Основы квантовой механики
.pdf263
вероятность вынужденного излучения пропорциональна квадрату амплитуды электромагнитного поля, которая в классическом пределе пропорциональна среднему числу фотонов. Процессы вынужденного излучения широко применяются в квантовых генераторах света — лазерах. Схематично принцип работы лазера выглядит так. С помощью накачки, роль которой может играть, например, предварительное облучение светом, атомы вещества лазера переводятся в так называемое метастабильное возбужденное состояние, т. е. в состояние, для которого очень мала вероятность спонтанного излучения и, следовательно, велико время жизни. Если затем возбудить в объеме лазера электромагнитное поле
с волновым вектором , энергия кванта которого соответствует переходу в k ω
основное состояние, то становится заметной вероятность вынужденного излучения
(благодаря множителю n ). Рост числа фотонов данного сорта еще больше уве-
kα
личивает вероятность вынужденного излучения, так что процесс вынужденного излучения атомами принимает “лавинообразный” характер. В результате в лазере возникает почти монохроматическое излучение с большой амплитудой.
Упражнения
18.1.Исходя из уравнения (18.1) для вектора состояния, вывести уравнение Шредингера для волновой функции бесспиновой частицы Ψ(r, t), находящейся во внешнем поле U (r ).
18.2.Пусть |1 и |2 — нормированные на единицу, но не ортогональные базисные состояния, причем c = 1 |2 = 2 |1 . Перейдем от этих базисных состояний
кдвум другим:
|1 = |1 , |2 = α (|2 − β |1 ) .
Потребуем, чтобы новый базис был ортонормированным, т. е. чтобы выполнялись соотношения 1|1 = 2|2 = 1, 1|2 = 0. Найти из этих условий величины α и β. Является ли выбор α и β однозначным?
18.3. Проверить, что из условия нормировки Ψ(t)|Ψ(t) вектора состояния (18.7) следуют соотношения
|a1|2 + |b1|2 + |a2|2 + |b2|2 = 1, a1b1 = −a2b2,
где a1, b1, a2, b2 — коэффициенты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности. Указание: Использовать условие нормировки, записанное в форме (18.8).
18.4.Проверить непосредственным вычислением скалярного произведенияI|II , что базисные состояния (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу.
Указание: Учесть равенства (18.6) и явные выражения (18.25) для уровней энергии.
18.5.Найти векторы стационарных состояний молекулы аммиака в электрическом поле.
Указание: Воспользоваться формулами (18.27), (18.29) и выражениями (18.41) для уровней энергии.
18.6.Взаимодействие атома с классическим переменным электромагнитным полем описывается оператором (18.42). Во многих случаях основную роль играет взаимодействие с электрическим полем волны, так что оператор взаимодействия
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
берется в виде W (t) = −d |
· E(t). Пусть напряженность электрического поля волны |
|||||
изменяется со временем по закону |
|
|
|
— постоянный вектор. |
||
E(t) = |
E0 cos ωt, где |
E0 |
265
где E(0), Ef(+), Ef(−) — значения энергии системы “атом + поле” в базисных состоя- |
|
ниях: |
nkα ± 1 . |
E(0) = Ei + ω nkα , Ef(±) = Ef + ω |
В начальный момент времени a(0)(0) = 1 и a(f±i )(0) = 0. Уравнения для амплитуд a(f±i )(t) решаются методом итераций (см. стр. 255) в первом приближении по опе-
ратору возмущения ˆ , а затем находятся соответствующие вероятности перехода.
W
Библиографический список
[1]Савельев И.В. Курс общей физики. Том 3. – M.: Наука, 1982.
[2]Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Наука, 1973.
[3]Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Высшая школа, 1961.
[4]Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
– М.: Наука, 1974.
[5]Тарасов Л.В. Основы квантовой механики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1978.
266
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Физические истоки квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Явления, противоречащие классической физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.4. Импульс фотона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц . . . . 11
2.1. Теория атома Бора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2. Гипотеза де-Бройля о волновых свойствах частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Волновая функция свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Дифракция микрочастиц. Суперпозиция состояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.5. Статистическая интерпретация волновой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Квантовая механика одной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1. Квантовое состояние частицы.
