Реализм

2. РЕАЛИЗМ

Позиция реализма, в отличие от номинализма, казалось бы, есть только декларация убеждений, вводное заявление, не имеющее влияния на математическую работу, которое, самое большее, открывает своим последователям некоторые глубоко философские проблемы. Номинализм, по крайней мере, заставляет своих сторонников приложить руки к математике, наложить на нее какие-то ограничения или предложить ее реконструкции, в то время как реализм кажется более созерцательным по своей природе.

Реализм – возможно, первая, собственно говоря, философия математики в узком смысле этого термина, то есть философия, поддержанная математиками, при этом даже частично независимая от основных философских теорий. С самого зарождения греческой математики реализм был способом утвердить теоретическое достоинство этой дисциплины, отделить геометрию от размежевания в земледелии, арифметику от логистики (распределения ресурсов), предлагая математикам свой собственный объект изучения, стоящий над методами прикладных расчетов и измерений. Мы находим это, с некоторыми платоновскими акцентами, у Прокла (IV в.): идеализации геометрической науки представляют собой врожденные идеи, предшествующие любому опыту и не зависящие от него1.

Эта традиция переходит к Декарту2:

Когда я представляю себе треугольник, то, хотя такой фигуры, быть может, нигде на свете, кроме как в моей мысли, не существует и никогда не существовало, все равно это не является причиной того, что не существует ее

1Proclo, Commento al primo libro degli Elementi di Euclide, под ред. M. Timpanaro Cardini, Pisa, Giardini, 1978.

2R. Descartes, Méditations métaphysiques (1641, 1647); ит. перевод Meditazioni metafisiche, Bari, Laterza, 1986, p. 60; рус. перевод Декарт Р. Со-

чинения в 2 т.: Пер. с лат. и фр. Т. 2 / Сост., ред. и примеч. В.В. Соколова. – М.: Мысль, 1994. С. 52. – Прим. переводчика.

105

Философия математики: наследие двадцатого столетия

определенная природа, или сущность, или, наконец, неизменная и вечная форма, которая не вымышлена мною и не зависит от моего ума.

В дальнейшем положения реализма прорабатываются и обогащаются вследствие возросшей сложности математики. Это течение в современную эпоху представляет собой общую колыбель разнообразных концепций, иногда даже конфликтующих между собой как с точки зрения онтологии, так и эпистемологии.

Нельзя сказать, что реализм допускает существование всех математических объектов, о которых говорится в разных частях математики. Линия раздела зависит в целом не только от философских соображений. Она обычно определяется научными или математическими предпочтениями по поводу того, как нужно заниматься математикой. Рассмотрим подход Куайна, который можно назвать научным реализмом. В соответствии с ним все математические понятия, необходимые для науки, имеют законное право на существование, какими бы абстрактными ни были (действительные числа, например), но только они. Остальное можно классифицировать как вздумается.

Далее, простой реализм, используя терминологию П. Мэдди (Penelope Maddy)3, утверждает, что теория множеств или же, в этом контексте, математика, представляет собой изучение объективного универсума, мира множеств. Гиперплатонизм (Plentiful4 Platonism), наоборот, признает существование многих объективных миров, соответствующих каждой непротиворечивой теории, сформулированной с использованием логики первого порядка.

Эти два подхода имеют различные последствия. Сквозь призму первого подхода высказывания типа континуум-гипотезы5, ко-

3 P. Maddy, How to be a naturalist about mathematics, in Truth in Mathematics, под ред. H.G. Dales и G. Oliveri, Oxford, Oxford Univ. Press, 1998, pp. 161–180.

4Обильный, изобильный, богатый (англ. – прим. переводчика).

5Континуум-гипотеза говорит, что не существует бесконечных кардинальных чисел между кардинальным числом, соответствующим множеству натуральных чисел, и кардинальным числом, соответствующим множеству вещественных чисел.

106

Реализм

торые являются неразрешимыми6 с точки зрения современной общепринятой теории, т.е. теории Цермело–Френкеля ZFC или ее расширений, такие высказывания, тем не менее, имеют значение истины, значение, еще нам неизвестное, для универсума которого аксиомы ZFC являются описанием, естественно, неполным. Рассматривая теорию множеств через призму второго подхода, можно сказать, что эти высказывания не имеют значения истины. Есть универсумы, в которых они верны, и универсумы, в которых ложны: есть различные миры.

Внешний оксиморон не должен удивлять. В некоторых интерпретациях квантовой механики также говорится о параллельных (материальных) мирах. В математике термин «универсум» может рассматриваться буквально простыми реалистами или же может быть устранимым для других, которые все же его используют для удобства. Под «универсумом» понимается совокупность множеств, существование которых обусловлено определенной теорией. Их может быть несколько, поскольку общепризнанная теория является неполной, и всегда та или иная теория множеств (с эффективной логикой в основе) будет неполной.

