Ответы на экзаменационные вопросы

1. Прямая задача НГ заключается в получение проекций ГО и неразрывно связана с операцией проецирования.

Обратная задача НГ заключается в восстановление ГО по его проекции.

Суть операций проецирования заключается в проведение через каждую точку фигуры проецирующей прямой и определении проекции точки как точки пересечения проецирующей прямой с ПП , а проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек.

Чертеж, позволяющий решать обратную задачу НГ, называют обратимым.

2. Двухкартинный комплексный чертеж точки – плоскость, содержащая две проекции точки на две взаимно перпендикулярные ПП.

Для перехода к комплексному чертежу нужно повернуть плоскость П₁ вокруг оси Х₁₌₂ до совмещения с плоскостью П₂

Прямая линия на КЧ, являющаяся отображением на нем линии пересечения ПП, называется осью проекций.

Прямая, соединяющая точки А₁ и А₂ и перпендикулярная оси проекции, называется линией связи.

3. Суть этого способа заключается в том, что дополнительно к ПП П₁ и П₂ вводится новая ПП П₃, проецируя на которую точечное пространство получают новое поле проекций, а проецируя ГО – получают его новую проекцию. На новую ПП накладывают только одно ограничение: она должна быть перпендикулярна хотя бы одной из ПП П₁ или П₂.

4. ПП, перпендикулярная одновременно обеим ПП П₁ и П₂, называется профильной ПП.

Для перехода к трехкартинному КЧ П₁ и П₂ разворачивают вокруг оси Х до совмещения их с плоскостью чертежа, а затем П₃ вокруг оси Z до совпадения с П₁ и П_2.

5. Прямая общего положения – это прямая не параллельная и не перпендикулярная П₁ и П₂.

Прямая уровня- это прямая, параллельная ПП. Прямую, параллельную П₁, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П₂, называют фронтальной прямой и обозначают f; прямую, параллельную профильной ПП, называют профильной прямой и обозначают p.

7. Проецирующие прямые- это прямые, перпендикулярные ПП. Прямую, перпендикулярную П₁ , называют горизонтально проецирующей прямой , перпендикулярную П₂ – фронтально проецирующей прямой, а перпендикулярную П₃ – профильно проецирующей прямой.

9. Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

9. Если прямые пересекаются то точки пересечения их соответствующих проекций лежат на одной линии связи.

Если прямые параллельны , то параллельны их соответствующие проекции.

Если не выполняются эти условия , то прямые скрещиваются.

11. Теорема: прямой угол проецируется на ПП в прямой угол, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой ПП, а вторая не перпендикулярна ей.

11. Плоскость обычно определяют тремя точками – ∑(А,В,D) , пересекающимися прямыми –∑(a∩b), параллельными прямыми - ∑(a║b), прямой и точкой - ∑(a,A), любой плоской фигурой.

11. К плоскостям частного положения относятся проецирующие плоскости и плоскости уровня.

Проецирующей плоскостью называется плоскость , перпендикулярная ПП. Если плоскость перпендикулярна плоскости П₁ , то ее называют горизонтально проецирующей, а если перпендикулярна П₂ – фронтально проецирующей.

Плоскости уровня- это плоскости, параллельные ПП. Плоскость , параллельную П₁ , называют горизонтальной, а параллельную П₂ – фронтальной.

14. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.

15. Всякая задача, в условии или в процессе решения которой встречается численная характеристика, называется метрической задачей.

1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.

1ОМЗ имеет две возможные постановки:

- построить прямую линию, проходящую через данную точку перпендикулярно заданной плоскости;

- построить плоскость , проходящую через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

16. Признак перпендикулярности прямой и плоскости для КЧ:

- для первой постановки: чтобы построить прямую l , перпендикулярную плоскости Г , в плоскости Г строят горизонталь h и фронталь f и проводят l₁┴h₁ и l₂┴f₂ ;

- для второй постановки: плоскость Г, перпендикулярную прямой l₁ задают горизонталью h и фронталью f , проводя h₁┴l₁ и f₂┴l₂ .

16. 2ОМЗ- задача на определение натурального вида отрезка прямой или расстояния между двумя точками

2ОМЗ решается по правилу прямоугольного треугольника.

Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

18. Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

19. Главные линии плоскости- горизонталь, фронталь, линия ската.

Горизонталь проецируется на П₂ в прямую параллельную оси , а на П₁ в прямую общего положения.

Фронталь проецируется на П₁ в прямую параллельную оси, а на П₂ в прямую общего положения.

Линия ската- линия перпендикулярная горизонтали.

20. Решение любой задачи с применением преобразования чертежа в конечном итоге сводится к решению 4 задач или их комбинации. Эти задачи называют основными задачами преобразования чертежа.

1ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , в результате которого прямая общего положения стала бы прямой уровня.

2ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором прямая уровня становится проецирующей прямой..

3ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором плоскость общего положения становится проецирующей..

4ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором проецирующая плоскость становится плоскостью уровня.

28. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра , опущенного из точки на эту плоскость.

Алгоритм: 1. nМ, n∑

2. К=n∩∑

3. | M,K |

29. ГМТ удаленных от одной точки- сфера с центром в данной точке и радиусом равным указанному расстоянию.

ГМТ удаленных от прямой- цилиндрическая поверхность вращения осью которой яв-ся данная прямая , а радиусом- указанное расстояние.

ГМТ удаленных от плоскости- плоскость параллельная данной плоскости и удаленная от нее на указанное расстояние.

30. ГМТ равноудаленных от сторон треугольника- это прямя проходящая через центр вписанной окружности .

ГМТ Равноудаленных от вершин треугольника- прямая проходящая через центр окружности описанной около треугольника.

34. Угол между прямой а и плоскостью ∑ измеряется линейчатым углом φ между прямой а и ее проекцией а_∑ на плоскость ∑.

34. Угол между плоскостями ∑ и Г измеряется углом φ между прямыми q=∑∩Ω и g=Г∩Ω , где Ω плоскость ∑ и Г.

39. Прямую, параллельную П₁, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П₂, называют фронтальной прямой и обозначают f.

40. Кинематический способ образования поверхности – это движение в пространстве линии , перемещающейся по какому-либо закону.

Линия, перемещающаяся в пространстве и образующая при этом поверхность , называется образующей поверхности, а законом ее перемещения – законом образования поверхности.

Направляющая линия – линия , которую пересекают все образующие.

Совокупность ГО, задание которых позволяет реализовать закон образования поверхности , называется определителем поверхности.

40. Проанализируем структуру формулы на примере формулы Ф{l (k,T)(lⁱ∩k; lⁱT)} конической поверхности общего вида. Перед формулой пишется прописная буква греческого алфавита (Ф) обозначающая поверхность; после первой фигурной скобки строчной буквой латинского алфавита записывают образующую поверхности (l); в первой паре скобок перечисляются элементы определителя поверхности (k и T); во второй паре скобок приводится закон образования поверхности ( lⁱ∩k ; lⁱT).

40. Критерий заданности поверхности: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно ответить на вопрос о принадлежности точки поверхности и имеется возможность построить любую точку поверхности.

ОПЗ – задача на принадлежность точки поверхности .

Условие принадлежности точки поверхности: чтобы задать точку на поверхности, следует сначала задать на поверхности линию , а затем на линии взять любую точку.

40. Элементарный чертеж поверхности – это самый простейший чертеж поверхности , на котором может быть решена любая позиционная и метическая задача , с ней связанная.

Основным чертежом поверхности называют элементарный чертеж поверхности , дополненный изображениями контурных линий.

40. К контурным линиям поверхности относят линии видимости данной поверхности; линии обреза поверхности; ребра многогранных поверхностей ; линии пересечения поверхностей и т.д.

Крайние контурные лини – контурные линии или их части , все точки которых обладают следующим свойством : проецирующая прямая, проведенная через точку линии, не имеет больше общих точек с поверхностью на всем своем протяжении (искл. – конкурирующие контурные линии , принадлежащие проецирующей поверхности).

Проекцию крайних контурных линий называют очерком поверхности.

40. Линейчатые поверхности строятся с помощью образующих прямых.

40. Ф{l (a , T)(lⁱ∩a , lⁱT)}.

Если а – кривая линия , то это формула собственно конической поверхности; если а – ломаная линия , то это формула пирамидальной поверхности.

40. Ф{ l (a , l)(lⁱ∩a , lⁱ║l)}

Если а – кривая линия , не лежащая в одной плоскости с l , то это формула цилиндричекой поверхности; если а – ломаная линия , не лежащая в одной плоскости с l , или прямая линия , то это формула призматической поверхности или плоскости соответственно.

40. Линейчатыми поверхностями с плоскостью параллелизма называют поверхности, у которых образующие пересекают две направляющие линии и , при этом, остаются параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Ф{l(a,b,∑)(lⁱ∩a, lⁱ∩b, lⁱ ║∑)}

Если а и b – скрещивающиеся прямые , то поверхности называют гмпербалическим параболоидом или косой плоскостью ; если одна из направляющих а и b - прямая линия , а вторая - кривая , то поверхность называют коноидом; если обе направляющие а и b – кривые линии, то поверхность называют цилиндроидом.

51. Формула линейчатой поверхности с тремя направляющими:

Ф{ l(a,b,d)(lⁱ∩a , lⁱ∩b , lⁱ∩d)}.

51. Винтовой называют поверхность, образованную таким перемещением образующей , когда хотя бы одна точка ее совершает винтовое движение.

