- •Теоретическая механика
- •Оглавление
- •1. Статика
- •2. Кинематика материальной точки Задание 2.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
- •Задание 2.2. Сложное движение точки. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
- •3. Динамика материальной точки Задание №3.1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
2. Кинематика материальной точки Задание 2.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 2.1:Таблица 2.1
Номер варианта |
Уравнения движения | ||
1 |
½ | ||
2 |
1 | ||
3 |
1 | ||
4 |
2 | ||
5 |
1 | ||
6 |
½ | ||
7 |
1 | ||
8 |
1 | ||
9 |
2 | ||
10 |
1 | ||
11 |
½ | ||
12 |
1 | ||
13 |
1 | ||
14 |
2 | ||
15 |
1 | ||
16 |
½ | ||
17 |
1 | ||
18 |
1 | ||
19 |
1 | ||
20 |
0 | ||
21 |
1 | ||
22 |
¼ | ||
23 |
1 | ||
24 |
1 | ||
25 |
1 | ||
26 |
1 | ||
27 |
1 | ||
28 |
1 | ||
29 |
1 |
Пример выполнения задания
Дано:
, (2.1)
(x и y – в см, t и t1 – в с).
Найти: 1) вид траектории;
2) для t=t1 положение точки на траектории;
3) .
Решение:
1) Уравнение движения (2.1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (2.1).
Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис. 2.1.
2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t=1 с:
Вектор скорости точки
. (2.2)
Вектор ускорения
(2.3)
Здесь – орты осейи;– проекции скорости и ускорения точки на оси координат.
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (2.1):
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
, (2.4)
,
,
и модуль ускорения точки:
, (2.5)
Модуль касательного ускорения точки
, (2.6)
или
; (2.7)
выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направлениеисовпадают; знак «–» – что движение замедленное.
Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени
Модуль нормального ускорения точки
. (2.8)
Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле
. (2.9)
При движении точки в плоскости формула (2.9) принимает вид
.
Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:
. (2.10)
Воспользуемся в нашем случае формулой (2.10)
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:
. (2.11)
Тогда
На рис. 2.1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющими, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Векторстроим по составляющимии затем раскладываем на составляющиеи. Совпадение величини, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.