Тот, кто посвящает свои исследования доказательствам независимости, или они присутствуют в значительной мере в его изысканиях, тот с трудом признает, что думает об одном единственном мире. В противном случае теряется смысл его деятельности и разработанные модели остаются лишь техническими формальными ухищрениями. Часто философия математиков представляет собой только способ придать смысл и значение тому, что они делают, является лишь определенным психологическим дополнением. Так тот, кто занимается теориями, которые предполагаются (или, по крайней мере, задумываются) категоричными, то есть с одной единственной реализацией, на изучение которой и направлено его исследование, склоняется к реализму, поначалу в отношении своих объектов, а затем, из-за демократической уступки, и в отношении всех остальных. Другой же, изучающий теории со многими реализациями или моделями и заинтересованный именно в ис-

6 Не являются ни доказуемыми, ни опровержимыми.

107

Философия математики: наследие двадцатого столетия

пользовании этого разнообразия воплощений, обычно ориентирован на гиперплатонизм, если он реалист. Среди этих последних находятся, прежде всего, алгебраисты. Среди первых – специалисты по математическому анализу.

Реализм, однако, не ограничен рассмотрением только множеств. Тезис о том, что математические объекты являются множествами, не принадлежит реализму. Гиперплатонизм, подобный тому, который описан у П. Мэдди, но без требования того, что модели каждой теории являлись бы множествами, действительно имеет своих сторонников7. Его можно было бы назвать структурализмом, термином, который зарезервирован для особенного направления, обсуждаемого далее. Назовем структурализмом простое положение о том, что каждая непротиворечивая теория определяет класс структур, ее модели и рассуждает о них без обязательств пояснения того, что представляют собой эти самые структуры. Тогда, платоновским структурализмом, или гиперплатонизмом, назовем тот, в котором структуры представляют собой множества.

В некоторых версиях реализма и структурализма попытка свести объекты и структуры к множествам может подвергнуть опасности как их настоящую природу, так и их обоюдную автономность.

Следуя традиционной философской терминологии, в конфронтации структурализма и простого реализма мы встречаем проблематику плюрализма или монизма реальности. Все ли математические объекты по своей сути имеют одну природу, или же существуют различные их типы, каждый со своей собственной натурой и действительностью?

Когда объектами изучения математики были только количество, пространство и порядок, никто не предполагал, что речь шла об одной и той же вещи, хотя развитие аналитической геометрии уже давало повод для иного сценария развития событий8. Монизм

7К примеру, M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит.

8Известно, что в греческой доевклидовой математике числа были геометрическими формами.

108

Реализм

начинает утверждаться только после периода арифметизации Анализа9 и последующего прихода унифицирующей теории множеств.

Даже формалист мог бы признать структурализм. Каждая теория опирается на свое собственное основание. В данном случае для формалиста – это формальная система без конкретной интерпретации, однако с возможной безвредной или, лучше сказать, нематематической добавкой, утверждающей, что из непротиворечивости следует существование. Достаточно сказать, что это предположение (или этот логический результат) является метафизическим дополнением без какого-либо значения и важности для математики10. Нам кажется, что структуралист и формалист Бурбаки поддержал бы такой подход. В действительности11,

что касается оснований, то мы верим в реальность математики, но, естественно, когда философы атакуют нас со своими парадоксами, мы спасаемся с помощью формализма и отвечаем, что математика есть только манипуляция символами, лишенными смысла, и, затем, пишем Главы 1 и 2 [Элементов] с теорией множеств. В конце концов, нас оставляют в покое, и мы можем вернуться к математике и заниматься ею как ранее, т.е. с ощущением, которое имеет каждый математик, что он работает с чем-то реальным. Возможно, это ощущение – иллюзия, но очень удобная. Таков подход Бурбаки в отношении оснований.

Реализму также не присуща онтологическая озабоченность, по крайней мере, в области философии математики. Он заинтересован прежде всего в истинности математических высказываний. По мнению М. Резника (Michael Resnik)12, истинный реализм характеризуется тремя положениями: 1) сущности, о которых говорится в

9По истории арифметизации см. L. Geymonat, Storia e filosofia dell’Analisi infinitesimale, Torino, F.lli Bocca, 1948.

10По правде говоря, аргумент, который здесь используется, очень близок к тому, что используется в онтологическом доказательстве существования Бога.

11J. Dieudonné, Les methods axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques, in Les grands courants de la pensée mathématique, под ред. F. Le Lionnais (1948), 2 ed., Paris, A. Blanchard, 1962, pp. 543–555.

12M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит.

109

Философия математики: наследие двадцатого столетия

математических теориях, существуют; 2) теории, которые их рассматривают, являются (в целом) верными; 3) их истинность независима от нашего познания и, в случае их знания, от нашего способа их познания. Однако эти три особенности можно встретить порознь – в философии никто не может отдавать приказы или, другими словами, никто их не исполняет.

Простой реалист является реалистом не только в онтологическом плане, но также и в плане того, что касается значений истины. Последователь гиперплатонизма является онтологическим реалистом. Он признает реальность понятий, но не истинность математических суждений, поскольку допускает только истины относительно структур. Рядом с онтологическим реализмом обнаруживается, следовательно, гносеологический или логический реализм, что представляет собой не что иное, как признание аристотелевского принципа двузначности для каждого утверждения.

