Формализация

Пусть X– универсальное множество, набор всех рассматриваемых утверждений. Показательное множество,, совокупность всех подмножеств множества, включая пустое множество,. Например, если:, то

По определению, масса пустого множества – ноль:

Массы оставшихся элементов показательного множества нормированы на единичную сумму:

Масса элемента показательного множества,, выражает соотношение всех уместных и доступных свидетельств, которые поддерживают утверждение, что определённый элементпринадлежитно не принадлежит ни одному подмножетсву. Величинаотноситсятолькок множествуи не создаёт никаких дополнительных утверждений о других подмножествах, каждое из которых, по определению, имеет свою собственную массу.

Исходя из приписаных масс, могут быть определены верхняя и нижняя границы интервала возможностей. Этот интервал содержит точную величину вероятности рассматриваемого подмножетсва (в классическом смысле), и ограничена двумя неаддитивными непрерывными мерами, называеыми доверие(belief) иправдоподобие(plausibility):

Доверие к множествуопределяется как сумма всех масс собственных подмножеств рассматривеаемого множества:

Правдоподобие – это сумма масс всех множествпересекающихся с рассматриваемым множеством:

Эти две меры соотносятся между собой следующим образом:

ПРИМЕР:

Шаферовский подход позволяет интерпретировать довериеиправдоподобиекак границы интервала возможного значения истинности гипотезы:

доверие≤ какая-то мера истинности ≤правдоподобие.

Полагается, что:

Довериек гипотезе = {сумма масс свидетельств, однозначно поддерживающих гипотезу}.

Правдоподобие= 1 − {сумма масс всех свидетельств, противоречащих гипотезе}.

Например, пусть у нас есть гипотеза «кот в коробке мертв.» Если для неё доверие 0.5 и правдоподобие 0.8, то это значит, что у нас есть свидетельства (общей массой 0.5) однозначно указывающие, что кот мертв; но имеются и свидетельстве (общей массой 0.2), однозначно указывающие, что кот жив (правдоподобие «кот мертв» = 1 — 0.2 = 0.8). Оставшаяся масса (дополняющая 0.5 и 0.2 до 1.0) — она же зазор между правдоподобием 0.8 и доверием 0.5 — соответствует «неопределённости» ("универсальной" гипотезе), наличию свидетельств, что кот в коробке точно есть, но не говорящих ничего о том, жив он, или мертв.

Итого, интервал [0.5; 0.8] характеризует неопределённость истинности исходной гипотезы исходя из имеющихся свидетельств.

Гипотеза	Масса	Доверие	Правдоподобие
Нулевая (нет кота)	0	0	0
Жив	0.2	0.2	0.5
Мёртв	0.5	0.5	0.8
Универсальная (то ли жив, то ли мертв)	0.3	1.0	1.0

Масса "нулевой" гипотезы устанавливается равной 0 по определению (она соответствует случаям «нет решения» или неразрешимому противоречию между свидетельствами). Эти приводит к тому, что доверие к "нулевой" гипотезе равно 0, а правдоподобие "универсальной" 1. Так как масса "универсальной" гипотезы вычисляется из масс гипотез "Жив" и "Мертв", то её доверие автоматически получается равно 1, а правдоподобие "нулевой" гипотезы 0.

6. Нечеткие множества и нечеткие отношения.

Любая логическая функция может быть представлена дизъюнктивнойиликонъюнктивнойнормальной формой, из чего следует, что для реализации исчисления высказываний достаточно всего трех операций: конъюнкции (&&), дизъюнкции (||) и отрицания (!). В классической логике каждая из этих операций задана таблицей истинности:

a b || a b && a !

-------- -------- ----

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

В нечеткой логике, в отличие от классической, вместо величин истина и ложь используется величина степень истинности, принимающая любые значения из бесконечного множества от 0 до 1 включительно. Следовательно логические операции уже нельзя представить таблично. В нечеткой логике они задаются фукнциями. Есть два способа реализации дизъюнкции и конъюнкции:

a || b => max(a, b)

a && b => min(a, b)

!a => 1 – a

Нечетким множеством Aв некотором непустом пространстве X называется множество паргде— функция принадлежности нечеткого множества A. Эта функция приписывает каждому элементу x степень его принадлежности нечеткому множеству A.

