Числовые характеристики дсв.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности: М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_nр_n. Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то , причем математическое ожидание

существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Свойства математического ожидания: 1)математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). 3)математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁Х₂…Х_n)=м(Х₁)М(Х₂)…М(Х_n). 4)математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n). Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: М(Х)=np. Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]², дисперсию удобно вычислять по формуле D(X)=M(X²)-[M(X)]². Дисперсия обладает свойствами: 1)дисперсия постоянной равна 0: D(C)=0. 2)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX)=C²D(X). 3)дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X₁+X₂+…+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n). Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npg. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: (X)= D(X) .

Плотность распределения нсв и её свойства.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), определяется равенством: P(a<X<b)=_a^bf(x)dx. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения F(x)=^xf(x)dx. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1)плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x)>=0. 2)несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице: f(x)dx=1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то _a^bf(x)dx=1.

Числовые характеристики нсв и их свойства.

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Математическое ожидание НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством M(X)=  xf(x)dx, где f(x)-плотность распределения случайной величины Х. Свойства математического ожидания: 1)математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). 3)математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁Х₂…Х_n)=м(Х₁)М(Х₂)…М(Х_n). 4)математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n). Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой М_е(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее значение, которое определяется равенством P[X<M_e(X)]=P[X>M_e(X)]. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством D(X)=  [x-M(X)]²f(x)dx. Дисперсия обладает свойствами: 1)дисперсия постоянной равна 0: D(C)=0. 2)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX)=C²D(X). 3)дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X₁+X₂+…+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n). Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины: (Х)= D(X) .