Формула геликоида:

Ф{t(j,k,φ)(tⁱ∩k, tⁱ∩j; | tⁱ ^ j |= φ)}

Если угол φ наклона образующей к оси равен 90 , то геликоид называют прямым, а если φ≠90, то наклонным.

51. Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.

Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:

Ф{m(b,d,q,∑)(mⁱ∩ b , mⁱ∩d , mⁱ∩q , mⁱ∑ⁱ║∑)}

Каналовые поверхности:

Ф{m(b,d)(mⁱ∩b, mⁱ∑ⁱ  d, C^mi  d)}

51. Все поверхности вращения имеют единый закон образования , согласно которому поверхность вращения есть результат вращения образующей линии вокруг неподвижной оси . Поэтому для всех поверхностей вращения может быть записана общая формула:

Ф{b(b,j)(bⁱ = bOj)}.

При вращение линии вокруг оси каждая ее точка вращается вокруг оси по окружностям называемым параллелями.

Параллель наименьшего радиуса называется горлом, а наибольшего – экватором.

Линии поверхности лежащие в плоскости проходящей через ось вращения называются меридианами.

51. Формула линейчатых поверхностей вращения имеет вид:

Ф{t(t,j)(tⁱ = tOj)}, где t – прямая линия. Если t∩j , то это формула конической поверхности вращения , если t║j – цилиндрической поверхности вращения , если t скрещивается с j – однополостного гиперболоида вращения.

51. Торовые поверхности относятся к циклическим поверхностям , которые образуются путем вращения окружности или ее дуги.

    1. Открытый тор Ф{m(m,j; m,j∑)(mⁱ = m O j)}- окружность m и j ось не имеют общей точки.

    2. Закрытый тор с одной конической точкой Ф{m(m,j;m,j∑; m  j)(mⁱ = mOj)}- окружность m касается с осью j.

    3. Пересекающийся тор с двумя коническими точками Ф{m(m,j;m,j∑; m∩j)(mⁱ = m O j)}- окружность m пересекается с осью j .

51. Сфера образуется вращением полуокружности вокруг оси.

Формула: Ω{n(n,j; n∩j)(nⁱ=nOj)}

61. Поверхность считается проецирующей , если она проецируется в линию. Это могут быть цилиндрические поверхности, цилиндрические поверхности вращения и призматические поверхности.

Проецирующая поверхность проецируется на ПП, которой перпендикулярны ее образующие, в линию , называемую основной проекцией этой поверхности.

61. Из множества позиционных задач выделяют две главные : 1ГПЗ – задача на пересечение линии и поверхности ; 2ГПЗ – задача на пересечение двух поверхностей.

61. 1ГПЗ-1 и 2ГПЗ-1 решают по алгоритму: обе проекции точки пересечения (1ГПЗ) или линии пересечения (2ГПЗ) непосредственно заданы на чертеже; они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО ; решение задачи сводится к простановке соответствующих обозначений.

61. Согласно алгоритму решения ГПЗ для 2-го случая известной яв-ся только одна проекция точки или линии пересечения, принадлежащая основной проекции проецирующего ГО , а вторая проекция точки или линии пересечения ищется из условия принадлежности их непроецирующему ГО.

61. ПА решения 1ГПЗ в случае , когда пересекаются непроецирующая линия q и поверхность Ф:

    1. Линия q заключается во вспомогательную поверхность : q

    2. Строится линия g пересечения вспомогательной поверхности  и заданной Ф : g = ∩Ф.

    3. Искомая точка К есть точка пересечения построенной линии g и заданной q: K = g∩q.

67. ПА построения линии k пересечения двух непроецирующих поверхностей:

1. Задается вспомогательная секущая поверхность ⁱ .

2. Строятся линии пересечения gⁱ = ⁱ∩Ф и еⁱ = ⁱ∩Ω.

3. Находятся точка Кⁱ k: Kⁱ = gⁱ∩eⁱ.

71. Теорема Монжа: порядок поверхности определяется максимально возможным числом точек пересечения поверхности прямой линией.

79. Поверхности вращения , имеющие общую ось вращения , называются соосными поверхностями.

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям- параллелям.

72. Частным случаем пересечения соосных поверхностей вращения яв-ся случай , когда центр сферы расположен на оси какой-то поверхности вращения, в результате чего сфера становится сосной с этой поверхностью вращения и пересекает ее по окружностям . Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения лежит в основе способа секущих концентрическмх сфер.(сфер, имеющих общий центр)

72. Линия пересечения двух циклических поверхностей , имеющих общую плоскость симметрии , в которой расположены линии их центров, может быть построена способом эксцентрических секущих сфер(Сфер, проведенных из различных центров).

72. При пересечении конической поверхности 2-го порядка плоскостью получится эллипс.