Виды функций принадлежности

Треугольная
Трапециальная
Гауссова
Колоколообразная
Сигмоидельная

Операции над нечёткими множествами

1. Пересечениемнечётких множествиназывается наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно ви:

.

2. Произведениемнечётких множествиназывается нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

.

3. Объединениемнечётких множествиназывается наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементыили:

.

4. Суммойнечётких множествиназывается нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

.

5. Отрицаниеммножестваназывается множествос функцией принадлежности:

,

6. Нечеткие выводы на основе теории нечетких множеств.

Нечеткий вывод-получение нового логического заключения из правил вывода, которые хранятся в виде базы знаний (эти правила будем называть просто знаниями) и заданных фактов. В отличие от традиционных выводов все переменные в суждениях являются нечеткими переменными, т. е. переменными, составленными из нечеткой описательной информации. Это можно представить следующим образом:

Кроме этого можно рассмотреть следующий вывод:

Здесь A,A`,B,B` - описательная информация с нестрогим представлением (нечеткие множества). Делать выводы по формулам (6.1) и (6.2) с помощью классической логики (булевой логики) крайне трудно.

Рис. 6.1. Функция принадлежности, соответствующая слову «высокий», (а) и ее дискретное представление (б).

Нечеткая описательная информация А может быть представлена в виде функции принадлежности (рис. 6.1, а). Для удобства можно сделать дискретную выборку и представить эту функцию в виде множества следующих пар чисел (рис. 6.1, б):

где X - полное множество, степень принадлежности множеству А (в данном случае множеству «высокий человек»). Значения a_i выбираются для простоты из отрезка [0,1] Следовательно, нечеткое множество А можно рассматривать как вектор, записав его следующим образом:

где m - число элементов (ограничено). Аналогично другую описательную информацию В можно представить следующим образом:

Если А-причина, а В-результат, то можно определить матрицу, отражающую причинные отношения между А и В. Она называется нечетким отношением R из А в В:

Заде определил следующим образом результат вывода В по формуле (6.1):

или

Где * - например, операция MIN, алгебраическое произведение или другая операция. Заде предложил использовать операцию MIN. В настоящее время эта операция широко распространена.

6. Алгоритмы нечеткого вывода Мамдани и Сугэно.

Мамдани:

Предположим, что базу знаний образуют правила: П1: если х есть А1 и y есть В1, то z есть С1,

… Пn: если х есть Аnи y есть Вn, то z есть Сn,

где х и у - имена входных переменных, z - имя переменной вывода, А1, Аn, В1, Вn, С1, Сn- некоторые заданные функции принадлежности, при этом чёткое знание z0 необходимо определить на основании x0, y0.

1. Вычисляются ф-ии принадлежности предпосылок, входящие в условия каждого из правил:

A1(x0),…An(x0),B1(y0),…Bn(y0)

2. Находятся уровни отсечения для предпосылок каждого из правил (с использованием операции минимума):

alpha₁ = L₁(A1(x0), B1(y0)),… alpha_n = L_n(An(x0), Bn(y0)),

где L₁ = A1(x0) ^ B1(y0) = min{ A1(x0), B1(y0)}

3. Находятся усечённые функции принадлежности результатов:

C`₁(z) = alpha₁ ^ C₁(z) = min{alpha₁,C₁(z)}

…

C`_n(z) = alpha_n ^ C_n(z) = min{alpha_n,C_n(z)}

4. Нахождение результирующей функции принадлежности по всем правилам (Композиция)(с использованием операции max (обозначенной как "v")):

C(z) =C`<sub>1</sub>(z)v…vC`_n(z) =max{C`<sub>1</sub>(z) , … , C`_n(z)}

5. Нахождение значения z0 – одним из способов дефаззификации (defuzzification- от нечеткого к четкому):

Методы дефаззификации:

- центр масс (centroid)

- средний максимум (Mean of Maximums)

- наименьший максимум (Smallest of max)

- наибольший максимум (Largest of max)

- бисектор (bisectorofarea)(метод центра площади)

Сугэно:

Предположим, что базу знаний образуют правила: П1: если х есть А1 и y есть В1, то z₁=a₁x+b₁y,

… Пn: если х есть Аnи y есть Вn, тоz_n = a_nx+b_ny,

ai, bi – коэффициенты.