Принцип причинности в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Уравнение Шредингера для одной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Стационарные квантовые состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4. Динамические переменные в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5. Средние значения динамических переменных. Операторы . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6. Примеры операторов динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Алгебра операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1. Основные свойства операторов динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2. Произведение операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3. Коммутатор операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4. Квантовая неопределенность физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5. Соотношение неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6. Изменение средних значений физических величин со временем . . . . . . . . . 37
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Собственные функции и собственные значения физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1. Спектр значений физической величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Уравнение для собственных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3. Свойства собственных функций и собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4. Разложение волновых функций по собственным функциям
динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5. Собственные функции нескольких динамических переменных . . . . . . . . . . 49 5.6. Непрерывный спектр значений физических величин.
Дельта-функция Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 5.7. Спектр и собственные функции импульса частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
267
6. Примеры стационарных состояний частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1. Частица в одномерной потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2. Частица в трехмерной потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3. Квантовый гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7. Движение частиц через потенциальный барьер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
7.1. Потенциальная стенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. Туннельный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3. Примеры туннельного эффекта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8. Момент импульса микрочастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1. Оператор момента импульса в сферических координатах . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.2. Собственные значения и собственные функции момента импульса . . . . . . 80
ˆ |
ˆ |
|
8.3. Операторы L+ |
и L− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
84 |
8.4. Орбитальный магнитный момент электрона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
Упражнения . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
9. Водородоподобные атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1. Стационарные состояния частицы в центральном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . .87 9.2. Спектр энергии водородоподобного атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3. Стационарные состояния водородоподобного атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10. Стационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.1. Матричная форма стационарного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . 94 10.2. Теория возмущений для невырожденного энергетического спектра . . . . 96 10.3. Теория возмущений для вырожденного энергетического уровня . . . . . . 100 10.4. Пример: двукратно вырожденный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11. Спин микрочастиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.1. Спиновые состояния электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.2. Операторы спина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.3. Полный момент импульса частицы со спином . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.4. Стационарные состояния водородоподобного атома
с учетом спина электрона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 11.5. Спиновый магнитный момент электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.6. Уравнение Шредингера для частицы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . 123 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12. Квантовая механика системы частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.1. Волновая функция и динамические переменные системы частиц . . . . . 127 12.2. Квантовые системы тождественных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.3. Статистика Бозе-Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.4. Статистика Ферми-Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12.5. Волновые функции двух фермионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13. Стационарные состояния сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.1. Атом с двумя электронами: основное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
268
13.2. Атом с двумя электронами: возбужденные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . 148 13.3. Периодическая система элементов Менделеева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 13.4. Самосогласованное поле в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.5. Спин-орбитальное взаимодействие в сложных атомах . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.6. Атом в постоянном электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.7. Атом в постоянном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14. Стационарные состояния молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
14.1. Молекула водорода: электронные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.2. Молекула водорода: поступательное движение молекулы,
колебания и вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.3. Энергетический спектр молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
15. Электронные состояния в кристаллах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.1. Основные приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.2. Уравнение Шредингера для валентных электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.3. Квазиимпульс электрона в кристалле. Обратная решетка . . . . . . . . . . . . 194 15.4. Энергетические зоны электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.5. Приближения слабо и сильно связанных электронов. . . . . . . . . . . . . . . . . .201 15.6. Понятие эффективной массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.7. Электронные энергетические зоны в металлах,
диэлектриках и полупроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
16. Общая схема квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
16.1. Вектор состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.2. Различные представления операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 16.3. Координатное, импульсное и энергетическое представления . . . . . . . . . . 219 16.4. Представление чисел заполнения для осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17. Вторичное квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
17.1. Представление чисел заполнения для бозонов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231 17.2. Представление чисел заполнения для фермионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
18. Квантовая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
18.1. Матричная форма уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 18.2. Квантовая динамика системы с двумя базисными состояниями . . . . . . 244 18.3. Примеры систем с двумя базисными состояниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 18.4. Квантовые переходы под влиянием внешнего возмущения . . . . . . . . . . . . 253 18.5. Вероятность перехода в единицу времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.6. Излучение и поглощение фотонов атомами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265