. Проекция вектора на ось
- •2.3. Составляющая вектора на оси. Связь между составляющей и проекцией
- •2.4. Координаты вектора в дск
- •2.5. Радиус-вектор точки. Координаты точки в пространстве
- •2.12. Координаты единичного вектора. Направляющие косинусы
- •3. Скалярное произведение двух векторов
- •2. Свойства скалярного произведения.
- •4. Векторное произведение двух векторов
- •2. Свойства векторного произведения
- •4. Физический смысл векторного произведения.
- •5. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трёх векторов
- •2. Свойства смешанного произведения.
- •Методические указания к решению задач индивидуальных домашних заданий (идз)
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение двух векторов и его приложения
- •3. Векторное произведение двух векторов и его приложения
- •Смешанное произведение трёх векторов и его приложения
- •7. Индивидуальные домашние задания
- •З а д а ч а 1
- •З а д а ч а 2
- •З а д а ч а 3
- •З а д а ч а 4
- •2. Даны три вектора: ,,.
- •З а д а ч а 5
- •1. Даны три вектора силы: ,,. Найти работу, совершаемую равнодействующей этих сил при перемещении
- •З а д а ч а 6
- •З а д а ч а 7
- •З а д а ч а 8
- •1. Даны вершины треугольника ,,. Вычис-
- •З а д а ч а 9
- •З а д а ч а 10
- •4.1. Контрольные вопросы
- •Список литературы
З а д а ч а 6
1. Векторы иобразуют угол. Зная, что,
вычислить: а) ; б).
2. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить: а); б).
3. Вычислить , если,.
4. Упростить: .
5. Даны точки A(2, 1, 2),В(1, 2, 1) иC(3, 2, 1). Найти координаты
векторных произведений: а) , б).
6. Упростить: .
7. Упростить .
8. Упростить .
9. Даны точки A(3, 2, 3),В(2, 3, 1) иC(4, 1, 2). Найти координаты
векторного произведения .
10. Упростить: .
11. Упростить: .
12. Упростить: .
13. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах:
и , гдевзаимно перпендикулярные орты.
14. Найти модуль векторного произведения , если единичные векторыиобразуют угол.
15. Доказать, что .
16. Доказать, что .
17. Вычислить .
18.Найти координаты векторного произведения , если.
19. Вычислить .
20. Упростить .
21. Найти координаты векторного произведения , если
А(1, 2, 0), В(1, 1, 1) иC(2, 1, 1).
22. Найти , если.
23. Вычислить , если, и угол между
векторами иравен.
24. Векторы иобразуют угол, причём.
Вычислить .
25. Вычислить , еслии.
26. Найти координаты векторного произведения , если
А(1, 1, 1),В(2, 1, 0) , С(1, 2, 1).
27. Упростить: .
28. Вычислить , еслиA(1, 1, 0), В(2, 1, 1), С(1, 1, 1).
29.Упростить: .
30. Упростить: .
З а д а ч а 7
1. Даны три силы , приложенные к точкеB(3, 2, 1). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки A(1, 2, 3).
2. Сила приложена к точкеA(2,1,1). Определить момент
этой силы относительно начала координат, а также направляющие косинусы момента этой силы.
3. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно точкиA(3,2,1) и направляющие косинусы этой силы.
4. Даны три силы , приложенные к точкеC(1,4,2). Определить величину и направляющие косинусы равнодей-
ствующей этих сил относительно точки A(2, 3, 1).
5. Даны три силы , приложенные к точкеA(3, 4, 5). Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки B(0, 1, 2).
6. Сила приложена к точкеA(10, 5, 10).Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точкиO(0, 0, 0).
7. Даны три силы , приложенные к точке. Найти момент равнодействующей этих сил относительно точки.
8. Сила приложена к точкеA(5, 1, 4). Определить величину момента этой силы относительно точкиB(4, 3, 0) и орт вектора .
9. Сила приложена к точкеA(4, 2, 3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точкиC(2, 4, 0).
10. Даны три силы , приложенные к точке. Найти величину момента равнодействующей этих сил относительно точки.
11. Вычислить величину момента равнодействующей сил и, приложенных к точкеA(0, 2, 0), относительно начала координат.
12. Сила приложена к точке. Найти направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.
13. Сила приложена к точке. Найти величину и
направляющие косинусы момента этой силы относительно точки .
14. Силы иприложены к точке. Вычислить величину момента равнодействующей этих сил, относительно точки.
15. Даны три силы , приложенные к точке. Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки.
16. Сила приложена к точке. Определить момент
этой силы относительно начала координат и его направляющие косинусы.
17. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно точкии направляющие косинусы момента.
18. Даны три силы , приложенные к точке. Определить величину момента равнодействующей этих сил и направляющие косинусы этого момента относительно точки.
19. Силы приложены к точке. Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки.
20. Сила приложена к точке. Определить направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.
21. Силы приложены к точке. Найти момент равнодействующей этих сил относительно точки.
22. Силы иприложены к точке. Найти величину момента равнодействующей этих сил относительно точкиO(0, 0, 0).
23. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно точкии орт вектора.
24. Сила приложена к точке. Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки.
25. Вычислить момент равнодействующей двух сил и, приложенных к точке, относительно начала координат.
26. Сила приложена к точке. Найти величину момента этой силы относительно начала координат и орт вектора.
27. Сила приложена к точке. Найти величину
момента этой силы относительно точки и орт вектора.
28. Силы приложены к точке. Определить величину момента равнодействующей этих сил относи-
тельно точки .
29. Дана сила и точка её приложения. Найти момент силы относительно точкии направляющие косинусы момента.
30. Три силы приложены к точке. Найти величину и направление момента равнодействующей этих сил относительно точки.