1. Вычисляются ф-ии принадлежности предпосылок, входящие в условия каждого из правил:

A1(x0),…An(x0),B1(y0),…Bn(y0)

2. Определяется степень истинности условий:

alpha₁ = L₁(A1(x0), B1(y0)),… alpha_n = L_n(An(x0), Bn(y0)),

где L₁ = A1(x0) ^ B1(y0) = min{ A1(x0), B1(y0)}

3. Нахождение значений zсоответствующих выводам по каждому правилу

z₁* = a₁x₀+b₁y₀

…

z_n* = a_nx₀+b_ny₀

4. Нахождение значения z0:

6. Экспертные системы. Характеристики и структура ЭС.

Назначение ЭС

Цель исследований по ЭС состоит в разработке программ, которые при решении задач, трудных для эксперта-человека, получают результаты, не уступающие по качеству и эффективности решениям, получаемым экспертом.

ЭС предназначены для неформализованных задач. Неформализованные задачи обычно обладают следующими особенностями:

• ошибочностью, неоднозначностью, неполнотой и противоречивостью исходных данных;

• ошибочностью, неоднозначностью, неполнотой и противоречивостью знаний о проблемной области и решаемой задаче;

• большой размерностью пространства решения;

• динамически изменяющимися данными и знаниями.

Причины, приведшие СИИ к коммерческому успеху, следующие.

Интегрированность. Разработаны инструментальные средства искусственного интеллекта (ИС ИИ), легко интегрирующиеся с другими информационными технологиями и средствами (с CASE, СУБД, контроллерами, концентраторами данных и т.п.).

Открытость и переносимость. ИС ИИ разрабатываются с соблюдением стандартов, обеспечивающих открытость и переносимость.

Использование языков традиционного программирования и рабочих станций. (С, C++ и т.п.).

Архитектура клиент-сервер. Разработаны ИС ИИ, поддерживающие распределенные вычисления по архитектуре клиент-сервер.

Проблемно/предметно-ориентированные ИС ИИ.

Структура экспертных систем

Типичная статическая ЭС состоит из следующих основных компонентов (рис. 1.):

• решателя (интерпретатора);

• рабочей памяти (РП), называемой также базой данных (БД);

• базы знаний (БЗ);

• компонентов приобретения знаний;

• объяснительного компонента;

• диалогового компонента.

База данных (рабочая память) предназначена для хранения исходных и промежуточных данных решаемой в текущий момент задачи.

База знаний (БЗ) в ЭС предназначена для хранения долгосрочных данных, описывающих рассматриваемую область (а не текущих данных), и правил.

Решатель, используя исходные данные из рабочей памяти и знания из БЗ, формирует последовательность правил, которые приводят к решению задачи.

Компонент приобретения знаний автоматизирует процесс наполнения ЭС знаниями, осуществляемый пользователем-экспертом.

Объяснительный компонент объясняет, как система получила решение задачи (или почему она не получила решение) и какие знания она при этом использовала.

Диалоговый компонент ориентирован на организацию дружественного общения с пользователем.

В разработке ЭС участвуют представители следующих специальностей:

- эксперт в проблемной области;

- инженер по знаниям - специалист по разработке ЭС;

- программист по разработке инструментальных средств (ИС).

Эксперт определяет знания (данные и правила), характеризующие проблемную область, обеспечивает полноту и правильность введенных в ЭС знаний.

Инженер по знаниям помогает эксперту выявить и структурировать знания, необходимые для работы ЭС.