Одно из определений реализма значений истины, которое, кажется, предложено М. Даммитом (Michael Dummett), следующее13:

Реалист (по отношению к теории или к какому-то типу изложения) утверждает, что 1) высказывания теории или изложения являются истинными или ложными и 2) что все то, что их делает истинными или ложными, является чем-то внешним, то есть, в целом, речь не идет о наших сенсорных характеристиках, реальных или потенциальных, или о структуре нашего ума, или о нашем языке и так далее. Это внешнее должно, конечно, быть реальным, но не обязательно представлено сущностями, к которым высказывания относились бы (это потребовало бы наличия предварительной теории значения). Этим внешним могла бы быть любая вещь, например, общество. На основе такой формулировки можно быть реалистами по отношению к математической теме без принятия на себя обязательств по поводу существования «математических объектов».

Трудно представить, откуда могла бы прийти идея подобной формы реализма, если не из размышлений над математикой.

13 Цит. в H. Putnam, What is mathematical Truth, in Philosophical Papers, 2 voll., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1975, перепечатано в T. Tymoczko,

New Directions, уже цит., p. 57; итал. перевод Che cosa è la verità matematica, in H. Putnam, Matematica, materia e metodo, Milano, Adelphi, 1993, pp. 80–98.

110

Реализм

Прежде чем излагать ее, необходимо признать основную совокупность утверждений, которые считались бы истинными.

Реализм без объектов может быть узнан в логицизме. Для Г. Фреге числа были концепциями. Основной вопрос не был вопросом об объектах, но об объективности математики, противопоставленным вопросу о существовании объектов или их существовании, достоверном в наших умах, как индивидуальных, так и разуме коллективном, или трансцендентальном. Для того чтобы утверждать, что концепции являются внешними, достаточно отвергнуть понятие разума (и сказать, что объекты существуют). С точки зрения Даммита, Канта нельзя считать реалистом, но, вероятно, можно рассматривать реалистом гносеологическим.

Признав математические понятия как концепции, необходимо пояснить, каким образом возможно принять их в качестве объекта изучения и что будет ключиком, дающим эпистемологический доступ к их изучению. Для Фреге – это логика, одинаково объективная и не относящаяся к уму, однако не очевидно, что в этом случае не остается вопросов. Является ли изучение концепций эквивалентом их корректного использования? Или же, возможно ли производить нелогичные, ошибочные, к примеру, рассуждения над концепциями? Тогда нужна способность доступа, которая, поскольку другого не видно, имела бы отношение к уму, ранее исключенному из рассмотрения. Это проблемы, которые можно будет рассматривать при обсуждении логицизма.

Реализм значений истины сам по себе или в связке с онтологическим реализмом поднимает один любопытный вопрос, который является по характеру логическим, но еще скорее психологическим, относящимся к факту, что сам по себе этот вопрос не должен быть поставлен. Речь идет о теореме Тарского о невыразимости истины. В свете этой теоремы рассуждения о математических истинах неизбежно обречены на беспредметность, если язык неформальный, или же на неопределенную отсылку к строгим метаязыкам, все более сомнительным. Непонятно, почему столько шума было поднято кстати (и некстати) по поводу теоремы Гёделя, в

111

Философия математики: наследие двадцатого столетия

то время как теорему Тарского лишь вскользь упоминают, хотя она гораздо более показательна и значительна для философии14.

Нельзя сказать, что не были потрачены реки чернил на эту тему15, если говорить о всевозможных вариантах обхода ее последствий, чтобы не признавать, что философия может обсуждать как одну из своих главных тем понятие (истины), которое не может быть определено, и использовать его в основах философии математики. Однако простое и жесткое следствие теоремы Тарского заключается в том, что для определения истины математических утверждений в мире множеств (или математики) необходима теория, в которой такой универсум был бы объектом, то есть теория, которая доказала бы непротиворечивость существующей математики. Можно пойти вперед по этому пути, но неизвестно, к чему все это приведет. В качестве альтернативы определению истины можно давать определения локальных истин для отдельных теорий, используемые гиперплатонизмом для подтверждения существования моделей. Подобные локальные понятия истины играют, однако, роль почти излишнюю. Рассмотрим далее применение этой возможности Резником для одной формы реализма естественного, наивного и, именно, излишнего.

Каждый реалист должен повесить перед своим рабочим местом табличку с надписью Memento Tarski16.

14Некоторое объяснение может содержаться в расхожей, обыденной формулировке теоремы Гёделя, которая переоценивает и оказывает предпочтение истине по отношению к доказуемости.

15По некоторым аспектам рассмотренных дискуссий, значимым для ма-

тематики, см. M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., cap. 2.

16 Шутка, апеллирующая к крылатому выражению Memento mori – помни о смерти (лат. – прим. переводчика).

112