Программист разрабатывает ИС (если ИС разрабатывается заново), содержащее в пределе все основные компоненты ЭС, и осуществляет его сопряжение с той средой, в которой оно будет использовано.

Экспертная система работает в двух режимах:

В режиме приобретения знаний общение с ЭС осуществляет (через посредничество инженера по знаниям) эксперт. В этом режиме эксперт наполняет систему знаниями. Эксперт описывает проблемную область в виде совокупности данных и правил. Данные определяют объекты, их характеристики и значения. Правила определяют способы манипулирования с данными.

В режиме консультации общение с ЭС осуществляет конечный пользователь, которого интересует результат и (или) способ его получения. Данные о задаче пользователя после обработки их диалоговым компонентом поступают в рабочую память. Решатель на основе входных данных из рабочей памяти, общих данных о проблемной области и правил из БЗ формирует решение задачи.

Структуру, приведенную на рис. 1, называют структурой статической ЭС. ЭС данного типа используются в тех приложениях, где можно не учитывать изменения окружающего мира, происходящие за время решения задачи. Первые ЭС, получившие практическое использование, были статическими.

На рис. 1.2 показано, что в архитектуру динамической ЭС по сравнению со статической ЭС вводятся два компонента: подсистема моделирования внешнего мира и подсистема связи с внешним окружением. Последняя осуществляет связи с внешним миром через систему датчиков и контроллеров. Кроме того, традиционные компоненты статической ЭС (база знаний и машина вывода) претерпевают существенные изменения, чтобы отразить временную логику происходящих в реальном мире событий.

6. Классификация и основные этапы разработки ЭС

1. Назначение

• решаемая задача

• цель создания(обучение тиражирование опыта, авт. реш задач)

• основной пользователь

2. Тип решаемых задач

• интерпретация

• диагностика

• конструирование

• планирование

• предсказание

• управление

3. По глубине анализа

• Поверхностные(условие – действие)

• Глубинные

4. По типу исп. Методов и знаний

• Традиционные

• Гибридные(исп. Другие эксп. подсистем)

5. Классы ЭС

• Простая ЭС – поверхностная,традиционная, БЗ до 1000 правил

• Сложная ЭС – глубинная, гибридная БЗ >1000 правил

6. Стадий существования

• Демонстрационный (до 1000 правил)

• Исследовательский(до 500правил)

• Дейстующий(1000 правил)

  • Промышленная стадия

  • Коммерческая стадия

7. По инструментальным средствам разработки

• Св-ва разработки:

  • Оболочки ЭС(пустые оболочки)

  • Системы автоматизированного проектирование включает компоненты для интеграций в ЭС

  • Языки инженерии знаний(Prolog)

  • Классические языки програмирования

8. Общие этапы разработки

• Выбор проблемы

• Разработка прототипа ЭС

• Доработка до промышленной ЭС

• Оценка ЭС

• Стыковка ЭС

• Поддержка ЭС

6. Классификация инструментальных средств разработки ЭС. Основные характеристики инструментальной оболочки ЭСТЭР.

Инструментальные средства подразделяются на следующие категории:

• Языки программирования

• Языки инженерии знаний

• Средства автоматизации разработки экспертных систем

• Оболочки экспертных систем

1.Языки программирования

1. Объектно-ориентированные языки

2. По своему назначению и функциональным возможностям инструменталь-ные программы, применяемые при проектировании экспертных систем, можно разделить на четыре достаточно больших категории:

• Оболочки экспертных систем (expert system shells).Системы этого типа создаются, как правило, на основе какой-нибудь экспертной системы, достаточно хорошо зарекомендовавшей себя на практике

• Языки программирования высокого уровня

• Среда программирования, поддерживающая несколько парадигм(multiple-paradigm programming environment). Средства этой категории включают несколько программных модулей, что позволяет пользователю комбинировать в процессе разработки экспертной системы разные стили программирования.

• Дополнительные модули.Средства этой категории представляют собой автономные программные модули, предназначенные для выполнения специфических задач в рамках выбранной архитектуры системы решения проблем.